«Скажи мені-і я забуду, Покажи мені -І я запитаю Дай мені діяти самому І я навчуся»

Вид материала

Содержание

Хід уроку
2. Краткая биография Р. Декарта.
3. Гносеология нового времени: рационализм и эмпиризм.
4. Выдающиеся мыслители: Рене Декарт и его вклад в теорию познания.
5. Критика учения Декарта Локкартом и Юмом.
6. Значение дуалистичности учения Декарта для последующего развития идеализма и материализма.
7. Декартова система координат.

Подобный материал:

1 2 3 4 5

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань.

( у формі бесіди )

Запитання для бесіди

Пояснити, як знаходяться координати точки.
Які знаки мають координати точки в кожній чверті?
Записати формули для координат середини відрізка.
Записати формулу для відстані між точками.
Записати рівняння кола.
Як знайти координати точки перетину двох прямих, які задані рівнянням цих прямих.
Що таке кутовий коефіцієнт прямої і який його геометричний зміст?
При якій умові пряма і коло не перетинаються, перетинаються в двох точках, дотинаються?
Дати поняття синуса, косинуса, тангенса для довільного кута від 0⁰ до 180⁰.

ІІ. Повідомлення теми та мети уроку.

Оголошуються приз віща доповідачів та порядок їх виступів.

ІІІ. Творче застосування узагальнених знань, навичок та умінь.

Доповідачі виступають зі своїми повідомленнями. У кінці кожного виступу учні задають доповідачу запитання.

Загальна характеристика епохи.
Коротка біографія Р. Декарта.
Гносеологія нового часу.
Рене Декарт і його внесок в теорію пізнання.
Критика вчення Декарта Локкартом і Юмом.
Значення вчення Декарта.
Декартова система координат.

1. Общая характеристика эпохи.

Гносеология – теория познания, - по Н. Гартману, метафизическая составная часть познания наряду с логической и психологической.

Теория познания – сердце и души философии в том виде, в котором она существовала с начала XVII века. Большинство самых крупных философов – Р. Декарт, Г. Лейбниц, Дж. Локк, Д. Беркли, Дэвид Юм, Иммануил Кант _ сделали эпистемологические исследования главной части своей работы. Если мы не можем осознать, что заставило их столь серьёзно заняться вопросами, которые кажутся нам странными сегодня, то мы не можем действительно понять философию в том виде, в котором она существовала в течении последних четырёх веков. Во – вторых, кажущиеся странными проблемы современной теории познания непосредственно связаны с одной из ведущих культурных и интеллектуальных черт развития постсредневекового мира, а именно, с устойчивым движением к радикальному индивидуализму в религии, политике, искусстве и литературе, а также философии. Хотя эпистемологические загадки философии XVII – XVIII веков кажутся на первый взгляд странными и не имеющими отношения к интуиции, но они оказали глубокое влияние на то, как рисовали художники, писали поэты, каким образом теологи интерпретировали “ Слово Божье “, и даже на те способы, которыми экономисты, политологи и социологи объясняли нашу коллективную социальную жизнь.

2. Краткая биография Р. Декарта.

По общему признанию, человеком, который открыл новую страницу в теории познания, был француз Рене Декарт, родившийся в 1596 г. в Лаэ (Турень, Франция). Происходил из старинного дворянского рода. Образование получил в иезуитской школе Ла Флеш в Анжу. В начале 30 – летней войны служил в армии, которую оставил в 1621 г.; после нескольких лет путешествий переселился в Нидерланды, где провел 20 лет в уединенных научных занятиях. Здесь вышли его главные сочинения. В 1649 г. По приглашению шведской королевы Кристины переселился в Стокгольм, где вскоре умер в 1650 г.

Хотя Декарт за 54 года своей жизни написал ряд значительных работ, в которых обсуждались проблемы математики, физики и других наук, в том числе и философии, мы можем точно назвать философскую работу, которая знаменует собой начало современной философии в том её виде, в котором мы её изучаем сегодня. Это – “размышления о первой философии”, опубликованные Декартом в 1641 г. (русский перевод 1950 г.). следует отметить, что XVII век был веком научных гигантов, но среди великих мыслителей познания, усилиями которых было создано то , что известно сегодня как современная наука, только немец Готфрид Лейбниц и англичанин Иссак Ньютон могут встать рядом с Декартом.

3. Гносеология нового времени: рационализм и эмпиризм.

Декарт родился три четверти века спустя после того, как Мартин Лютер начал протестантскую реформацию, прибив гвоздями свои знаменитые тезисы к дверям церкви в Виттенберге. Любопытно, что сам Декарт был и всю свою жизнь оставался католиком. Своё начальное образование, как отмечено выше, философ получил у иезуитов. Однако если сущностью протестантской Реформации был отказ от религиозной власти института церкви и акцент на первичность индивидуального сознания, то ясно, что Декарт был интеллектуально и эмоционально крайним протестантом. Ведущей нотой его работы на протяжении всей жизни был бескомпромиссный отказ от общепринятого мнения, установившейся дактрины и власти, предшественников, а также совершенно индивидуалистическое требование приятия только тех истин, которые его собственный разум может признать доказательным.

Когда ему было едва за 20 лет, интерес Декарта был обращен к математике и физике – областям, в которых в то время доминировали еще аристотелевские и платоновские концепции и методы почти двухтысячелетней давности. Новые, захватывающие открытия были сделаны в обеих областях и Декарт, как и многие молодые гении, устремился в эту сферу. В ночь на 10 ноября 1619 года Декарт увидел три сна, которые перевернули всю его жизнь. Он говорил и писал о них впоследствии, как о поворотной точке своей карьеры. Сам Декарт интерпретировал свои сны как знак того, что он должен посвятить свою жизнь открытию новой объединённой теории Вселенной, основанной на математике – то, что сегодня можно было бы назвать математической физикой.

4. Выдающиеся мыслители: Рене Декарт и его вклад в теорию познания.

В круге вопросов философии, которые разрабатывал Декарт, первостепенное значение имел вопрос о методе познания. Как и Ф. Бэкон, Декарт видел конечную задачу знания в господстве человека над силами природы, в открытии и изобретении технических средств, познании причины действий, в усовершенствовании самой природы человека. Декарт ищет, безусловно, достоверное исходное основоположение для всего познания и метод, посредством которого возможно, опираясь на это основоположение, построить столь же достоверное знание всей науки. Ни это основоположение, ни этого метода он не находит в схоластике. Поэтому исходный пункт философских рассуждений Декарта – сомнение в истенности общепризнанного знания, охватывающего все виды знания. Однако, как и у Бэкона, сомнение, с которого начинал Декарт, есть не убеждение агностика, а только предварительный методический приём. Можно сомневаться в том, существует ли внешний мир, и даже в том, существует ли моё тело, но само моё сомнение, во всяком случае, существует. Сомнение же есть один из актов мышления. Я сомневаюсь, поскольку я мыслю. Если, таким образом, сомнение – достоверный факт, то оно существует лишь, поскольку существует мышление, поскольку существую я сам в качестве мыслящего: «… Я мыслю, следовательно, я существую…».

В учении о познании Декарт был родоначальником рационализма, который сложился в результате наблюдения над логическим характером математического знания. Математические истины, по Декарту, совершенно достоверны, обладают всеобщностью и необходимостью, вытекающими из природы самого интеллекта. Поэтому Декарт отвёл заключительную роль в процессе познания дедукции, под которой он понимал рассуждения, опирающиеся на вполне достоверные исходные положения (аксиомы) и состоящие из цепи также достоверных логических выводов. Достоверность аксиом усматривается разумом интуитивно, с полной ясностью и отчётливостью. Для ясного и отчётливого представления всей цепи звеньев дедукции нужна сила памяти. Поэтому непосредственно очевидные исходные положения, или интуиция, имеют преимущество сравнительно с рассуждениями дедукции. Вооруженный достоверными средствами мышления – интуицией и дедукцией, разум может достигнуть во всех областях знания полной достоверности, если только будет руководствоваться истинным методом.

Таким образом, важной частью плана Декарта является не новая наука, которую он разработал, а его концепция методов, с помощью которых он должен был проводить исследования. В своей частично биографической, частично философской работе, вышедшей в свет в 1637г. и озаглавленной «Рассуждения о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках», он излагает четыре правила, которые, как он утверждает, являются достаточными для того, чтобы направлять свой разум:

«Первое – ни когда не принимать за истинное ничего, что я не признал бы таковым с очевидностью, то есть тщательно избегать поспешности предубеждения и включать в свои рассуждения только то, что предоставляется моему уму столь ясно и отчётливо, что никому никаким образом не может дать повод к сомнению (т.е. допускать в качестве истинных только такие положения, которые представляются истинными и отчётливыми, не могут вызвать никаких сомнений в их истинности).

Второе – делить каждую из рассматриваемых мною трудностей на столько частей, сколько потребуется, чтобы лучше их разрешить (т.е. расчленять каждую сложную проблему на составляющие её частные проблемы или задачи).

Третье – располагать свои мысли в определённом порядке, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди тех, которые в естественном ходе вещей не предшествуют друг другу (т.е. методически переходить от известного и доказанного к неизвестному и недоказанному).

И последнее – делать всюду перечни настолько полные и обзоры столь всеохватывающие, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено» (т.е. не допускать никаких пропусков в логических звеньях исследования).

Прежде всего, метод Декарта – это метод вопрошания. Другими словами – это метод доказательства того, что вы уже знаете, или усовершенствование вашего знания путём его систематизации. Правила для ума Декарта должны послужить руководством для человека, который пытается разрешить какую-либо проблему или проанализировать какое-либо явление. Другими словами, он принимает точку зрения человек, который ещё не знает нечто, но пытается открыть это нечто с помощью своего ума, а не исходя из точки зрения учителя или эксперта, которые совершенно уверены в том, что они знают нечто, и просто пытаются объяснить это кому-нибудь ещё.

Во-вторых, метод Декарта – это метод сомнения. Его первое правило: «никогда не принимать за истинное ничего, что я не признал бы таковым с очевидностью». Декарт имеет в виду, что мы должны отказываться принимать нечто, как бы до этого ни были уверены в том, как бы много людей не верило в это, сколько бы очевидным это ни казалось до тех пор, пока мы не сможем быть абсолютно уверенными в том, что это на 100% верно. Если же существует малейшее, самое смутное, самое слабое сомнение относительно истинности подобного факта, то мы не должны его принимать.

Когда метод вопрошания комбинируется с методом сомнения, начинается трансформация самой природы философии. Эта трансформация, называемая некоторыми эпистемологическим поворотом, потребовала для своего завершения полтора века, вплоть до кантовской «критики чистого разума». После этого вся философия настолько изменилась, что сами вопросы, которые философы ставили, а также ответы, которые они давали, очень мало походили на то, что было написано до «Размышлений…». Эпистемологический поворот – очень простое , но хитрое понятие.

Сердцем епистемологического поворота не более, чем обращение назад в постановке двух основных вопросов философии. Со времён первых до сократовских космологов до эпохи Декарта на первое место философы ставили вопросы о том, что существует, о природе Вселенной, и только потом вопрошали о том, что я могу узнать относительно того, какова природа Вселенной. Это означает, что философы считали, что вопросы бытия имеют превосходство и они важнее вопросов сознания. Таким образом, в философии, которая предшествовала Декарту, метафизика брала верх над эпистемологией.

Два метода Декарта – метод вопрошания и метод сомнения – результат пересмотра предшествующего положения вещей. Понятые в прямом смысле слова и проводимые с последовательностью и твёрдостью, которых сам Декарт никогда не достигал, эти два метода заставили философов отложить вопросы бытия до тех пор, пока они не разрешат вопрос познания. А сам этот факт изменения значения вопросов о бытии так, что ко времени, когда революция, начатая Декартом, пошла своим ходом, привёл к тому, что метафизика старого типа закончила своё существование, а эпистемология нового типа заняла её место в качестве основной философии.

Как упоминалось выше, когда Декарт резюмировал доказательства своего собственного бытия на латинском языке, он употреблял фразу: «Cogito, ergo sum», что означает «Я мыслю, следовательно, существую». Таким образом, его доказательство стало известным в философском обиходе как Cogito – аргумент. Произнесение или утверждение высказывания является решающим моментом, потому что именно утверждение гарантирует истинность. Суть состоит в том, что если высказывание утверждается, то кто-то должен совершать это утверждение и, если я утверждаю его, этот кто-то должен быть мною. Нет необходимости говорить, что я не могу использовать это доказательство для утверждения существования кого-либо ещё. Моё утверждение всякого высказывания, истинного или ложного относительно меня самого или относительно кого-либо ещё, гарантирует, что я существую, потому что я есть субъект (т.е. тот, кто утверждает, т.е. сознательно мыслит это высказывание). А это есть ключевой момент – высказывание есть утверждение, и, следовательно, оно должно быть утверждаемо кем-то.

В своём первом «Размышлении…» Декарт сомневается во всём, что не известно с достоверностью. Он доходит до того, что принимает такой строгий критерий достоверности, что, в конечном счёте, ничто, кроме утверждения о его собственном существовании, не может удовлетворить его требованиям. Рассматривая всё многообразие своих верований, Декарт далее разделяет их на две большие группы: те верования, которые, как он считал, ему известны на основании свидетельств его собственных чувств, и те верования, которые, как он полагал, известны ему на основании мышления с помощью общих понятий.

Таким образом, благодаря аргументации в первом «Размышлении…» Декартом поднимаются две главные проблемы. Первая – это проблема достоверности. Какой критерий истинности мы должны принять в качестве стандарта, с которым соотносим наши познания? Вторая проблема есть источников познания. Если мы что-либо знаем, то встаёт вопрос о том, основано ли наше знание на источниках чувств, на абстрактном размышлении, или на некоей комбинации их обоих? Философия последующих 150 лет после опубликования «Размышлений…» представляла собой различные вариации этих двух главных тем.

Сам Декарт предложил предварительные ответы на вопросы о достоверности и источниках познания в заключительной части второго «Размышления…». В отношении проблемы достоверности он предложил два критерия, две проверки достоверности размышления:

«… ясное и чёткое ощущение того, что я произвожу высказывание, чего в действительности было бы недостаточно для того, чтобы убедить меня в том, что то что я говорю, истинно».
«… все вещи, которые я ощущаю, совершенно ясно и отчётливо, являются истинными».

Что касается источников нашего знания, то Декарт честно и прямо становится на сторону разума, а не на сторону чувств. Это именно то, чего и следовало ожидать от того, кто мечтал создать математическую физику. Вместо наблюдения и собирания данных на основе зрения, слуха, обоняния и осязания Декарт предпочитает создавать универсальную систему науки, исходя из логических и математических предпосылок и обоснованную жёсткой дедукцией. Чтобы убедить своих читателей в первичности разума в процессе познания, Декарт использует то, что называется «мыслительным экспериментом». Другими словами, он просит нас вообразить вместе с ним некую ситуацию (в данном случае то, что он сидит около камина с куском воска в руке), и затем он пытается нас заставить увидеть благодаря анализу ситуации, что наши методы рассуждения и познания должны иметь достоверный характер. Философы часто прибегают к такого рода утверждениям, когда они пытаются установить некоторые общие высказывания, а не доказывать определённый факт. В современной науке считается, что мысленный эксперимент не может выступать в качестве доказательства. В действительности он скорее является простым инструментом исследования логических и концептуальных взаимоотношений между различными идеями, так как должен дополняться тщательными вычислениями.

5. Критика учения Декарта Локкартом и Юмом.

Дискуссия по декартовым проблемам вскоре сама вылилась в конфликт между двумя более или менее сложившимися школами мысли – рационалистами и эмпириками.

Рационалисты приняли требования Декарта о неопределённости, они согласны с его точкой зрения на то, что логика и математика являются моделями для всякого истинного знания, и стараются отыскать способы построения главных утверждений науки и метафизики, обладающие той же степенью определённости и истинности, как силлогизм и геометрия. Они изыскивают доказательства существования Бога; они демонстрируют в качестве наглядных примеров фундаментальные принципы новой физики и продолжают верить в мечту Декарта о создании универсальной системы знания. Так же, как и Декарт, они отрицают значение наших чувств как источника знания и вместо этого выдвигают требования, чтобы всё истинное знание основывалось на операциях разума.

Эмпирики также принимают стремление Декарта к достоверности, но всё более настойчиво атакуя позицию рационалистов, они утверждают, что это требование не может быть выполнено. Дэвид Юм, наиболее блестящий и выдающийся представитель эмпириков, самым убедительным образом показал, что не утверждения науки, ни верования здравого смысла не могли бы, вероятно быть квалифицированы как знание, если рассматривать их с точки зрения собственно декартовых стандартов достоверности.

Эмпирики отвергают также и приверженность рационалистов к разуму, как единственному источнику познания. Сначала Джон Локк в своём «Трактате о человеческом понимании», а затем Юм «Трактате о человеческой природе» настаивали на том, что все идеи, содержащиеся в человеческом разуме, должны в конечном счёте проистекать из зрения, слуха, обоняния, осязания и вкуса, присущих нашим органам чувств. Разум, утверждают они, в действительности может сделать не больше, чем организовать и отсеять тот материал, который он получает через ощущения. Это подчинение разума чувствам было одним из самых сильных аргументов в наступлении эмпиристов на научные и метафизические системы, которые выдвигались философами – рационалистами.

Последовательно рассматривая возражение философов – эмпиристов «Размышление…» Декарта, следует начать с наступления, предпринятого Локком. Локк воспользовался простой, но очень действенной стратегией для своей атаки на утверждение, что только разум может дать нам знания. Вместо того, чтобы исследовать наши требования к познанию непосредственно, Локк предлагает задаться вопросом о том, из какого источника мы берём идеи, которые используем, устанавливая эти требования к познанию.

Согласно Локку, наш разум в момент нашего рождения представляет собой пустое свободное место. Он сравнивает его с листом чистой бумаги, на котором опыт пишет свои письмена. Согласно Локку: «…представим себе, что разум есть, как мы выражаемся, чистая бумага, лишённая всяких образов, всяких идей. Каким же образом он заполняется? Откуда берутся эти обширные запасы? Откуда берётся весь этот материал разума и познания? На это я отвечаю одним словом – опыт. В нём одном находится основание всего нашего познания; и из него, в конечном счёте, происходит всё».

Эмпириком, который довёл стратегию Локка до её логического конца, был Дэвид Юм. На самых первых страницах «Трактата о человеческой природе» Юм заимствует стратегию Локка и выдвигает свою версию принципа «белой бумаги». Он использует слово «восприятие» для того, чтобы обозначить любое содержание разума, и затем разделяет восприятия на те, которые происходят прямо из наших чувств, и на те, которые мы образуем на основе наших впечатлений, воспроизводя, классифицируя или же, в противном случае, изменяя их.

В теории Юма следует отметить три ключевых момента:

это, конечно, то, что Юм принял теорию «белой бумаги»;
это то, что иногда называют теорией идей – копий. Согласно Юму все наши идеи являются либо прямыми копиями чувственных впечатлений, либо комбинациями и перестановками копий чувственных впечатлений;
то, что у Юма имеется «атомистическая» теория содержания разума. Это означает, что он мыслит разум, как состоящий из маленьких неделимых «атомарных» кусочков ощущений и из неделимых копий этих кусочков, и ещё из того, что мы могли бы назвать «молекулярными» комбинациями атомарных ощущений.

Поскольку всё содержание разума может быть разделено на атомарные единицы, то из этого следует, что мы всегда можем отделить одну единицу от другой. Кроме того, говорит Юм, разум имеет власть разделять две единицы ощущения друг от друга, представляя одну из них несуществующей, и в то же время сохраняя другую в разуме. Посредством этих двух принципов, которые прямо следуют из его теории идеи, как копий, и из его атомарной теории содержания разума, Юм делает вывод, который одним махом сметает все метафизические, все естественнонаучные и почти все наши верования о мире, обоснованные здравым смыслом: «…опрометчиво поступают те, кто говорит, что всякое действие должно иметь причину, потому что последняя заключена в самой идее действия. Всякое действие необходимо изменяет причину, так как действие – относительный термин, коррелятом которого является причина. Но не доказывает, что каждому бытию должна предшествовать причина, точно так же, как из того, что каждый муж должен иметь жену ещё не следует, что каждый мужчина должен оказаться женатым. Правильная постановка вопроса такова: всякий ли объект, начинающий существовать, обязан своим существованием какой-нибудь причине? Я утверждаю, что это не достоверно, не интуитивно, не демонстративно и надеюсь, что такое мнение в достаточной степени было доказано мной с помощью предшествующих аргументов».

Не надо обладать богатым воображением, чтобы понять глубину выводов Юма. Я верю, что когда я сделаю глоток воды, это уменьшит испытуемую мною жажду. Я верю, что когда я поверну выключатель, загорится свет. Простейшие утверждения химии, физики и биологии, либо сами являются причинными суждениями, либо зависят от последних.

6. Значение дуалистичности учения Декарта для последующего развития идеализма и материализма.

Таким образом, можно отметить, что британские эмпирики сделали выводы из скептических аргументов Декарта более последовательно, чем он это сделал сам, и, таким образом, поставили под вопрос в отношении единства и существования личности, основные утверждения физики и математики. Продолжавшееся до середины XVIII века сражение эмпириков и рационалистов без решающего успеха какой-либо стороны были остановлены вышедшей в 1781г. работой немецкого философа Иммануила Канта «Критика чистого разума», изменившей понимание познания, сознания, собственной личности и отношения между тем, что мы знаем, и способом, каким существуют вещи.

Учение Декарта и направление философии и естествознания, продолжавшее его идеи, получило название картезианство (латинизированное имя – Картезий), он оказал значительное влияние на последующее развитие науки и философии. Учение Декарта о непосредственной достоверности самосознания, о врождённых идеях, об интуитивном характере аксиом, о противоположности материального и идеального явились опорой для развития идеализма. С другой стороны, учение Декарта о природе и его всеобщий механистический метод делают философию Декарта одним из этапов материалистического мировоззрения нового времени.

7. Декартова система координат.

Декартова система координат – прямолинейная система координат в евклидовом пространстве.

На плоскости общая декартова система координат ( аффинная система координат ) задаётся точкой О ( начало координат ) и упорядоченной парой приложенных к ней неколлинеарных векторов L₁и L₂ (базисных векторов). Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат данной Д. с. к. Первая, определяемая вектором L₁, называется осью абсцисс (или осью Ох),вторая осью ординат (или осью Оу). Сама Д. с. к. обозначается О_L₁_L₂ или Оху. Декартовыми координатами точки М (рис. 1) в Д. с. к. О_L₁_L₂ называется упорядоченная пара чисел (х, у), которые являются коэффициентами разложения вектора ОМ по базису L₁L₂:

OM = XL₁+XL₂

Число х называется абсциссой, число y – ординатой точки М. Если (x,y)- координаты точки М, то пишут М (x,y).

Если на плоскости введены две Д. с.к. ОL₁L₂ и О^/L^/₁L^/₂ так, что векторы базиса L^/₁L^/₂выражены через векторы базиса L₁L₂ формулами

L^/₁= A₁₁L₁ + A₁₂L₂,

L^/₂= A₂₁L₁+ A₂₂L₂

и точка О^/имеет в Д. с. к. ОL₁L₂ координаты (х, y) точка М в Д.с.к. ОL₁L₂ и координаты (x, y) той же точки в Д.с.к. О^/L^/₁L^/₂связаны соотношениями

X = A₁₁X^/ + A₂₁Y^/+ X_0,

Y = A₁₂X^/+ A₂₂Y^/ + Y₀

Д.с.к. называется прямоугольной (прямоугольной системой координат), если базис L₁L₂– ортонормированный, т.е. векторы L₁и L₂взаимно перпендикулярны и по длине равны единице (векторы L₁ и L₂ называются в этом случае ортами). В прямоугольной Д.с.к. координаты (х, у) точки М (прямоугольные координаты) соответственно равны: х – величине ортогональной проекции вектора ОМ на ось абсцисс, у – величине ортогональной проекции вектора ОМ на ось координат. В прямоугольной Д.с.к. Оху расстояние между точками М₁(х₁,у₁) и М₂ (х₂, у₂) равно:

М₁М₂= (х₁ – х₂)² + (у₂– у₁)²

Формулы перехода от одной прямоугольной Д.с.к. Оху к другой прямоугольной Д.с.к. О^/x^/y^/, начало которой О^/ имеет в Д.с.к. Оху координаты (х₀,у₀), имеет вид:

Х = Х^/COSL – Y^/SINL + X₀,

Y = X^/SINL + Y^/COSL + Y₀.

Или

X = X^/COSL + Y^/SINL + X₀,

Y = X^/SINL – Y^/COSL + Y₀.

В первом случае система Оx^/y^/ образуется поворотом базисных векторов на угол L и последующим переносом начала координат в точку О^/ (рис. 2), а во втором случае – поворотом и последующим отражением относительно прямой, несущей вектор L₁, а затем переносом начала координат (рис. 3).

Иногда используется косоугольная Д.с.к., отличающаяся от прямоугольной тем, что угол между единичными базисными векторами не являются прямыми.

Аналогично определяется общая декартова система координат (аффинная система координат) в пространстве заданием точки О – начала координат, и базисных векторов – трёх некомпланарных векторов L₁, L₂, L₃. аналогично плоскому случаю (рис.4) определяются оси координат – ось абсцисс (или ось Ох), ось ординат (или ось Оу) и ось аппликат (или ось Оz). Д.с.к. в пространстве обозначается О_L₁_L₂_L₃ (или ось Oxyz).

Плоскости, проходящие через пару осей координат, называются координатными плоскостями. Д.с.к. в пространстве называется правой, если поворот от оси Ох к оси Оу совершается в направлении, противоположном часовой стрелке, если смотреть на плоскость Оху из какой-нибудь точки положительной полуоси Оz, в противоположном случае – левой. Если базисные векторы L₁,L₂,L₃ единичной длины и попарно перпендикулярны, Д.с.к. называются прямоугольной (прямоугольной системой координат). Положение одной прямоугольной Д.с.к. с той же ориентацией определяется тремя эйлеровыми углами.

Д.с.к. названа по имени Р.Декарта, хотя в его соч. “ Геометрия ” (1637) система координат сводилась к оси абсцисс с началом отсчёта и системе параллельных, вообще говоря, наклонных ординат, а расстояния по оси и до оси могли быть только положительными числами. Но в издании 1659 – 61 к “ Геометрии “ приложена работа И. Гудде, в которой впервые допускаются как положительные, так и отрицательные значения координат.

Пространственную Д.с.к. ввёл Ф. Лаир (1679); он же впервые применил термин “ начало” – отсюда, видимо, обозначение О для начала координат. Обозначение х,у,z для декартовых координат не были приняты сразу и установились лишь в начале XVIII века. Современное название “ правая “ и “ левая “ системы предложены Дж. Максвеллом (1873).