Нелинейные задачи математической физики
| Вид материала | Программа курса |
СодержаниеСтруктура курса Содержание курса Описание системы контроля знаний Список литературы Календарный план курса |
- Учебно-методический комплекс по дисциплине Линейные и нелинейные уравнения физики (Методы, 325.5kb.
- Учебно-методический комплекс по дисциплине опд. Ф. 02. Методы математической физики., 351.4kb.
- Учебно- методический комплекс по дисциплине опд. Ф 02. Методы математической физики, 340.98kb.
- Некорректные задачи, 36.86kb.
- Программа курса «уравнения математической физики» для математического отделения, 34.71kb.
- Уравнения математической физики направление подготовки, 18.02kb.
- Рабочая программа дисциплины «нелинейные уравнения математической физики» Рекомендовано, 163.22kb.
- А. М. Горького Институт по переподготовке и повышению квалификации программа курса, 53.14kb.
- Н. Г. Чернышевского кафедра теоретической и математической физики рабочая программа, 173.64kb.
- Содержание уравнения математической физики (нм-3) Уравнения математической физики (нп-3), 92.05kb.
Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики
Индекс специальности НМ (курс 5, семестры 9 и 10)
ПРОГРАММА КУРСА
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Целью курса является систематическое изложение современных методов решения задач математической физики, которые формулируются в виде краевых и начально-краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Задачей курса является обучение практическому применению современных методов решения нелинейных задач математической физики.
СТРУКТУРА КУРСА
Курс рассчитан на 90 часов учебной нагрузки (два семестра, 2,5 кредита),
из которых 60 часов отводится на лекции, 30 часов – на самостоятельную работу студента.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Тема 1.
Нелинейные отображения в пространствах Соболева, соответствующие нелинейным краевым и начально-краевым задачам математической физики.
Теоремы вложения для пространств Соболева и непрерывность нелинейных отображений. Гладкость нелинейных отображений. Слабый дифференциал и
слабая производная Гато. Сильный дифференциал и сильная производная Фреше. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью. Примеры вычисления сильных производных Фреше в нелинейных краевых и
начально-краевых задачах математической физики.
Тема 2.
Слабые и сильные решения линейных краевых и начально-краевых задач
математической физики. Гладкость слабых решений и их априорные
-оценки. Сильная производная по Фреше как изоморфизм. Замкнутость области значений линеаризованного отображения. Лемма Гронуолла.Тривиальность ядра и коядра линеаризованного отображения.
Тема 3.
Теорема об обратном отображении и открытость области значений
гладкого нелинейного отображения. Локальная разрешимость
нелинейных задач математической физики. Примеры. Априорная ограниченность непрерывного нелинейного отображения и замкнутость
его области значений. Глобальная разрешимость нелинейных задач математической физики. Примеры задач, в которых априорная
ограниченность отсутствует и глобальные решения не существуют.
Тема 4.
Единственность сильного решения нелинейной начально-краевой задачи
математической физики. Примеры неединственности для негладких
отображений. Негладкие отображения. Постановка соответствующих нелинейных начально-краевых задач математической физики. Достаточные условия существования глобальных сильных решений. Примеры.
Тема 5.
Метод Галеркина для нелинейных краевых и начально-краевых задач
математической физики. Базисные системы и их свойства. Обобщенная постановка нелинейной задачи и определение галеркинских приближений. Априорная ограниченность галеркинских приближений. Теорема Брауэра о неподвижной точке и существование галеркинских приближений в стационарном случае. Теорема Шаудера о неподвижной точке и существование галеркинских приближений в нестационарном случае.
Доказательство существования галеркинских приближений без предположения о линейной независимости системы (линейные и нелинейные задачи). Предельный переход для галеркинских приближений. Сильная сходимость галеркинских приближений в линейном случае. Достаточные условия сильной сходимости галеркинских приближений в нелинейном случае.
Тема 6.
Компактные нелинейные отображения в пространствах Соболева.
Вполне непрерывные отображения в пространствах Соболева.
Примеры. Теорема Шаудера о неподвижной точке и существование слабых
решений нелинейных краевых и начально-краевых задач математической
физики. Метод продолжения по параметру. Нелинейная альтернатива Лерэ-Шаудера.
Тема 7.
Монотонные операторы. Определения и основные свойства. Решение нелинейных уравнений с монотонными операторами. Метод Галеркина для нелинейных уравнений с монотонными операторами.
Тема 8.
Решение нелинейных уравнений итерационным методом Ньютона.
Сверхсходимость метода Ньютона. Проблема обращения производной Фреше для метода Ньютона. Проблема выбора начального приближения для метода Ньютона.
Тема 9.
Решение нелинейных уравнений методом функционально-аналитических разложений. Оценка скорости сходимости рядов функционально-аналитических разложений с помощью неравенства Коши.
Тема 10. Краткий обзор наиболее известных нелинейных задач математической физики.
ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ
Виды контроля знаний:
- написание реферата по выбранной теме
- итоговый контроль в форме письменной итоговой работы
Для оценки работы студента применяется балльная система. Наилучшему результату соответствуют 100 баллов, которые распределяются по видам контроля следующим образом:
- реферат – от 0 до 50 баллов;
- итоговая работа – от 0 до 50 баллов.
Соответствие суммарного количества набранных баллов итоговой оценке (по пятибалльной шкале и европейскому стандарту) показано в таблицах.
| Баллы | 0-50 | 51-68 | 69-85 | 86-100 |
| Оценка | неуд. | удовл. | хорошо | отлично |
| Баллы | 0-30 | 31-50 | 51-62 | 63-73 | 74-83 | 84-92 | 93-100 |
| Оценка | F | FX | E | D | C | B | A |
Методика выставления и шкала итоговых оценок отвечают принятым в РУДН для теоретических дисциплин.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература:
Ambrosetti A., Prodi G. A primer of nonlinear analysis. −
Cambridge Univ. Press, 1995.
Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. −
М., Мир, 1977.
Schechter M. Introduction to nonlinear analysis. −
Cambridge: Cambridge Univ.Press, 2004.
Schwartz J.T. Nonlinear Functional Analysis. −
N. Y.: Gordon and Breach, l969.
Дополнительная литература:
Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных
интегральных уравнений. − М., ГИТТЛ, 1956.
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. −
М., Наука, 1965.
Schwartz L. Topologie générale et analyse fonctionnelle. −
Paris: Hermann, 1980.
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН КУРСА
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебная нагрузка: 60 часов лекций (18 + 12 двухчасовых лекций ).
Лекция 1.
Нелинейные отображения в пространствах Соболева,
соответствующие нелинейным краевым и начально-краевым задачам
математической физики.
Лекция 2.
Теоремы вложения для пространств Соболева и
непрерывность нелинейных отображений.
Лекция 3.
Гладкость нелинейных отображений. Слабый дифференциал и
слабая производная Гато. Сильный дифференциал и сильная
производная Фреше. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью.
Лекция 4.
Примеры вычисления сильных производных Фреше в нелинейных краевых и
начально-краевых задачах математической физики.
Лекция 5.
Слабые и сильные решения линейных краевых и начально-краевых задач
математической физики. Гладкость слабых решений и их априорные
-оценки.Лекция 6.
Сильная производная по Фреше как изоморфизм. Замкнутость области
значений линеаризованного отображения. Лемма Гронуолла.
Тривиальность ядра и коядра линеаризованного отображения.
Лекция 7.
Теорема об обратном отображении и открытость области значений
гладкого нелинейного отображения. Локальная разрешимость
нелинейных задач математической физики. Примеры.
Лекция 8.
Априорная ограниченость непрерывного нелинейного отображения и
замкнутость его области значений. Глобальная разрешимость нелинейных
задач математической физики. Примеры задач, в которых априорная
ограниченность отсутствует и глобальные решения не существуют.
Лекция 9.
Единственность сильного решения нелинейной начально-краевой задачи
математической физики. Примеры неединственности для негладких
отображений.
Лекция 10.
Негладкие отображения. Постановка соответствующих нелинейных
начально-краевых задач математической физики. Достаточные условия
существования глобальных сильных решений. Примеры.
Лекция 11.
Метод Галеркина для нелинейных краевых и начально-краевых задач
математической физики. Базисные системы и их свойства.
Лекция 12.
Обобщенная постановка нелинейной задачи и определение галеркинских
приближений. Априорная ограниченность галеркинских приближений.
Лекция 13.
Теорема Брауэра о неподвижной точке и существование галеркинских
приближений в стационарном случае.
Лекция 14.
Теорема Шаудера о неподвижной точке и существование галеркинских
приближений в нестационарном случае.
Лекция 15.
Доказательство существования галеркинских приближений без
предположения о линейной независимости системы (линейные и
нелинейные задачи).
Лекция 16.
Предельный переход для галеркинских приближений. Сильная сходимость
галеркинских приближений в линейном случае. Достаточные условия
сильной сходимости галеркинских приближений в нелинейном случае.
Лекция 17.
Компактные нелинейные отображения в пространствах Соболева.
Вполне непрерывные отображения в пространствах Соболева.
Примеры.
Лекция 18.
Теорема Шаудера о неподвижной точке и существование слабых
решений нелинейных краевых и начально-краевых задач математической
физики.
Лекция 19.
Метод продолжения по параметру.
Лекция 20.
Нелинейная альтернатива Лерэ-Шаудера.
Лекция 21.
Монотонные операторы. Определения и основные свойства.
Лекция 22.
Решение нелинейных уравнений с монотонными операторами.
Лекция 23.
Метод Галеркина для нелинейных уравнений с монотонными операторами.
Лекция 24.
Решение нелинейных уравнений итерационным методом Ньютона.
Лекция 25.
Сверхсходимость метода Ньютона.
Лекция 26.
Проблема обращения производной Фреше для метода Ньютона.
Лекция 27.
Проблема выбора начального приближения для метода Ньютона.
Лекция 28.
Решение нелинейных уравнений методом функционально-аналитических разложений.
Лекция 29.
Оценка скорости сходимости рядов функционально-аналитических разложений
с помощью неравенства Коши.
Лекция 30. Краткий обзор наиболее известных нелинейных задач математической физики.