Geum.ru

Е. В. Сметанин 2003 г. Рабочая программа

Вид материалаРабочая программа

Содержание


Рабочая программа курса «Топология. Многообразия. Графы»
2. Содержание учебного материала
Элементы теории множеств
Векторные пространства. Тензоры
Метрические пространства.
Топологические пространства.
Расслоенные пространства.
Элементы теории графов.
Формы промежуточного и итогового контроля
Учебно – методическое обеспечение
Подобный материал:

Ивановский государственный университет




Утверждаю


Декан физического факультета,

___________проф. Е.В. Сметанин


«___»_______________2003 г.


Рабочая программа


учебной дисциплины «Топология. Многообразия. Графы»


Специальность – Физика


Факультет – Физический


Курс – 3


Семестр – 5


Кафедра теоретической физики, математического и компьютерного моделирования


Общая трудоёмкость дисциплины – 120 час.


В том числе:

Лекции – 58 час.

Практические занятия – 32 час.

Лабораторные работы – 0

Самостоятельная работа – 30 час.


Рабочая программа принята на заседании кафедры


«___»________________2003 г.


Заведующий кафедрой __________________ (Е.В. Сметанин).


Рабочая программа курса «Топология. Многообразия. Графы»




  1. Объяснительная записка


Данный курс является частью профессиональной подготовки специалистов на специальности 010400 – Физика, специализирующихся по специализации «Теоретическая физика».

Этот специальный курс читается в 5-м семестре после изучения студентами основных математических дисциплин.

Данный курс посвящен разделам математики, находящим все более широкое применение в современной физике. Сделана попытка, дать системное математическое образование физикам – теоретикам (от теории множеств до расслоенных пространств).

Организация учебного процесса имеет традиционную форму: проводятся лекционные и практические занятия. Большое время уделяется самостоятельной работе студентов, которая опирается на работу студентов с учебным пособием автора программы «Категорно – тензорный подход к моделированию систем». С целью контроля самостоятельной работы студентов запланировано проведение трех коллоквиумов.


2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

    1. Разделы курса

Раздел 1. Элементы теории множества

Раздел 2. Векторные пространства. Тензоры.

Раздел 3. Метрические пространства.

Раздел 4. Топологические пространства.

Раздел 5. Многообразия.

Раздел 6. Гомотопии. Гомотопические группы.

Раздел 7. Расслоение пространства.

Раздел 8. Элементы теории графов.

Раздел 9. Полиэдры. Группы гомологий и когомологий.

  1. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ (по темам)




№ п/п
Наименование разделов
Общая трудо-емкость
Аудиторные занятия
Самос-тоятель-

ная

работа

Лекции
Практич.

занятия
Лаборат.

работы

1
2
3
4
5
6
7

1.
Элементы теории множеств

Понятие множества. Операции над множествами.

Отображения множеств. Разбиение множества на классы. Отношение эквивалентности. Фактормножество. Эквивалентность множеств.

Понятие мощности множества.


8


4


2





2

2.
Векторные пространства. Тензоры. Группа. Поле. Определение векторного пространства. Базис. Размерность. Преобразование системы координат. Гомоморфные и изоморфные преображения. Операторы. Сопряженное пространство. Аннулятор. Скалярное произведение. Группы преобразований. Метрические коэффициенты. Тензоры. Понятие категории. Функтор.


16


8


4





4

3.
Метрические пространства.

Понятие метрического пространства. Метрика. Непрерывность отображений метрических пространств. Гомеоморфизм.


6


2


2





2

4.
Топологические пространства. Понятие топологии. Топологические пространства. Сравнение топологий. База топологии.

Непрерывное отображение. Гомеоморфизм. Изотопия. Топологические инварианты. Топологическое отождествление. Фактор-пространство и фактор-топология. Склеивание. Пространство орбит. Произведение топологических пространств.

Топологическая сумма пространств. Связность и линейная связность топологических пространств

Компактность пространств.



22


12


6





4

5.
Многообразия.

Дифференцируемые многообразия. Карта. Атлас. Поверхности. Триангуляция. Эйлерова характеристика. Топологические группы. Группы Ли.



14


6


4





4

6.
Гомотопии. Гомотопические группы.

Определение гомотопии. Гомотопическая эквивалентность. Гомотопические классы. Фундаментальная группа. Относительные гомотопические группы.



10


4


2





4

7.
Расслоенные пространства. Касательное и кокасательное пространства. Репер. Расслоение. Сечение расслоения. Тензорное расслоение. Метрика. Связность. Ковариантная производная. Пространство аффинной связности. Геодезическая кривая. Тензор кривизны. Тензор кручения. Тензор сегментарной кривизны. Пространство Римана.

Пространство Римана – Картана. Символы Кристоффеля. Объект неголономности. Голономные и неголономные преобразования координат.



16


8


4





4

8.
Элементы теории графов.

Понятие графа. Подграф. Маршруты, цепи, пути и циклы. Связный граф. Диаметр графа. Операции над графами. Деревья и остовы. Ранг и цикломатическое число графа. Базисные циклы и базисные разрезающие множества. Планарность. Формула Эйлера. Двойственные графы. Эйлеровы и гамильтоновы

Графы. Ориентированные графы.

Граф группы. Матрица инциденций. Матрица смежности. Матрица разрезов. Матрица циклов. Векторное пространство графа и его подпространства. Алгоритмы на графах (поиск остова, поиск кратчайших путей в графе, задача о максимальном потоке).


20


10


6





4

9.
Полиэдры. Группы гомологий и когомологий.

Симплексы. Комплексы. Полиэдры. Симплициальные цепи. Оператор границы. Циклы. Группы симплициальных гомологий. Симплициальные коцепи. Оператор кограницы. Коциклы. Группы симплициальных когомологий.



8


4


2





2



  1. ФОРМЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ


Промежуточный контроль: а) опрос студентов на семинарских занятиях о выполнении домашних заданий;

б) три коллоквиума.

Итоговый контроль: - зачет

  1. УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ



    1. Рекомендуемая литература (основная)



  1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука. 1977.
  2. Энгелькинг Р. Общая топология М.: Мир, 1986.
  3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия М.: Наука. 1986.
  4. Введение в топологию: Учеб. пособие для вузов / Ю.Г. Борисович, М.М. Близняков, Я.А.Израилевич, Т.Н. Фоменко М.: Выс. Школа,1980.
  5. Косневский Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир,1983.
  6. Масси У., Столлингс Дж., Алгебраическая топология. М., Мир, 1977.
  7. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии М.: Мир , 1970.
  8. Басакер Р.,Саати Т. Конечные графы и сети. М.,: Наука, 1970.
  9. Харари Ф. Теория графов М.: Мир, 1973.
  10. Уилсон Р. Введение в теорию графов М.: Мир, 1977.
  11. Е.В.Сметанин. Категорно – тензорный подход к моделированию систем. Учебное пособие. Иваново: Ив. гос. ун-т, 1995.


    1. Рекомендуемая литература (дополнительная)



  1. Архангельский А.В. Канторовская теория множеств. М.: Изд-во МГУ, 1988.
  2. Постников М.М. Аналитическая геометрия М.: Наука, 1986.
  3. Постников М.М. Линейная алгебра М.: Наука, 1986.
  4. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом» М.: Наука, 1973.
  5. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд – во МГУ, 1980.
  6. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. Математические отряды в реальном мире. М.: изд. Моск. Ун-та.1992.
  7. Оре О. Теория графов М.: Наука, 1968.
  8. Свами М.,Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы М.: Мир, 1984.