Решение любого показательного уравнения сводится к решению "простейших" показательных уравнений, то есть уравнений вида: a f(X) =a g(X)

• Тема: «способы решений различных квадратных уравнений», 221.75kb.
• Методы решения тригонометрических уравнений, 53.9kb.
• Методика изучения уравнений в курсе алгебры 7-9 классов Примерное содержание, 12.53kb.
• «Уравнения с двумя неизвестными в целых числах», 152.9kb.
• Вопросы к экзамену по курсу «Уравнения математической физики» (6 семестр), 55.2kb.
• Тема: «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы», 199.57kb.
• Лекция № Тема 1: Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса решения систем, 50.61kb.
• Программа несущую двойную функцию по решению квадратных уравнений, 49.47kb.
• Учебная программа по дисциплине дифференциальные уравнения крюковский, 87.43kb.
• Министерство образования и науки. Республика Бурятия моу выдринская общеобразовательная, 212.56kb.

Методы решения показательных уравнений

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида: 1. af(x)=ag(x) или 2. af(x)=b. Очевидно, что уравнение типа 2 сводится к уравнению типа 1 с помощью основного логарифмического тождества: 2! af(x)= . Уравнение (1) равносильно уравнению f(x)=g(x) при а > 0, а ¹ 1. Этот переход называется потенцированием.

Способы решения показательных уравнений

1 тип: приведение к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней: а) . Проверка: ; ; =; б) . Решение: ; ; ; ; ; ; (х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х2+5х–3х–15=х2+25х–7х–175; 16х=160; х=10. Проверка: х=10. ; ; ; ; =– верно. Ответ: х=10; в) . Решение: ; ; ; ; ; x=1. Проверка: ; ; =– верно. Ответ: х=1; г) . Решение: ; ½3х–4½=4х–4, для х ³имеем ½3х–4½=3х–4 и тогда уравнение запишем в виде 3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х <имеем ½3х–4½=4–3х и уравнение запишем в виде 4–3х=4х–4; –7х=–8; х=. Проверка: х=0. ; ; – не верно. х=. ; ; – верно. Ответ: х=. 2 тип – уравнения вида P(ax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Такие уравнения решаются методом подстановки: ax=y, решаем уравнение P(y)=0, находим его корни yi и потом решаем простейшее уравнение ax= yi. Пример: а) . Решение: . Обозначаем: = y; 3y2–10y+3=0; D=25–9=16; y1=3; y2=. Получаем: 1. =3; ; ; х1=2.  2. =; ; ; х2=–2. Проверка: 1. ; 3×9–10×3+3=0 – верно. 2. ; ; – верно. Ответ: х=2; х=–2; б) . Решение: . Пусть 4х=y, y2+12y–64=0, y1,2=–6±=–6±10, y1=4; y2=–16 (п.к.), т.к. 4х > 0, 4х=4 Þ х=1. Проверка: ; 16+3×16–64=0; 16+48–64=0 – верно. Ответ: х=1; в) . Решение: , . Пусть , ,, , ; ; ; ; ; ; x=20. Проверка: x=20. , – верно. Ответ: х=20. г) . Решение: . Пусть ; тогда уравнение запишем в виде ; y1,2=2; y1=3 и y2=1; или ; x2–1=1; x2–1=0; x=; x=±1. Проверка: x=; ; 9–12+3=0 – верно; х=±1; ; 1–4+3=0 – верно. Ответ: x=; х=±1. 3 тип – метод вынесения общего множителя за скобки: а) . Решение: ; ; ; ; ; ; х=0. Проверка: ; ; 0,992=0,992 – верно. Ответ: х=0; б) . Решение: ; ; ; ; х=0. Проверка: ; 49–1+2–2=48; 48=48 – верно. Ответ: х=0; в) . Решение: ; ; ; ; ; ; х=2. Проверка: ; ; 2–8+3=–3; –3=–3 – верно. Ответ: х=2. 4 тип – уравнения вида решаются путем деления членов на или . а) . Решение: Делим на . ; . Положим , тогда имеем ; . Решаем это уравнение и получаем y1=1, y2=. следовательно: ; . Проверка: х=0; ; 3+2=5 – верно; х=; ; 12+18=30 – верно. Ответ: х=0; х=. б) . Решение: ; . Разделим обе части данного уравнения на . ; . Пусть , тогда уравнение примет вид: ; , ; ; ; ; . Проверка: ; . Делим на . ; ; ; 6=6 – верно; ; . Делим на ; ; ; 6=6 – верно. Ответ: ; .