Нахождение первых интегралов нелинейных дифференциальных уравнений является одной из главных задач теории дифференциальных уравнений

Вид материала

Документы

Подобный материал:

• Методические рекомендации по подготовке к сдаче государственного экзамена Раздел «Математика», 38.2kb.
• Программа дисциплины "Обыкновенные дифференциальные уравнения" Специальность нм, курс, 35.01kb.
• Точные решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании, 28.05kb.
• Учебная программа по дисциплине дифференциальные уравнения крюковский, 87.43kb.
• Задача Коши для квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого, 30.67kb.
• Нелинейные задачи математической физики, 84.09kb.
• «Анализ эффективности применения современных ит при решении дифференциальных уравнений», 223.28kb.
• Kirgizistan-tüRKİye manas üNİversitesi ders biLGİ formu, 113.45kb.
• С последействием, 20.76kb.
• Семинара молодых ученых ипмм нан украины «Математика, Механика, Кибернетика», 32.44kb.

Н.А. КУДРЯШОВ

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)


ИНДЕКСЫ ФУКСА И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


Нахождение первых интегралов нелинейных дифференциальных уравнений является одной из главных задач теории дифференциальных уравнений. Необходимое число первых интегралов позволяет построить общее решение нелинейного дифференциального уравнения, выраженное в квадратурах. Однако поиск первых интегралов представляет собой нелегкую задачу, поскольку в настоящее время какой-либо единый алгоритм отсутствует. В данном докладе обсуждается связь индексов Фукса, которые появляются при анализе нелинейных уравнений на свойство Пенлеве с первыми интегралами нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих свойством Пенлеве. На основании этого наблюдения предлагается алгоритм построения первых интегралов нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, который может быть обобщен на уравнения высшего порядка.

Пусть имеется дифференциальное уравнение четвертого порядка





Уравнение может быть проанализировано на свойство Пенлеве. Предположим, что уравнение обладает этим свойством. Алгоритмы анализа нелинейных уравнений на свойство Пенлеве в настоящее время хорошо известны [1]. Промежуточным результатом этого исследования является вычисление индексов Фукса [1].

Из исходного уравнения можно получить упрощённое уравнение, которое находится, если принять во внимание ведущие члены уравнения. Решение упрощённого уравнения можно искать в виде , где А и n – постоянные. По существу, на данном этапе используется скейлинг между зависимой и независимой переменными уравнениями, который характеризует, с одной стороны, размерность решения дифференциального уравнения, а с другой соответствует полюсу решения. Как известно [1], индексы Фукса в разложении решения в ряд Лорана соответствуют коэффициентам ряда, которые не определяются и поэтому эти коэффициенты в разложении решения являются произвольными постоянными. Используя скейлинг решения исходного уравнения, можно определить размерности произвольных постоянных при разложении решения в ряд Лорана. Эти размерности определяются значениями индексов Фукса.

Доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть задано нелинейное дифференциальное уравнение, имеющее полиномиальный вид и обладающее свойством Пенлеве. Тогда размерность членов первых интегралов для уравнения с ведущими членами определятся индексами Фукса.

Принимая во внимание эту теорему, в работе предлагается алгоритм поиска первых интегралов. В этом алгоритме используется полиномиальный вид первых интегралов с неопределёнными коэффициентами, размерность которых совпадает со значениями индексов Фукса. Этот полином подставляется в уравнение, которое, по существу, является определением первых интегралов. Полученное уравнение расщепляется на систему линейных алгебраических уравнений относительно неопределённых коэффициентов. Решение системы позволяет написать первые интегралы нелинейных уравнений.

Алгоритм состоит из следующих шагов: 1) нахождение упрощенного уравнения, используя подстановку ; 2) определение индексов Фукса для решения нелинейного дифференциального уравнения; 3) проверка исходного уравнения на свойство Пенлеве; 4) построение первого интеграла, используя неопределенные коэффициенты уравнения с ведущими членами; 5) решение линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов; 6) построение полинома с неопределенными коэффициентами для первого интеграла, соответствующего исходному уравнению; 7) определение неопределенных коэффициентов и построение первых интегралов для исходного уравнения.

Применяя разработанный алгоритм, в работе представлены первые интегралы для восьми нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, которые встречаются при описании волновых процессов. Часть из этих интегралов представлены в [2, 3].


Список литературы

1. Н.А. Кудряшов, Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, 2004, Москва – Ижевск, Институт компьютерных исследований, 360 с.
   
2. N A Kudryashov, Painleve Property and the first integrals of nonlinear differential equations, arXiv.org: nlin.SI/0408041 V.1, 23 Aug. 2004.
   
3. Н.А. Кудряшов, Первые интегралы нелинейной волновой динамики, Прикладная математика и механика, 2005 (в печати).