Однородные нестационарные среды – новый класс физических сред

Однородные нестационарные среды эпизодчески появляются в современной физике. Такова, к примеру, среда Хаббла-Милна –расширяющееся мегапространство, открытое американским астрономом Хабблом и описанное английским математиком Эдвардом Милном. В газодинамике также иногда рассматривают особое газовое состояние, являющееся, фактически, одним из типов однородной нестационарной среды. Но понимания нестационарных однородных сред как специфического состояния вещества и общей теории таких сред сих пор не существует.

Критерии однородности нестационарных сред

Язык третьей механики позволяет не только эффективно изучать движение отдельных тел, но и движение механических сред. Более того, он позволяет создавать новые модели сред, хорошо отражающие реальные черты многих важных для практики физических явлений.

Одна из простейших сред есть однородная среда.

В современной физике известно в настоящее время два типа однородных сред. Это среды как микро-, так и макрооднородные и среды макрооднородные и неоднородные, стохастические на микроуровне. Примером первого типа сред есть твердое тело. Пример второго типа сред есть газ и жидкость.

Но общий подход к однородности в современной физике состоит в том, что под однородной средой понимается такая среда, которая имеет одинаковое описание, одинаковые свойства во всех своих объемных элементах.

Однако, в третьей механике, в которой центральным является понятие «наблюдателя», меняется и понятие дефиниции «однородности».

Под однородной средой в третьей механике понимается такая среда, которая «выглядит», описывается одинаково всеми равноправными наблюдателями, сколько бы их ни было в данном физическом «мире».

Однородные среды в понимании современной механики есть, фактически, неподвижные среды, либо движущиеся одинаково во всех точках, т.е. однородно движущаяся, текущая среда. Фактически, это «однородные стационарные среды» (ОСС).

Но Третья механика показывает возможность существование однородных нестационарных сред – ОНС. Однородная нестационарная среда – это такая среда, в которой состояние среды меняется во времени, отдельные элементы среды движутся относительно друг друга, но все это изменение и движение происходит таким образом, что оно выглядит одинаково для всех наблюдателей.

Рассмотрим среду, заполняющую все пространство. Главной характеристикой любой среды является плотность массы, или просто плотность . Так как плотность не зависит от движения и положения наблюдателя, то мы должны потребовать постоянство плотности во всем пространстве. Таким образом, первый критерий однородности среды:

(1)

Однако у нас нет никаких оснований требовать, чтобы при этом плотность была и стационарной, т.е. не зависящей от времени. Изменение плотности со временем есть признак однородной нестационарной среды (ОНС).

Однородность массового состояния есть «материальный» признак однородности среды.

Механическое состояние элементов среды есть имманентная характеристика среды, не зависящая ни от каких наблюдателей. Поэтому однородность механического состояния, идентичность его для всех элементов среды есть второй (динамический) критерий однородности среды. Но как было указано выше, механическое состояние описывается весомостью, векторной характеристикой. Заведомо ясно, что если все элементы среды будут обладать нулевой весомостью, то этот критерий будет выполнен. Значит, среда, заполненная свободными, невзаимодействующими частицами, заведомо будет удовлетворять критерию динамической однородности. Вот почему мы в дальнейшем будем исследовать лишь однородные среды, элементы которых являются свободными, невесомостными телами или частицами.

Таким образом, вторым критерием однородности среды будет условие:

(2)

Вопрос о том, существуют ли взаимодействующие однородные нестационарные среды, пока является открытым.

Наконец, третий признак однородности – кинематический, описывающий движение среды. Для ОСС кинематический признак означает либо нулевое значение скорости, либо ее постоянство для всех точек среды. Переход в соответствующую систему отсчета сводит второй случай к первому.

Однако, наш критерий однородности требует не постоянства описания в данной системе отсчета, а одинаковости описания ее в различных системах отсчета. И это уже меняет ситуацию.

Рассмотрим среду, в которой с точки зрения наблюдателя, связанного с одним из элементов среды, движение ее происходит по закону

(3)

где H – некоторая скалярная величина. Ясно, что любой наблюдатель, связанный с любым элементом среды, равноправен с выбранным ранее. Т.е. имеем множество равноправных наблюдателей, каждый из которых связан с тем или иным элементом среды. Отметим, что так как все элементы среды составлены свободными элементами, то и все наблюдатели будут иметь системы отсчета, по крайней мере, локально галилеевые, и все они могут ввести локально инерциальные системы отсчета.

Известно, что при переходе от одного наблюдателя к другому происходит преобразование скорости по закону:

(4)

где v₁ – скорость некоторого элемента среды в системе отсчета первого наблюдателя, v₀ – скорость второго наблюдателя в системе отсчета первого, v₂ – скорость элемента среды в системе отсчета второго наблюдателя.

Пусть теперь координата второго наблюдателя в системе первого есть r₀. Пусть координата наблюдаемого первым наблюдателем элемента среды есть r₁. Тогда мы можем при распределении скоростей согласно соотношению (4) записать:

(5)

Таким образом, мы видим, что при распределении скоростей по закону (3) все допустимые равноправные наблюдатели в эквивалентных системах отсчета будут наблюдать совершенно аналогичную картину движения среды. Другими словами, согласно выдвинутого нами критерия кинематической однородности, такие среды будут кинематически однородными.

Итак, третий критерий однородности среды:

Назовем величину H, входящую в распределение скорости в среде, хабблианом по имени известного американского астрофизика Хаббла, впервые экспериментально обнаружившего существование такого рода сред с законом движения (3).

Ясно, что независимость хабблиана от координаты вновь не может препятствовать тому, чтобы он имел зависимость от времени. В общем случае хабблиан будет зависеть от времени.

Если кинематическое описание движений отдельных тел, кинематическое описание сред в гидро- или газодинамике определяется скоростной характеристикой, то для наших сред скоростная характеристика уже малоинформативна. Гораздо более важной характеристикой кинематических свойств (точнее, описаний) является уже хабблиан, который дает эту кинематику в более сжатой и концентрированной форма. А ведь задачей науки и является как раз получение таких описаний, которые бы давали его в максимально концентрированной форме. Принцип концентрации информации в максимально малом объеме параметров и есть сама цель и смысл научного описания. Вот почему в теории ОНС именно хабблиан и является основной кинематической характеристикой. Зная хабблиан, восстановить скоростные характеристики среды не представляет проблемы.

Итак, полная характеристика однородной нестационарной системы заключена в двух физических параметрах – хабблиане и плотности.

Эти два параметра отнюдь не независимы. Они связаны друг с другом, во-первых, уравнениями движения, а, во-вторых, условием сохранения массы.

Таким образом, вся теория однородных нестационарных систем заключена в установлении зависимостей между плотностью и хабблианом и зависимостью их обоих от времени.

Какие же существуют виды однородных нестационарных сред?

Ясно, что важен «масштаб» ОНС. Так, если масштабы ОНС относятся к макромиру, то в таких масштабах собственные гравитационные свойства среды не играют роли. А, следовательно, и пространство, в котором развертывается «история» ОНС, является галилеевым.

Если же масштабы ОНС являются мегамасштабами, то в таких масштабах, как известно, роль гравитационных свойств вещества является уже определяющей, и пространство является уже негалилеевым.

Таким образом, с точки зрения физической мы можем разделить ОНС на два главных класса – негравитационные (НОНС) и гравитационные (ГОНС). Соответственно с этим мы имеем и различные физические явления, моделями которых могут быть эти два типа ОНС.

Легко понять, что негравитационные ОНС могут стать хорошими моделями взрывных процессов. В настоящее время взрыв описывается в рамках модели газа. Такая модель вполне может быть подходящей, например, при взрыве в атмосфере на сравнительно поздних стадиях развития взрывного облака, когда за счет столкновения продуктов взрыва с воздушной средой происходит многократное отражение частиц, запутывание их траекторий, создается стохастическая система на микроуровне. На более высоком уровне здесь также будет неоднородность, так как условия в центре взрывного облака и на периферии могут существенно различаться. Однако, на некотором пространственно-масштабном уровне можно считать, что в отдельных областях пространства имеем однородность, т.е. газ.

Но очевидно, что модель газа ни на начальных стадиях взрывного процесса при взрыве в атмосфере, ни при взрыве в вакууме никак не может быть адекватной процессу. В начальный момент все частицы движутся из центра наружу, стохастическая компонента пренебрежимо мала. В этой стадии главного признака газового состояния – наличие столкновений между частицами – просто нет, либо роль его ничтожна. Поэтому однородная нестационарная среда представляется гораздо более продуктивной моделью для макровзрыва в безвоздушном пространстве и в воздушной среде на начальных этапах процесса.

Модель гравитационной ОНС уже известна давно и исследуется весьма интенсивно. Это космологическая вселенная, фактически, первый пример однородной нестационарной среды, введенной в научный оборот.

Дальнейшие физические явления, которые могут быть описаны моделью нестационарной среды, хотя бы в первом приближении, будут описаны дальше по мере знакомства с их свойствами. При этом оказывается, что даже известные стационарные объекты гораздо лучше описываются и понимаются, если в качестве теоретической их модели взять вырожденную нестационарную среду, т.е. некий частный случай нестационарной среды. В этом нет ничего необычного. В теории движущихся сред в качестве частного случая могут рассматриваться и неподвижные среды. Оказывается, через «нестационарность» в этом случае удается понять многое, что до сих пор было непонято.

Кроме классификации по физическим признакам, ОНС можно классифицировать и по геометрическим признакам. В соответствии с этим мы можем говорить о трехмерной (пространственной) ОНС, о двухмерной (плоской) ОНС, об одномерной (струйной) ОНС.

И, наконец, по свойствам симметрии мы можем говорить об и изотропных ОНС и о неизотропных ОНС. Вполне понятно, что изотропия и однородность не совпадающие понятия, однородность вполне может сочетаться с неизотропностью свойств системы по различным направлениям. Классический пример однородной и неизотропной системы представляет кристаллическая решетка.

Итак, мы видим, что ОНС может представлять собою достаточно богатую модель. Фактически, можно говорить о новом, четвертом состоянии вещества, наряду с твердым, жидким и газообразным, которые представляют собою различные типы однородных стационарных сред.

Негравитационные однородные нестационарные среды (НОНС)

Трехмерный взрыв

Переходим к рассмотрению негравитационных однородных нестационарных сред. Для трехмерных НОНС, как было показано выше, v = Hr. Мы рассматриваем, напомним, невзаимодействующие однородные нестационарные среды. Поэтому уравнение движения отдельных элементов среды в инерциальной системе отсчета будет

(6)

Это уравнение субстанционального движения, т.е. одной частицы. Но для среды нас интересует не скорость движения отдельной частицы, а скорость частиц в данной точке пространства, т.е. конвенциональная скорость. Для конвенциональной скорости имеем уравнение:

(7)

Подставляя значение скорости (3), получаем:

Отсюда окончательно для хабблиана получаем уравнение

(8)

Второе уравнение, которое мы должны использовать, есть уравнение неразрывности, которое выражает закон сохранения массы.

(9)

Подставляя значение скорости, получаем (используем сферические координаты)

Итак, получаем полную систему уравнений для трехмерной однородной нестационарной негравитационной среды:

(10)

Как мы видим, система уравнений получилась чрезвычайно простой. Тем не менее, содержательность модели трехмерной однородной негравитационной среды достаточно велика.

Начинаем анализировать систему (10). Из второго уравнения следует сразу:

. (11)

Константу полагаем равной нулю, т.е. начало процесса отнесем ко времени t=0. Таким образом, в начальный момент имеем сингулярность хабблиана. Подставляя значение хабблиана в первое уравнение системы (10), получаем

Полное решение системы (10) есть ;

(12)

Проверим, действительно ли наше решение описывает поток частиц с постоянной скоростью. Для скорости имеем: v = Hr = r/t. Но это соотношение можно интерпретировать и как субстанциональное, т.е. r = vt. Ясно, что это есть уравнение движения частиц с постоянной скоростью.

Теория взрыва на основе модели НОНС

Рассмотрим теперь взрыв в вакууме некоторого ограниченного объема взрывчатого вещества. Будем рассматривать явление на некотором расстоянии от взрывчатки. После момента взрыва у нас некоторое время нет никакого движения вещества. Наконец, в некоторый момент нас достигнет фронт взрыва. Очевидно, что на фронте взрыва движутся частицы с наибольшей скоростью. И плотность частиц на фронте взрыва максимальна. Затем нашу точку будут проходить все менее и менее скоростные частицы, плотность числа частиц будет с течением времени уменьшаться, и, наконец, поток частиц иссякнет совсем.

Таким образом, мы можем сказать, что качественно движение частиц при взрыве хорошо описывается системой уравнений (12). В любой момент после взрыва все пространство разделяется на часть, охваченную взрывным процессом, и часть, до которой взрыв еще не дошел. Границей является фронт взрыва. В пространстве, ограниченном фронтом взрыва, мы имеем в однородную нестационарную среду, объем которой распространяется со скоростью движения фронта взрыва.

Но если мы имеем на всех этапах времени однородную нестационарную среду, то, следовательно, мы ее должны иметь и в момент взрыва. Другими словами, сам момент взрыва, инициация взрыва, с механической точки зрения, есть мгновенное превращение однородной стационарной среды (взрывчатого вещества) в однородную нестационарную среду – взрывное облако. Таким образом, изучение явления взрыва распадается как бы на два раздела – на физику взрыва, которая исследует процесс мгновенного (по отношению к длительности тех процессов, которые исследует следующая фаза анализа) превращения однородной стационарной среды в однородную нестационарную, и на механику взрыва, которая исследует движение продуктов взрыва, и эта механика и есть теория нестационарных сред.

Процесс превращения при взрыве однородной стационарной среды в нестационарную во всех деталях не есть задача механики. Однако, некоторые характеристики этого процесса механика может исследовать.

И главный вопрос – как определить скорость распространения фронта взрыва.

Пусть мы имеем сферический объем радиуса r₀ взрывчатого вещества с плотность ₀. Единица массы этого вещества содержит в себе некоторую потенциальную (химическую, ядерную, термодинамическую) энергию, которая выделяется в момент взрыва. Полная потенциальная взрывная энергия W для сферического объема взрывчатого вещества с радиусом r₀, плотностью ₀ и удельной потенциальной энергией w₀ есть:

(13)

В момент инициации взрыва вся потенциальная энергия взрывчатого вещества мгновенно преобразуется в кинетическую энергию частиц однородной нестационарной среды того же самого объема. Причем скорость частиц на границе и есть скорость распространения фронта взрыва, ибо в дальнейшем эти частицы первыми уходят, и ни с кем больше взаимодействовать они не могут. А затем к центру эта скорость линейно убывает до нуля. Т.е. имеем распределение скорости по закону НОНС.

(14)

А так как кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, то полная кинетическая энергия в этот момент будет:

Отсюда из закона сохранения энергии

П = Т

и получаем выражение для скорости распространения фронта взрыва:

(15)

Легко видеть, что эта формула допускает простую экспериментальную проверку, а с нею и проверку самой модели ОНС как модели взрыва.

Отсюда также получаем для начального значения хабблиана

Но согласно решению для ОНС H₀ соответствует некоторое t₀

(16)

Пусть  – есть реальный промежуток времени от момента взрыва до момента наблюдения. Тогда, если к нему добавить величину t₀, то мы получаем выражения для идеального процесса в ОНС. Таким образом, между реальным временем  и временем ОНС t существует соотношение

(17)

Соответственно, в момент времени t₀ плотность равна начальной плотности взрывчатого вещества, откуда можно определить константу A:

(18)

Итак, пользуясь не реальным, а cкорректированным временем, можно использовать все выражение для теоретической ОНС при изучении реальных взрывных процессов, в которых, конечно, нет никаких сингулярностей.

Ударный импульс определяется скоростью фронта и плотностью. Скорость фронта неизменна, а плотность спадает в кубе по мере расширения взрывного облака, откуда ударный (фронтовой) импульс спадает с расстоянием по кубической степени.

Падение же взрывного импульса от времени в данной точке происходит уже обратно пропорционально четвертой степени времени t – куб падения плотности и первая степень уменьшения скорости. Если же отсчитывать время от прихода фронта , то получим, естественно, линейное изменение взрывного импульса от  на малых временах как результат разложения в ряд обратной параболы четвертого порядка в ненулевой точке.

Итак, описана однородная негравитационная трехмерная изотропная нестационарная среда, которая является хорошей моделью процесса макровзрыва. Впервые дана важная формула (15), определяющая скорость распространения фронта взрыва.

Отметим, что распределение скорости пропорционально расстоянию изредка возникало в работах по газодинамике. Однако, авторы не могли понять, что речь идет о принципиально новой среде, и продолжали интерпретировать получающиеся результаты в рамках классической газовой модели, а само решение считали некоей случайной диковинкой.

Двухмерная НОНС

Рассмотрим теперь двухмерное плоское распределение с двухмерной плотностью . Ясно, что в такой системе возможно существование однородной нестационарной среды с движением в плоскости. Так как в уравнении неразрывности оператор дивергенции является двухмерным, соответственно и уравнение неразрывности будет уже:

(19)

где  – двухмерная плотность (масса на единицу площади среды).

Плоская однородная среда может быть вращающейся. Действительно, распределение тангенциальных скоростей идет пропорционально радиусу вращения, аналогично хаббловскому распределению. Множеством допустимых наблюдателей являются наблюдатели с одинаковым направлением вращения и с осью вращения, перпендикулярной плоскости движения вещества, и таких, что в их системах отсчета движение тел будет строго по радиусу полярной системы отсчета. В результате в каждой неинерциональной системе отсчета появится радиальная компонента инерционных сил, пропорциональная двухмерному радиус-вектору

такие компоненты, как было показано выше, не нарушают условий однородности. Отсюда сразу же записывается уравнение радиального движения:

(20)

Однако, в тангенциальном направлении также могут появиться напряжения инерционного поля. Это кориолисова и тангенциальная компоненты. Так как в нашей системе отсчета движения по касательной нет, то они должны взаимно компенсироваться. Следовательно, получаем еще одно соотношение из условий отсутствия касательных движений:

(21)

Подставляем выражение для скорости через хабблиан, получаем третье уравнение

(22)

Итак, окончательно получаем систему уравнений для плоской вращающейся ОНС:

(23)

Такова полная система уравнений двухмерной НОНС. Она, к примеру, описывает разрыв вращающего маховика.

Прежде чем решать систему, проанализируем ее на предмет наличия вырожденных, стационарных решений. Из первого уравнения видно, что для стационарности по плотности необходимо обращение в нуль хабблиана, это естественно. А из второго следует, что такая система должна быть невращающейся. Т.е. это должна быть просто обычной стационарной средой, что не представляет интереса.

Переходим к решению системы. Деля первое уравнение (23) на третье, получаем:

Интеграл его

(24)

Делим теперь второе уравнение на третье

Преобразовываем его

Имеем линейное уравнение первого порядка с правой частью. Находим сначала общее решение однородного уравнения

Общее решение ищем методом вариации постоянных, т.е. полагаем, что C есть функция . Получаем, принимая, что при Ω=Ω₀ H=0:

(25)

Подставляя это значение для H в третье уравнение (23), получаем окончательно:

(26)

Итак, мы видим, что в двухмерном случае сингулярность невозможна. Если мы имеем мгновенное распределение двухмерной однородной среды, то мы всегда можем «прокрутить» ее назад до реального, либо гипотетического состояния максимальной плотности ₀ и максимальной угловой скорости вращения ₀, при которых система не имела радиальной скорости.

Конечное значение нулевое, т.е. среда имеет инфинитные характеристики. Более того, видно, что двухмерная ОНС ассимптотически переходит по характеристикам движения в трехмерную, угловая скорость падает быстрее, чем радиальная.

Таким образом, радиальная скорость начинается с нулевого значения, достигает максимального значения, как легко видеть, при t_m=₀^¹ и H_m=₀/2, и вновь обращается в нуль с течением времени.

Еще раз поясним о том, как идет процесс, ибо тут много непривычного. Важно четко понимать, что никакого вращательного движения самих частиц среды нет. Все они движутся так, как и положено свободным невзаимодействующим телам. В инерциальной системе отсчета это есть прямолинейное и равномерное движение. Но сам ансамбль частиц «приготовлен» так, и сам наблюдатель совершает такое движение, что в его системе отсчета движение всех частиц ансамбля идет строго по радиуса в его вращающейся с переменной скоростью системе отсчета. Чтобы было более понятно, поясним примером маховика.

Пусть у нас есть вращающийся маховик. Будем рассматривать его движение одновременно и из «неподвижной» сист емы отсчета и из движущейся с самим маховиком, т.е. из вращающейся.

В неподвижной системе отсчета все частицы маховика движутся по касательной к радиусу вращения, причем скорость этого движения пропорциональна радиусу. В неподвижной системе отсчета сам маховик, естественно, неподвижен, но наблюдатель имеет собственную скорость вращения ₀.

Пусть теперь в момент времени t=0 происходит разрыв маховика на мелкие части. Ясно, что после этого каждая часть будет двигаться строго по инерции с той скоростью, которую она имела до этого. Будем, к примеру, следить за прохождением частиц на границе обода маховика. Так как разрушение маховика происходило без придания отдельным частицам какой-то дополнительной скорости, то в момент начала процесса через нашу точку пройдут частицы с наибольшей касательной скоростью, но с равной нулю радиальной скоростью. Затем с течением времени через эту точку будут проходить частицы маховика из его «глубины», которые также начали свое движение по касательной к собственному радиусу, но пройдя некоторое расстояние приобрели радиальную составляющую скорости. До некоторого времени радиальная компонента будет возрастать, достигнет максимума, а затем в связи с большим подходом низкоскоростных частиц, станет уменьшаться.

Итак, мы имеем чрезвычайно сложное «ансамблевое» движение при чрезвычайной простоте движения каждой частицы в ансамбле – равномерно и прямолинейно.

Ситуация здесь примерно такова же, как в случае с двуполостным гиперболоидом. Каждый стержень прямолинеен, но поверхность получается очень сложная. И без аппарата аналитической геометрии вряд ли можно было бы ее описать, хотя наблюдалась эта фигура постоянно. Точно также и здесь. Процесс наблюдался более чем часто – разрушение маховиков отнюдь не редкость. Но описать процесс без специального аппарата до сих пор не удавалось.

Плоские вращающиеся нестационарные среды находят применение на практике. Например, в разбрызгивателях и т.д. Правда, гораздо чаще они появляются нежелательным образом при разрыве маховиков, генераторов, турбин и т.п.

Одномерная (струйная) ОНС

Рассмотрение одномерных (струйных) ОНС требует использования самых общих уравнений движения в произвольно вращающихся системах отсчета. Это достаточно сложные уравнений и мы пока не будем их приводить. Отметим лишь общие результаты. Одномерное струйное течение может совершаться по очень сложной траектории. Струя вращается вокруг оси, а сама ось вращения, в свою очередь, может вращаться вокруг оси струи. Имеем сложное прецессионное движение.

Одномерные взрывные системы широко используются в практике – огнестрельное оружие, реактивные двигатели и т.д. Рассмотрим вопрос о скорости распространения фронта одномерного взрыва. Для одномерного взрыва скорость распространения фронта взрыва определяется уже формулой:

(27)

Это в 3/√5=1.34 раза больше, чем для трехмерного взрыва.

Важность этой формулы состоит в том, что она дает теоретический предел для скорости выстреливания снаряда из огнестрельного оружия. Понятно, что современные скорости еще далеки от этого предела, но знание предельной величины позволяет более обоснованно оценивать внутренние баллистические качества оружия. Эта же формула дает и верхнюю теоретическую границу для скорости истечения газа из реактивного двигателя на химическом топливе.

Однородные нестационарные анизотропные среды

Однородная нестационарная анизотропная среда имеет кинематическую характеристику

Легко видеть, что кинематическая однородность при таком распределении скорости полностью соблюдается.

Общая система уравнений трехмерной невращающейся анизотропной среды имеет вид:

(28)

Ее решение тривиально:

(29)

Легко видно, что анизотропная среда аксиоматически переходит в изотропную.

Несложно также дать решение для вращающейся трехмерной частично анизотропной среды с изотропией в плоскости вращения и с разлетом вдоль радиуса и вдоль оси вращения.

Blog

Однородные нестационарные среды – новый класс физических сред

Содержание