Об аппроксимации граничных условий в схемах расщепления двумерного уравнения теплопроводности по ортогональным направлениям на косоугольных сетках

Вид материала

Документы

Подобный материал:

• Вывод трехмерного уравнения теплопроводности. Постановка граничных задач, 20.07kb.
• Решение уравнения теплопроводности Постановка задачи, 83.2kb.
• Задачи по теме Высокочастотные, 34.16kb.
• Секция 7 А. Н. Васильев, Д. а тархов, 79.95kb.
• А. В. Сакало математическое моделирование профилей, 65.59kb.
• Содержание уравнения математической физики (нм-3) Уравнения математической физики (нп-3), 92.05kb.
• Курсовой проект по дисциплине «Системы реального времени», 203.62kb.
• Содержание курса (лекции), 49kb.
• Программа курса и темы практических занятий; Логика в таблицах и схемах. Логика как, 1722.34kb.
• Симетрические разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного, 15.06kb.

В.Е. ТРОЩИЕВ, Д.А. НОСОВ

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)


ОБ АППРОКСИМАЦИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

В СХЕМАХ РАСЩЕПЛЕНИЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ

НАПРАВЛЕНИЯМ НА КОСОУГОЛЬНЫХ СЕТКАХ


Построена схема для уравнений дифференциальной прогонки, одномерного уравнения теплопроводности. Схема имеет важное значение для реализации граничных условий в методах расщепления двумерного уравнения на косоугольных сетках.


Двумерное уравнение теплопроводности и граничные условия на контуре области:

, (1)

аппроксимируем неявной схемой расщепления по ортогональным направлениям ξ и η [1]:

, (2)

, (3)

Физический смысл расщепления состоит в том, что сначала в течение малого времени ∆t теплу «разрешается» перетекать только в направлении ξ, а затем – только в направлении η. Схема (2), (3) имеет второй порядок точности по ξ и η и первый по времени t.

Если пространственная сетка ортогональна, и расщепление происходит вдоль линий сетки, то задачи (2), (3) легко решаются методом одномерной прогонки. Однако на косоугольных сетках расщепленная система (2), (3) остается существенно двумерной. В работе [2] для решения задач (2), (3) было предложено использовать уравнения дифференциальной прогонки (УДП) [3]:

(4)

(5)

(6)

(аналогично записывается система уравнений для задачи (3)). Граничные условия для уравнений (4-6) следуют из условий (2), (3). Уравнения (4)-(6) по сути есть двумерные уравнения переноса (все функции a, b и т. д. зависят от ξ и η). Поэтому для их решения на косоугольных сетках можно использовать методы, основанные на «принципе освещенности» [4]. Таким образом решение двумерного уравнения теплопроводности было сведено к решению уравнений переноса [2].

Чтобы реализовать граничное условие для УДП в виде температуры, надо задать a₀ и b₀ большими числами. Тогда на границе температура . Расчеты показали, что при таком способе задания граничного условия метод является неустойчивым.

Проблему удалось решить на пути построения схем для УДП, эквивалентных классической прогонке. Построена схема:

(8)

(9)

(10)

при этом значения a₀ = 1 / h, b₀ = –T₀ⁿ / h, то есть однозначно связаны с шагом сетки. Расчеты показывают устойчивость такого задания a₀ и b₀.

Требуется обобщение новой схемы на косоугольные сетки.


Список литературы

1. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.
   
2. Трощиев В.Е., Трощиев Ю.В. Метод расщепления уравнения теплопроводности по ортогональным направлениям на косоугольных сетках. Препринт ТРИНИТИ № 0114-А. ЦНИИАТОМИНФОРМ, 2004.
   
3. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод «прогонки» для решения разностных уравнений // Годунов С.К., Рябенький В.С. Введение в теорию разностных схем. Дополнение II. М., 1962.
   
4. Трощиев В.Е. ЖВМ и МФ. Т. 16, № 3, 1976. С. 793-797.