Задачи по теме Высокочастотные

Вид материала

Лекция

Подобный материал:

• Урок информатики по теме, 49.9kb.
• Урок в форме соревнования между тремя колонками по теме, 137.47kb.
• Задачи моего диплома: Найти и прочитать материал по моей теме, 57.25kb.
• Задачи : Учебная : Углубление, обобщение и систематизация знаний по программному обеспечению, 73.29kb.
• Задачи : Подобрать литературу по данной теме. Оформить конспекты по данной теме, 85.88kb.
• БиномНьютон а, 123.16kb.
• Задачи: Подобрать литературу по теме «Золотое сечение». Найти информацию по теме, 164.44kb.
• Задачи : 1 проверить знания по теме: Отряды млекопитающих: Парнокопытные и Непарнокопытные., 107.2kb.
• Задачи: Повторить основные понятия логики. Решить задачи: на построение логических, 274.05kb.
• Задачи семинара: расширить представление о роли сельского хозяйства в мировой экономике, 44.28kb.

Задачи по теме Высокочастотные асимптотики для уравнения Гельмгольца в неоднородной среде
Лекция от 30 ноября 2011 г.
Номер	Формулировка	коммент
1	Найти эйконал для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде при .	Решение смотри ниже
2	Найти уравнения лучей для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде при .	Решение смотри ниже
3	Найти эйконал для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде при .
4	Найти уравнения лучей для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде при .
5	Найти эйконал для двумерного уравнения Гельмгольца в однородной среде при.
6	Найти уравнения лучей для двумерного уравнения Гельмгольца в однородной среде при .

_____________________________________________________________________________


Задача 1: Найти эйконал для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде при .

Указание: выписать уравнение Гамильтона-Якоби для функционала Ферма

,

и решить его методом разделения переменных.

Решение:

Введем новые обозначения: и вычислим преобразование Лежандра от функции по переменной :



Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид



где полученная выше функция Гамильтона, то есть

.

Таким образом, для функционала Ферма уравнение Гамильтона-Якоби является уравнением эйконала и имеет вид . Решаем полученное уравнение методом разделения переменных и ищем решение в виде: . Обозначая через постоянную разделения переменных, получаем



Возвращаясь к исходным переменным , имеем




__________________________________________________________________


Задача 2: Найти уравнения лучей для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде



при .

Указание: Выписать уравнение эйконала. Применить к нему метод разделения переменных. Написать общее решение в квадратурах, зависящее от постоянной разделения переменных . Уравнения лучей (т.е. экстремалей функционала Ферма) можно найти на основании теоремы Якоби из соотношения , где – произвольная постоянная. В результате получится двухпараметрическое уравнение лучей.

Решение:

Уравнение эйконала в данном случае имеет вид:

.

После разделения переменных получим



где - постоянная разделения переменных. Уравнения лучей находим из соотношения , где – произвольная постоянная:



После интегрирования получим



Отсюда окончательно имеем двухпараметрическое семейство гипербол




Основы вариационного исчисления можно вспомнить, обратившись к:

Смирнов В.И., Курс высшей математики, том IV, часть первая, М: Наука, 1974

Там же содержатся некоторые вычисления с функционалом Ферма


Литература по теме Высокочастотные асимптотики для уравнения Гельмгольца в неоднородной среде:

Бабич В.М., Булдырев В.С., Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач, М: Наука, 1972