Реферата по математической статистике

Вид материала

Реферат

Содержание Вычисление выборочного среднего По группированной выборке

Подобный материал:

• Дифференцированное обучение теории вероятностей и математической статистике студентов-социологов, 317.89kb.
• Обзор рекомендуемой литературы по дисциплине, 82.08kb.
• Программа дисциплины «Психогенетика» для направления 521000 Психология подготовки бакалавра, 165.5kb.
• Задачи и виды группировок Статистические ряды распределения Абсолютные показатели, 18.57kb.
• Рекомендации по структуре и содержанию реферата, 16.77kb.
• Требования к оформлению реферата, 23.11kb.
• Доклад Председателя Агентства рк по статистике А. Смаилова на расширенной коллегии, 348.3kb.
• Элементы математической логики, 189.46kb.
• Агентства Республики Казахстан по статистике обеспечить в установленном закон, 71.87kb.
• К написанию реферата для поступающих в аспирантуру, 436.81kb.

Методический материал для выполнения реферата по математической статистике


Часть I. Моделирование выборки

1. Из таблицы случайных чисел выбираем 51 значение: (2 блока + 1 число). Имеем равномерное распределение на промежутке (0;1).
   
2. По рекуррентной формуле получаем новые значения (стандартное нормальное распределение):
   

3. Задаем два числа, это условие: “ m= ” “= ” (>0).
   

Впоследствии: m – это математическое ожидание Х, а - это дисперсия Х.

Наша выборка: ,где i=1,2,...,50. Х – генеральная совокупность

4. Контроль: по выборке необходимо вычислить:
   
   • - выборочное среднее
     
   • - выборочная дисперсия
     
   • (исправленная дисперсия) []
     
   • -центрированная дисперсия
     

Если , то можно продолжать работу. В противном случае, необходимо заменить начальные значения.


Часть II. Обработка выборки. Группированный статистический ряд

1. Составляем вариационный ряд
   
2. Находим медиану. В нашем случае – это среднее арифметическое 25го и 26го членов вариационного ряда.
   
3. Находим размах выборки:
   
4. Отрезок [] делим на «k» равных частей. [k=1+3,31*lg(n)] [k=8 в нашем случае]
   
5. Длина каждого интервала:
   
6. Найдите середины интервалов:
   

7. Разделите вариационный ряд в соответствии с границами интервалов и определите частоту (абсолютную) попаданий значений Х в соответствующие интервалы.
   
8. Заполните следующую таблицу (группированный статистический ряд)
   

N	Интервал	штрихи	Ni(абс.частота)	Zi(серед.инт)	Pi*(отн.част.)	Накопл. Част.
1	[Xmin;a1)	||	n1	z1
2	[a1;a2)	||	n2	z2
3	[a2;a3)	||||||	n3	z3
4	[a3;a4)	||||||||||	n4	z4
5
6
7
8	[a7;Xmax)	||	n8	z8		1

9. Статистический ряд
   

Zi	Z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8
Pi*

Определяем моду:

10. Полигон частот:
    

11. Статистическая функция распределения:
    

-приближенная функция распределения исследуемой генеральной совокупности Х

12. Гистограмма выборки (оценка кривой функции плотности генеральной совокупности Х). Строим дополнительную таблицу:
    

N	1	2	3	4	5	6	7	8
Hi=Pi*/ Высота прямоугольника

Часть III. Вычисление выборочных характеристик

1. Линейное преобразование выборки.
   

Введем новую случайную величину: . Пусть Мо=(например, k=5).

	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8
	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3

Замечание:

2. Вычисление выборочного среднего:
   

Необходимо сравнить с первоначальным вычислением по всей выборке.

3. Вычисление выборочных дисперсий: :
   
   • Выборочная дисперсия генеральной совокупности Х: - сравнить с числом
     
   • Исправленная выборочная дисперсия:
     
   • Центрированная выборочная дисперсия: - раньше была
     
4. Вычисление выборочного С.К.О.:
   
5. Результаты занести в таблицу:
   

Числовые характеристики	По выборке	По группированной выборке

Глава IV. Построение доверительных интервалов

1. Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии.
   

Дано:

• нормальное распределение.
  
• ; n=50;
  
• Доверительная вероятность:
  

Построить доверительный интервал для математического ожидания:

Решение:

• Рассмотрим стандартную нормальную величину : ; UN(0;1).
  
• Рассмотрим квантиль порядка [значение функции распределения СВ U при х = равно вероятности 1-/2, т.е. F()=1-/2 ]
  
• 
  

Примечание: Поставьте вопрос: Каким должен быть объем выборки n, чтобы



Решение:

2. Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии
   

Дано:

• нормальное распределение.
  
• Т.к  неизвестна, то используем исправленную S; n=50;
  
• Доверительная вероятность:
  

Построить доверительный интервал для математического ожидания:

Решение:

• Рассмотрим случайную величину - распределение Стьюдента, число степеней свободы k=n-1.
  
• Обозначим - квантиль порядка 1-/2.
  
• 
  

3. Построение доверительного интервала для дисперсии, при условии, что математическое ожидание известно
   

Дано:

• нормальное распределение.
  
• m – смотри условие; n=50;
  
• Доверительная вероятность:
  

Найти доверительный интервал для дисперсии:

Решение:

• Рассмотрим случайную величину: (n степеней свободы)
  
• По таблице квантилей распределения найдем квантили:
  
• 
  

4. Построение доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании.
   

Дано:

• нормальное распределение.
  

• N=50; (исправленная дисперсия)
  
• Доверительная вероятность:
  

Найти доверительный интервал для дисперсии:

Решение:

• Рассмотрим случайную величину с (n-1) степенями свободы; k=n-1=49.
  
• По таблице квантилей распределения найдем квантили:
  
• 
  

• 
  

Часть V. Проверка статистических гипотез. Критерий значимости


Задача 1. Проверка гипотезы о значении математического ожидания при известном 


Дано:

• XN(m;) – нормальное распределение
  
• (смотри условие);
  
•  - уровень значимости [=0,1]
  

Ho – Нулевая гипотеза -

H1(1) – Альтернативная гипотеза (двусторонняя) -

Также нужно выбрать одну из односторонних гипотез, а именно: Если то имеем правостороннюю гипотезу H1(2) - . Если то имеем левостороннюю гипотезу H1(3) -

Решение:

1. Статистика критерия: - стандартно распределенная случайная величина
   
2. Вычислим выборочное значение этой величины, используя условие задачи:
   
3. Строим критическую область :
   

• Для двусторонней гипотезы H1(1) : :
  

Заметим, что критические точки области, это: квантили порядка 0,95.

Правила принятия решения: Если то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости =0,1 отвергаем.

• Для правосторонней гипотезы H1(2): :
  

Правило принятия решения: Если выборочное значение (квантиль порядка 0,9), то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости =0,1 отвергаем.

• Для левосторонней гипотезы H1(3): : .
  

Правило принятия решения: Если , то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости =0,1 отвергаем.


Задача №2. Проверка гипотезы о значении математического ожидания (генеральной средней) при неизвестном 


Дано:

• XN(m;) – нормальное распределение
  

• 
  
•  - уровень значимости [=0,1]
  

Нулевая гипотеза : Но:


Альтернативные гипотезы:

• H1(1): (двусторонняя)
  
• H1(2): (правосторонняя, если )
  
• H1(3): (левосторонняя, если )
  

Решение:

1. Статистика критерия: - распределение Стьюдента, число степеней свободы k=n-1.
   
2. Вычисляем выборочное значение на основании исходных данных:
   
3. Строим критическую область:
   

• Для двусторонней гипотезы H1(1) : :- квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы k=49.
  

Правило принятия решения: Если то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости =0,1 отвергаем

• Для правосторонней гипотезы H1(2): : - квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы k=49.
  

Правило принятия решения: Если то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости =0,1 отвергаем.

• Для левосторонней гипотезы H1(3): : - квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы k=49.
  

Правило принятия решения: Если то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости =0,1 отвергаем


Задача №3. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности при известном значении математического ожидания генеральной совокупности


Дано:

• XN(m;) – нормальное распределение
  

• - центрированная выборочная дисперсия
  
•  - уровень значимости [=0,1]
  

Нулевая гипотеза Но:

Альтернативные гипотезы:

• H1(1): (двусторонняя)
  
• H1(2): (правосторонняя, если )
  
• H1(3): (левосторонняя, если )
  

Решение:

1. Статистика критерия: - распределение с числом степеней свободы n=50/
   
2. Вычисляем выборочное значение
   
3. Строим критические области:
   
   • Для двусторонней гипотезы: H1(1): : - квантили распределения
     

Правило принятия решения: Если , то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если, , то гипотезу Но отвергаем на уровне значимости =0,1.

• Для правосторонней гипотезы: H1(2): :
  

Правило принятия решения: Если , то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если, , то гипотезу Но отвергаем на уровне значимости =0,1.

• Для левосторонней гипотезы: H1(3): :
  

Правило принятия решения: Если , то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если, , то гипотезу Но отвергаем на уровне значимости =0,1.


Задача №4. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности при неизвестном значении математического ожидания

Дано:

• XN(m;) – нормальное распределение
  

• - исправленная выборочная дисперсия
  
•  - уровень значимости [=0,1]
  

Нулевая гипотеза Но:

Альтернативные гипотезы:

• H1(1): (двусторонняя)
  
• H1(2): (правосторонняя, если )
  
• H1(3): (левосторонняя, если )
  

Решение:

1. Статистика критерия: - распределение с числом степеней свободы n=49.
   
2. Далее решение аналогично решению задачи №3
   

Часть VI. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий

• Нулевая гипотеза _: Генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Т.к. параметры m и  неизвестны, то в качестве: (исправленное С.К.О.) .
  
• Зададим уровень значимости  (например, =0,1).
  
• Выборочная статистика критерия вычисляется по формуле: ; - абсолютная частота попадания в «i» интервал; - вероятность попадания Х (нормально распределенная случайная величина) в “i” интервал.
  

Правило принятия решения: Если , то на уровне значимости =0,1 гипотезу Но принимаем:

• - это квантиль порядка 0,9 с числом степеней свободы s=r-l-1, где r- это число интервалов, а l – число неизвестных параметров (в нашем случае l=2). Как правильно найти число интервалов и вычислить соответствующее выборочное значение поясним далее.
  

Шаг 1: В качестве начальной таблицы возьмем таблицу группированной выборки

№	интервалы			n
1	[-∞;)
2	[;)
3	[;)
4	[;)
5	[;)
6	[;)
7	[;)
8	[;+∞)

Шаг 2: Вычисляем теоретические вероятности:

• 
  
• 
  
• 
  
• ------------------------------------
  
• 
  
• 
  

Примечание: обратите внимание, что

Шаг 3: Критерий использует тот факт, что случайная величина (i=1,2..k) имеет распределение близкое к нормальному N(0;1). Чтобы это утверждение было достаточно точным необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось условие . Если в некоторых интервалах это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними и только потом заполнять последний столбик.