Числові характеристики випадкової величини. Моменти розподілу. Визначення їх за даними досліду

Вид материала

Документы

Подобный материал:

• Закон великих чисел. Збіжність майже напевно та посилений закон великих чисел. Збіжність, 32.18kb.
• Тема 19. Статистична перевірка гіпотез, 240.9kb.
• Що вивчала статистика як сфера практичної діяльності у стародавні часи (Китай, Греція,, 519.67kb.
• Додаток використання комп’ютера для графічного оформлення результатів вимірювань, 42.39kb.
• 1. Закон розподілу системи., 26.16kb.
• Назва модуля: Вища та прикладна математика, частина 3 (МЕ) Код модуля, 18.86kb.
• Назва модуля: Взаємозамінність, стандартизація та технічні вимірювання Код модуля:, 47.16kb.
• Фізичної величини (гост 16263-70), 234.52kb.
• 13. Дискретний розподіл ймовірностей на множині значень випадкової величини, 35.05kb.
• Питання з «Економічний ризик І методи його вимірювання», 26.86kb.

§7.Деякі теоретичні закони розподілу.

7.1. Показниковий закон розподілу.


Така величина,як час безвідмовної роботи деякого механізму описується щільністю розподілу (диференціальною функцією),графік якої наведено на рисунку.





f(x)


_


x


Видно,що це експонента,яка складає на проміжку (0;+_ ). Для того,щоб ця функція описувала закон розподілу ймовірностей випадкової величини, вона повинна задовольняти умови _1 , тобто, у нас C_dx = 1.

Знайдемо значення С.

C_=_ C_-_) = - _ (0-1) =_= 1 ,C=λ , звідси _.


_ - параметр розподілу ,виражається,на основі статистичних даних. Насамперед визначимо теоретичні моменти даного розподілу і порівняємо їх з емпіричними:


1)початковий момент 1-го порядку, тобто мат.сподівання показникового розподілу

M(x)=_ = λ_dx =_ = λ_=λ_=_

M(x) =_.

2)центральний момент другого порядку,тобто,дисперсія

D(x) = λ _dx - (_)_=_.

(довести самостійно)

3)середнє квадратичне відхилення:

_(x) =_ = _.

Як бачимо,параметр розподілу_ пов’язаний з числовими характеристиками ВВ. Крім того , можна побачити,що для показникового закону характерна рівність мат.сподівання і середньо квадратичного відхилення. Порівняємо теоретичні та емпіричні моменти 1-го порядку тобто

M(x) =_

Так як _{ }=_, то λ_

Тобто,для знаходження параметра показникового розподілу досить мати середню вибіркову.

Приклад. Нехай відомі результати перевірки деякого прикладу на іспитовому стенді. Випробувано 100 зразків,вивчався час безвідмовної безупинної роботи приладу. Воно склало для 80 приладів менш 10 годин; для 10 приладів 10-20 годин; для 5- 20-30годин, для 5- 30-40 годин. Визначити ймовірність того,що час роботи приладу складає не менше 20 годин.

Збудуємо інтервальний ряд:

Час безвідмовної роботи	0-10	10-20	20-30	30-40
Середній інтервал	5	15	25	35
Кількість приладів(частота ознаки)	80	10	5	5
Відносна частота	0.8	0.1	0.05	0.05

Збудуємо гістограму відносних частот.


W

0,8

0,6

0,6

0,4

0,2

0 10 20 30 40 x

Дивлячись на неї, можна припустити, що дана кількість ознака-час безвідмовної роботи приладу – розподілена за показниковим законом.

Визначаємо емпіричні моменти розподілу:

середня вибіркова:

_=5·0,8+15·0,1+25·0,05+35·0,05=8,5

Вибіркова дисперсія

_ =5·0,8+225·0,1+625·0,05+1225·0,05-(8,5_=62,75.

виправлена дисперсія

_=_ ·_=_ ·62,75 = 63,38

Середнє квадратичне відхилення

_=_= 7,9.

Бачимо,що мат.відхилення і середнє квадратичне відхилення близькі між собою. Це свідчить на користь показникового закону

F(x) = λ_

Виражаємо λ =_ =_≈ 0,117 ≈ 0,12

Тепер. Маючи теоретичний закон розподілу, можна прогнозувати ймовірність появи того чи іншого значення цієї випадкової величини.

_ = 0,091.

Це ймовірність того, за час безвідмовної роботи приладу буде не менше 20 годин.

Показниковий закон відіграє велику роль в теорії машин та механізмів.


7.2.Нормальний закон розподілу.


Звернемось до прикладу про стиск зразків. Крива проведена через середини сторін прямокутників, у першому наближенні показує, який вигляд має диференціальна функція розподілу f(x). Крива має форму майже симетричну щодо вертикальної прямої x=_. Велика частина значень ВВ групується поблизу точки x=_, що є точкою максимуму кривої.

Багато ВВ мають подібну щільність розподілу ймовірностей. ЇЇ називають нормальним законом або законом Гауса

f(x) =_


f(x)






0 a x


Максимальна координата кривої → _ відповідає точці х=_. При віддаленні від т. _ щільність розподілу зменшується і при x→±_крива наближується до осі абсцис.


Знайдемо числові характеристики нормальної величини:


1)Математичне сподівання:

M(x)=_dx.

Замінимо_= t; dx=_dt;

M(x)=_dt =_dt +_dt;

а)_ dt = -_⎥_= 0;

б)Для обчислення другого інтеграла скористаємося тим що _Для нормального розподілу ця умова буде:

_dx=1,або в нових змінних

_; dt=_ буде_dt=1;_dt = _. Тоді

M(x)=_.

2)Аналогічно можна показати,що

D(x) =_;

середнє квадратичне відхилення _(x)=_.


Отже параметр_ являє собою мат. сподівання і характеризує центр розподілу; параметр _характеризує розсіювання випадкової величини щодо центра розподілу і обумовлює крутість кривої : чим більше _ тим більше розсіювання,тим менше крутість кривої.

Можна показати що для нормальної випадкової величини центральний момент 3-го порядку дорівнює нулю (_0), а центральний момент четвертого порядку дорівнює _3_.

Це означає,що асиметрія й ексцес для нормального закону дорівнюють нулю:

(A= _=0; E=_ – 3=0)


Зауваження. Закон розподілу,що виражається диференціальною функцією

_{ }

називається загальним нормальним. Для нього M(x)=_,_. Часто при розв’язуванні задач переходять до нормальної величини:_. Для неї щільність розподілу буде:

f∘(t)=_{ }

І називається нормованим нормальним розподілом. Мат.сподівання і середнє квадратичне відхилення для нормованої величини відповідно дорівнюють:

M(x)=0;_

Інтегральна функція нормального розподілу має вигляд:

А)для загального розподілу:_dx

Б)для нормованого розподілу:F∘(t)=_dt.

Ці інтеграли не беруться в елементарних функціях, але для F∘ (t)існують таблиці. Також існують таблиці функцій Ф(t)=_dt.

Це функція Лапласа.


Ймовірність улучення випадкової величини в заданий інтервал.


Згадаємо, що:

P(_x_=_dx.

Зробимо заміну змінної:

t=_; dx=_dt ;_;_=_.

Тоді P(_) = _dt=Ф (_ )- Ф (_.


Ймовірність заданого відхиленння.

Правило "3-х сигм".

Знайдемо ймовірність того що відхилення нормальної випадкової величини Х від її мат.сподівання _ не перевищує величини _. Тобто знайдемо ймовірність події

P(_

Згідно останній формулі: P(│_ │_ ) - _ ) = _ (_) - Ф(_) = 2 _ (_) так як функція Ф(t) непарна.

• Проаналізуємо такі випадки:
  
• 1. Нехай _=_Тоді P( │_ │ _ 2 _ (_)= 2Ф (1)=0,68. Тут значення Ф(1)=0.34- знайдені по таблиці.
  
• 2.Нехай _=_. Тоді P( │_ │ _) = 2ф(2) = 0,478·2 =0,95.
  
• 3.Нехай _=_{ }Тоді P( │_ │ _)=2ф(3)=0,997.
  

Бачимо що з ймовірністю 0.997,тобто з практичною вірогідністю,значення нормальної величини потрапляють в інтервал:

_.

Це"Правило 3-х сигм"За його допомогою можна судити про те,чи є дана випадкова величина розподілена за нормальним законом чи ні. Таким чином підставою для вибору гіпотези є виконання умов:

1).99,7% значення випадкової величини належать інтервалу:

_.

2)асиметрія й ексцес близькі до нуля (A_).

Звернемось до нашого прикладу з осьовим стиском. Бачимо,що крива,що вирівнює гістограму, має такий же вигляд, як і нормальна щільність розподілу. Асиметрія А=0.28 і ексцес Е=- 0.6 близькі до нуля.

Перевіримо виконання правила «3-х сигм».





159,74_

Дійсно,_=165 і _ =189 укладаються в цей інтервал. Тому в першому наближенні ми можемо висунути гіпотезу про те,що значення досліджуваної кількісної ознаки - міцності на стиск гірської породи – підпорядковується нормальному закону розподілу. Визначаємо параметри цього розподілу на основі дослідних даних. Використовуємо метод моментів. Дорівнюємо початкові статистичний і теоретичний момент и розподілу.

M(x) =_Для нормального закону M(x)=_. Тому_=_=175,94. Для знаходження ще одного невідомого параметру (_ ) дорівнюємо центральні моменти другого порядку: D(x)=_

Для нормального закону D(x)=_тому_=_.

Отримаємо тезу про теоретичний закон розподілу в першому наближенні:


_.


У відповідальних рахунках перевірка статистичної гіпотези потрібна більш ретельна за так званими критеріями згоди.