Решение. Найдем значение параметра

Вид материала

Решение

Содержание F(x) и подставляя значение а F(x) сначала в точке x

Подобный материал:

• Решение выполняется с помощью пакета Mathcad, 77.74kb.
• Засоби «Пошук розв’язку» та «Підбір параметра» Пошук параметра, 190.78kb.
• Проверка статистических гипотез о законах распределения, 59.19kb.
• Задание на курсовую работу по дисциплине «математическая статистика» для студентов, 35.79kb.
• Лекция 15. Определённый интеграл, 71.1kb.
• Свойства оценок параметров, получаемых с помощью наименьших квадратов, 47.59kb.
• Татистической проверке гипотез о сходстве параметров различных объектов и выявлении, 104.04kb.
• Святитель Григорий Нисский Догматические сочинения (1), 1797.3kb.
•  решение задач оптимизации (Подбор параметра, Поиск решения, Сценарии "что если", 45.39kb.
• Содержание программы, 113.77kb.

1. Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x).

0 при x  0

F(x) = Ах при 0  x  4 =2; =7.

1 при x  4

Требуется:

1. Найти плотность распределения вероятностей f(x);
   
2. Определить коэффициент А;
   
3. Схематично построить графики функций F(x) и f(x);
   
4. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;
   
5. Определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (; ).
   

Решение.

Найдем значение параметра a, используя непрерывность функции F(x) в точке x = 4

А *4 = 1

Получаем значение А = 1/4

Дифференциальную функцию f(x), получаем дифференцируя функцию F(x) и подставляя значение А = 1/4

0 при x  0

f(x) = 1/4 при 0  x  4

0 при x  4

Графики функций F(x) и f(x);

f(x)
1

0 2 4 6 X

F(x)
1

0 2 4 6 X


Математическое ожидание случайной величины x:






дисперсия случайной величины x:







Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (2; 7).

P(x₁  X  x₂) = F(x₂ ) - F(x₁ ) = F(7) - F(2) = 1 – 2/4 = 1/2

P(2  X  7) = 0,5


2. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти

а) плотность распределения случайной величины

б) вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b).

Найти числовые характеристики.

0 при x < 0

F(x) = x² при 0  x  1

1 при x  1

a) Плотность распределения вероятностей f(x), получаем дифференцируя функцию F(x)

0 при x < 0

f(x) = 2 x при 0  x  1

0 при x  1

б) Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (а; b).

P(а  X  b) = F(b ) - F(а )


Математическое ожидание случайной величины х:





Дисперсия случайной величины x:








3. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а (математическое ожидание) и  (среднее квадратическое отклонение).

Требуется:

а) написать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;

б) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (;);

в) определить вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более чем на .

а=9; =3; =3; =12; =6.


а) напишем плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х:



изобразим схематически график





f(x)







9 х


б) Вероятность того, что х примет значения, принадлежащее интервалу (3;12) составляет;



где Ф(х) – функция Лапласа. По таблице находим:



в) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения Ix-аI окажется меньше =6




4. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией F(x).

0 при x  3

F(x) = a (x - 3) при 3  x  8

1 при x  8

Требуется найти:


а) значение параметра а;

б) дифференциальную функцию f(x);

в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины x;

г) построить график функций F(x) и f(x);

д) вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (-1; 4).


Решение.

а) Найдем значение параметра a, используя непрерывность функции F(x) в точке x = 8

а *(8 - 3) = 1

Получаем значение а = 1/5

б) Дифференциальную функцию f(x), получаем дифференцируя функцию F(x) и подставляя значение а = 1/5

0 при x  3

p(x) = 1/5 при 3  x  8

0 при x  8

в) математическое ожидание случайной величины x:






дисперсия случайной величины x:






г) графики функций F(x) и p(x);

f(x)

1

1/5

0 2 4 6 8 10 X

F(x)

1

0 2 4 6 8 10 X


д) Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (-1; 4).

P(x₁  X  x₂) = F(x₂ ) - F(x₁ ) = F(4) - F(-1) = 1/5 – 0 = 1/5

P(x₁  X  x₂) = 0,2


5. . Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х имеет вид:

0 x  /2

F(x) = А+Вcosx /2  x  

1 x  

Найти:

• неизвестный коэффициент А;
  
• функцию плотности распределения f(x);
  
• математическое ожидание М[X], дисперсию D[X];
  
• вероятность попадания Х в интервал Р(0
• построить графики функций f (x), F (x).
  

Решение.

Найдем значение параметров А и В, используя непрерывность функции F(x) сначала в точке x=/2, используя первое и второе условия в описании функции F(x)

F(/2) =0

F(/2) = А+Вcos(/2)=А  А=0

Теперь используем непрерывность функции F(x) в точке x=, используя второе и третье условия в описании функции F(x)

F() = Вcos= -В

F() = 1  В= -1

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х имеет вид:

0 x  /2

F(x) = -cosx /2  x  

1 x  


Функцию плотности распределения f(x), получаем дифференцируя функцию F(x)


0 x  /2

f(x) = sinx /2  x  

0 x  


Математическое ожидание случайной величины x:






дисперсия случайной величины x:








Определим вероятность попадания Х в интервал Р(0
P(x₁  X  x₂) = F(x₂ ) - F(x₁ ) = F(2/3) - F(0) = -cos(2/3) – 0 = 1/2

P(x₁  X  x₂) = 0,5


Построим графики функций F(x) и p(x);

f(x)

1

0 1 2 3 4 X

F(x)

1

0 1 2 3 4 5 X