Лекция 22 Несобственные интегралы на неограниченном промежутке
Вид материала | Лекция |
СодержаниеКритерий коши сходимости интеграла. Теорема сравнения 1. Теорема сравнения 2. |
- Лекция 17. Несобственные интегралы, 16.57kb.
- Программа дисциплины «Математический анализ», 500.52kb.
- Программа дисциплины «математический анализ», 432.47kb.
- Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 28.33kb.
- «Социальная стратификация и социальная мобильность», 46.19kb.
- Исследование функций на монотонность и экстремумы. Построение графиков, 13.79kb.
- Реферата по математической статистике, 169.6kb.
- Ооо «Виртэк» 603014, г. Нижний Новгород, пр-кт Гагарина, 14.7kb.
- «Неопределенные и определенные интегралы», 13.17kb.
- Неопределенный интеграл, 106.73kb.
Лекция 22 Несобственные интегралы на неограниченном промежутке.
П.1 Несобственные интегралы по неограниченному промежутку.
Пусть функция


ОПР. Несобственным интегралом функции на


Если предел существует, то интеграл

ПРИМЕР 1 Исследовать на сходимость интеграл

РЕШЕНИЕ.







Для несобственных интегралов на полуоси справедливы свойства 1-5 с заменой

на

КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА.
Для сходимости интеграла


ДОК. Сходимость интеграла равносильна существованию предела






Сформулируем теоремы сравнения 1 и 2 для несобственных интегралов от на

ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ 1.
Если непрерывные функции








ДОК. Проводится аналогично доказательству теоремы для несобственных интегралов
от неограниченных функций.
ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ 2.
Если непрерывные функции












ДОК. Аналогично доказательству теоремы сравнения 2 для неограниченных функций.
П.2 Абсолютная сходимость интегралов.
ОПР. Интеграл

интеграл

ТЕОРЕМА ( о сходимости абсолютно сходящегося интеграла)
Если функция интегрируема на каждом конечном отрезке полуоси

интеграл


ДОК. Из сходимости




Требование интегрируемости функции существенно для справедливости утверждения теоремы.
ПРИМЕР 2. Функция




интегрируема и

ПРИЗНАК АБЕЛЯ-ДИРИХЛЕ для сходимости несобственных интегралов .
Если функция






2)



Тогда интеграл

ДОК.

для любого

Для второго слагаемого

Тогда




ПРИМЕР 3 . Интеграл


РЕШЕНИЕ. Функция






ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Понятие несобственного интеграла на бесконечном промежутке. Критерий Коши сходимости интеграла.
2) Теоремы сравнения для несобственных интегралов на неограниченном промежутке.
3) Понятие абсолютной сходимости несобственных интегралов. Теорема о сходимости
абсолютно сходящихся интегралов.
4) Критерий Абеля- Дирихле сходимости несобственных интегралов.