Лекция Случайные величины и их распределения
Вид материала | Лекция |
Содержание6.2. Дискретные распределения Примеры дискретных распределений Распределение Бернулли. Геометрическое распределение. Распределение Пуассона. |
- Случайные величины и функции распределения, 49.56kb.
- Дискретные случайные величины Ряд распределения, 29.73kb.
- Программа вступительных испытаний по предмету прикладная математика и информатика для, 16.87kb.
- Основные виды случайных величин, 28.43kb.
- Программа государственного экзамена по направлению (магистерская подготовка) 230100., 37.35kb.
- Линейная регрессия и метод наименьших квадратов, 177.63kb.
- Вопросы к экзаменам 3-й курс вмк вопросы для темы, 70.75kb.
- Московский институт радиотехники, электроники и автоматики, 121.14kb.
- Задачи по теории вероятностей и математической статистике, 57.05kb.
- Лабораторная работа 1-08 экспериментальное изучение гауссовского закона распределения, 108.63kb.
Лекция 6. Случайные величины и их распределения
- Случайные величины
- Дискретные распределения
- Примеры дискретных распределений
- Примеры дискретных распределений

6.1. Случайные величины
Мы уже видели, что для очень многих экспериментов нет никаких различий в подсчете вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. То есть ввести соответствие (иначе говоря, отображение) между элементарными исходами и вещественными числами (с ними удобно работать).
Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство

Определение 24.
Функция



является событием, то есть принадлежит


Это нужно ровно затем, чтобы вероятность такого множества была определена! Напомню: вероятность есть неотрицательная, счетно-аддитивная функция, определенная только на множествах из сигма-алгебры

Замечание 9.
Читатель, не желающий забивать себе голову абстракциями, связанными с



Определение 25.
Будем говорить, что функция



принадлежит


Итак, случайная величина есть



Пример 23.
Подбрасываем 1 раз кубик. Пусть





- Если
есть множество всех подмножеств
, то
и
являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит
, в том числе и
или
. Можно записать соответствие между значениями случайных величин
и
и вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»:

Здесь

- Пусть
-алгебра событий
состоит всего из четырех множеств:

то есть событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного (соответственно, нечетного) числа очков. Убедимся, что при такой «бедной»







- Упражнение. Описать класс всех функций, измеримых относительно
-алгебры
.
Пусть-алгебра событий
есть тривиальная
-алгебра :
.
Упражнение.
Доказать, что



Доказать, что измеримы относительно тривиальной


Теперь попробуем понять, зачем нужна


Если задана случайная величина





(и вообще самые разные вероятности попадания в различные множества на прямой). Это возможно только если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями (еще раз напомню, что вероятность есть функция из

Но если потребовать, чтобы



![]() | (11) |
и т.д., и т.п. (операции пересечения, объединения, дополнения событий не выводят из класса событий).
Можно потребовать в определении 24 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал:




Замечание 10.
Те, кто не поленился прочесть про борелевскую




Опишем различные типы распределений случайных величин. Под распределением случайной величины мы будем понимать соответствие
«значение случайной величины

либо (чаще)
«множество на прямой


6.2. Дискретные распределения
Определение 26.
Говорят, что случайная величина


а)


б)

То есть случайная величина

Определение 27.
Если случайная величина


![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ... |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ... |
Примеры дискретных распределений
Вырожденное распределение.
Говорят, что случайная величина







![]() | ![]() |
![]() | 1 |
Распределение Бернулли.
Говорят, что случайная величина









![]() | 0 | 1 |
![]() | ![]() | ![]() |
Биномиальное распределение.
Говорят, что случайная величина











Таблица распределения


Геометрическое распределение.
Говорят, что случайная величина









Таблица распределения

![]() | 1 | 2 | ... | ![]() | ... |
![]() | ![]() | ![]() | ... | ![]() | ... |
Распределение Пуассона.
Говорят, что случайная величина







Таблица распределения

![]() | 0 | 1 | ... | ![]() | ... |
![]() | ![]() | ![]() | ... | ![]() | ... |
Гипергеометрическое распределение.
Говорят, что случайная величина














Таблицу распределения

Заметьте, что со всеми этими распределениями мы уже хорошо знакомы.
Но распределения случайных величин далеко не исчерпываются дискретными распределениями. Так, например, если точка бросается наудачу на отрезок [0,1], то можно задать случайную величину, равную координате этой точки. Но число значений этой случайной величины не счетно, так что ее распределение дискретным не является. Да и вероятность этой случайной величине принять каждое из своих возможных значений (попасть в точку) равна нулю. Так что не только таблица распределения не существует, но и соответствие «значение величины

Какими же характеристиками еще можно описать распределение?