Рабочая программа дисциплины дисциплина в. Дв. 2 Некорректные задачи Укрупненная группа 010000 физико-математические науки

Вид материала

Рабочая программа

Содержание Рабочая программа дисциплины 1 Цели и задачи изучения дисциплины Задачи изучения дисциплины 2 Объем дисциплины и виды учебной работы Общая трудоемкость дисциплины Самостоятельная работа Вид промежуточного контроля (зачет, экзамен) 1. Рассмотрение математических постановок различных обратных и некорректных задач. Физический смысл (2 часа). 2. Задачи корректные по Адамару, условная корректность/корректность по Тихонову (2 часа). 3. Понятие квазирешения, отыскание формул для квазирешения операторного уравнения (2 часа). 4. Обзор и использование методов регуляризации (2 часа). 5. Интегральное уравнение Фредгольма 1го рода. Некорректность (2 часа). 6. Регуляризация линейных интегральных уравнений Вольтерра первого и второго рода. 7. Операторные уравнения Вольтерра. Локальная корректность и единственность (2 часа). 8. Прямая задача Штурма-Лиувилля. Поведение спектра. Свойства собственных функций (2 часа). 9. Обратная задача Штурма-Лиувилля. Единственность восстановления дифференциального оператора по спектральным данным. 10. Спектральные задачи теории рассеяния (2 часа). 11. Обратная задача термоаккустики. Физический смысл, математическая постановка, прямая задача (2 часа). 12. Постановки обратных задач для линейных параболических уравнений, их связь с соответствующими обратными задачами для гипербол 13. Обратная задача теплопроводности с обратным временем (2 часа). ... Полное содержание

Подобный материал:

• Рабочая программа дисциплины дисциплина в. Од. 3 Теория и методы решения нелинейных, 669.72kb.
• Рабочая программа дисциплины «Дискретные динамические системы», 110.59kb.
• Учебная программа дисциплины дисциплина Отечественная история наименование дисциплины, 1066.37kb.
• Рабочая программа дисциплины дисциплина органическая химия укрупненная группа, 479.29kb.
• Учебная программа дисциплины дисциплина: Социальная экология Укрупненная группа: 040000, 566.23kb.
• Учебная программа дисциплины дисциплина Теория перевода Укрупненная группа, 791.8kb.
• Учебная программа дисциплины дисциплина: Стилистика английского языка Укрупненная группа:, 388.18kb.
• Учебная программа дисциплины дисциплина: Теоретическая грамматика английского языка, 342.13kb.
• Учебная программа дисциплины дисциплина: Введение в теорию межкультурной коммуникации, 270.23kb.
• Учебная программа дисциплины дисциплина: Лингвострановедение 1-го иностранного языка, 236.02kb.

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»


УТВЕРЖДАЮ

Директор института математики

_____________/Кытманов А.М./

«_____» _____________2011 г.


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


Дисциплина М2.В.ДВ.2 Некорректные задачи


Укрупненная группа 010000 физико-математические науки


Направление 010200.68 Математика и компьютерные науки


Профили 010200.68.02 Вычислительная математика

010200.68.03 Компьютерные технологии в гуманитарных и социально-экономических науках

010200.68.01 Математическое и компьютерное моделирование

Институт математики


Кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений


Красноярск

2011


Рабочая программа дисциплины


составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по укрупненной группе

010000 физико-математические науки

направления (профиля) 010200.68 Математика и компьютерные науки

(010200.68.02 Вычислительная математика, 010200.68.03 Компьютерные технологии в гуманитарных и социально-экономических науках, 010200.68.01 Математическое и компьютерное моделирование)

Программу составил к.ф.-м.н., доцент каф. МАиДУ Фроленков И.В.__________________


Заведующий кафедрой Белов Ю.Я.______________________________________________


«_____»_______________2011г.

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений

«______» _________________ 2011 г. протокол № _____________


Заведующий кафедрой Белов Ю.Я.______________________________________________


Рабочая программа обсуждена на заседании НМСИ математики_____________

__________________________________________________________________

«______» __________________ 201___ г. протокол № _____________

Председатель НМСИ __________________________________________

(фамилия и. о., подпись)

Дополнения и изменения в учебной программе на 201 __/201__ учебный год.

В рабочую программу вносятся следующие изменения: _____________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры _______

«____» _____________ 201__г. протокол № ________

Заведующий кафедрой ______________________________________________

(фамилия, и.о., подпись)

Внесенные изменения утверждаю:

Директор ___________________________________________ института

(фамилия, и. о., подпись)


1 Цели и задачи изучения дисциплины

1. Цель преподавания дисциплины
   

Целью изучения дисциплины является: формирование у магистров ключевых компетенций (общенаучных, инструментальных, общепрофессиональных, профильно-специализированных) на основании углубленного изучения методов исследования некорректных задач.

2. Задачи изучения дисциплины
   

Задачей изучения дисциплины является: знакомство слушателей с понятием и методами исследования некорректных задач, развитие владения сложным математическим аппаратом и формирование способностей и навыков к самостоятельной интенсивной научно-исследовательской и научно-изыскательской деятельности.


В результате изучения данной дисциплины у студента должны сформироваться следующие компетенции:


- способность применять знания на практике (ОК-6),

- умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать научно-техническую информацию (ОК-10),

- определение общих форм, закономерностей и инструментальных средств отдельной предметной области (ПК-1),

- умение понять поставленную задачу (ПК-2),

- умение строго доказать утверждение (ПК-4),

- умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6),

- выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16),

- умение извлекать полезную научно-техническую информацию из эле­к­трон­ных библиотек, реферативных журналов, сети Интернет и т.п.( ПК-17).


Знания, умения и навыки, полученные студентами в результате усвоения материала по курсу «Некорректные задачи», могут быть использованы при проведении исследовательских работ, а также во всех видах деятельности в соответствии с ФГОС ВПО.

3. Межпредметная связь
   

Для изучения дисциплины «Некорректные задачи» необходимо, чтобы студентами были усвоены дисциплины

• Математический анализ
  
• Дифференциальные уравнения
  
• Уравнения математической физики
  
• Функциональный анализ
  
• Методы вычислений
  
• Прикладные вопросы функционального анализа
  
• Современные проблемы математики и компьютерных наук.
  
• Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений
  
• Обратные задачи математической физики
  

Данная дисциплина служит основной для приобретения навыков, необходимых для написания магистерской диссертации.


2 Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего зачетных единиц (часов)	Семестр
		12
Общая трудоемкость дисциплины	6(216)	216
Аудиторные занятия:	2(72)	72
лекции	36	36
практические занятия (ПЗ)	36	36
семинарские занятия (СЗ)
лабораторные работы (ЛР)
другие виды аудиторных занятий
промежуточный контроль
Самостоятельная работа:	3(108)	3(108)
изучение теоретического курса (ТО)	1,5(54)	1,5(54)
курсовой проект (работа):
расчетно-графические задания (РГЗ)
реферат
задачи	1,5(54)	1,5(54)
задания
другие виды самостоятельной работы
Вид промежуточного контроля (зачет, экзамен)	Экзамен 1(36)	Экзамен 1(36)

3 Содержание дисциплины


3.1 Разделы дисциплины и виды занятий в часах

(тематический план занятий)

№ п/п	Раздел дисциплины	Лекции зачетные единицы (часы)	ПЗ или СЗ зачетные единицы (часы)	ЛР зачетные единицы (часы)	Самостоятельная работа зачетные единицы (часы)	Формируемые компетенции
1	Понятие и примеры некорректных задач	(0.08)3	(0.08)3	-	(0.24)9	ОК-6, ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-4, ПК-6, ПК-16
2	Устойчивость решения, квазирешение, методы регуляризации	(0.14)5	(0.14)5	-	(0.42)15	ОК-6, ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-4, ПК-6, ПК-16
3	Интегральные уравнения	(0.17)6	(0.17)6	-	(0.51)18	ОК-6, ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-4, ПК-6, ПК-16
4	Спектральные обратные задачи и задачи теории рассеяния	(0.17)6	(0.17)6	-	(0.51)18	ОК-6, ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-4, ПК-6, ПК-16
5	Задачи для параболических, гиперболических и эллиптических уравнений	(0.44)16	(0.44)16	-	(1.32)48	ОК-6, ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-4, ПК-6, ПК-16
	ИТОГО	(1)36	(1)36		(3)108

2. Содержание разделов и тем лекционного курса
   

Модуль 1. Понятие и примеры некорректных задач (3 часа).

1.1. Определение обратных и некорректных задач.

1.2. Примеры обратных и некорректных задач.

1.3. Корректные и некорректные задачи.

Модуль 2. Устойчивость решения, квазирешение, методы регуляризации (5 часов).

2.1. Об устойчивости в различных пространствах.

2.2. Квазирешение.

2.3. Методы М.М. Лаврентьева, метод регуляризации А.Н. Тихонова

2.4. Прочие методы.

Модуль 3. Интегральные уравнения (6 часов).

3.1. Интегральные уравнения Фредгольма.

3.2. Интегральные и операторные уравнения Вольтерра.

3.3. Корректность и регуляризация.

Модуль 4. Спектральные обратные задачи и задачи теории рассеяния (6 часов).

4.1. Прямая и обратная задачи Штурма-Лиувилля.

4.2. Метод Гельфанда-Левитана.

4.3. Обратные задачи теории рассеяния

Модуль 5. Задачи для параболических, гиперболических и эллиптических уравнений (16 часов).

5.1. Линейные задачи для параболических, гиперболических и эллиптических уравнений.

5.2. Коэффициентные обратные задачи параболических, гиперболических и эллиптических уравнений.


3.3 Практические занятия

№ п/п	Раздел дисциплины	Наименование практических занятий, объем в часах
1.	Понятие и примеры некорректных задач (3ч)	1. Рассмотрение математических постановок различных обратных и некорректных задач. Физический смысл (2 часа).
2.	Устойчивость решения, квазирешение, методы регуляризации (5ч)	2. Задачи корректные по Адамару, условная корректность/корректность по Тихонову (2 часа). 3. Понятие квазирешения, отыскание формул для квазирешения операторного уравнения (2 часа). 4. Обзор и использование методов регуляризации (2 часа).
3.	Интегральные уравнения (6ч)	5. Интегральное уравнение Фредгольма 1го рода. Некорректность (2 часа). 6. Регуляризация линейных интегральных уравнений Вольтерра первого и второго рода. 7. Операторные уравнения Вольтерра. Локальная корректность и единственность (2 часа).
4.	Спектральные обратные задачи и задачи теории рассеяния (6ч)	8. Прямая задача Штурма-Лиувилля. Поведение спектра. Свойства собственных функций (2 часа). 9. Обратная задача Штурма-Лиувилля. Единственность восстановления дифференциального оператора по спектральным данным. 10. Спектральные задачи теории рассеяния (2 часа).
5.	Задачи для параболических, гиперболических и эллиптических уравнений (16ч)	11. Обратная задача термоаккустики. Физический смысл, математическая постановка, прямая задача (2 часа). 12. Постановки обратных задач для линейных параболических уравнений, их связь с соответствующими обратными задачами для гиперболических уравнений (2 часа). 13. Обратная задача теплопроводности с обратным временем (2 часа). 14. Краевые обратные задачи для параболических уравнений и задачи продолжения (2 часа). 15. Начально-краевая задача для уравнения Лапласа, связь с операторным уравнением. Задача продолжения (2 часа). 16. Коэффициентные обратные/некорректные задачи для гиперболических уравнений (2 часа). 17. Коэффициентные обратные/некорректные задачи для параболических уравнений (2 часа). 18. Коэффициентные обратные/некорректные задачи для эллиптических уравнений (2 часа).

Приводится краткое содержание каждого практического занятия.


1. Рассмотрение математических постановок различных обратных и некорректных задач. Физический смысл (2 часа).

Рассматриваются основные понятия и определения, примеры физических и математических постановок обратных и некорректных задач.

2. Задачи корректные по Адамару, условная корректность/корректность по Тихонову (2 часа).

Основы теории некорректных задач. Рассматриваются примеры корректности, некорректности, условной корректности.

3. Понятие квазирешения, отыскание формул для квазирешения операторного уравнения (2 часа).

Понятие квазирешения, введенное В. К. Ивановым, обобщающее понятие решения, восстановление всех условий корректности, новые алгоритмы приближенного решения некорректных задач.

4. Обзор и использование методов регуляризации (2 часа).

Фундаментальное для теории некорректных задач понятие регуляризирующего семейства операторов. Построение приближенных решений по приближенным данным.

5. Интегральное уравнение Фредгольма 1го рода. Некорректность (2 часа).

Интегральные уравнения – наилучший объект для первого знакомства с некорректными задачами. Примеры некорректности.

6. Регуляризация линейных интегральных уравнений Вольтерра первого и второго рода.

Интегральное уравнение Вольтерра в C[0,T] и L₂(0,T). Постановка и корректность.

7. Операторные уравнения Вольтерра. Локальная корректность и единственность (2 часа).

Методы регуляризации. Операторные уравнения Вольтерра первого рода. Локальная корректность и единственность.

8. Прямая задача Штурма-Лиувилля. Поведение спектра. Свойства собственных функций (2 часа).

Исследование спектра оператора Штурма-Лиувилля. Исследование поведения спектра, свойства собственных функций. Полнота системы собственных функций.

9. Обратная задача Штурма-Лиувилля. Единственность восстановления дифференциального оператора по спектральным данным.

Восстановление оператора по его спектральным характеристикам. Теорема единственности определения потенциала и коэффициентов по заданным спектральным данным. Метод Гельфанда-Левитана.


10. Спектральные задачи теории рассеяния (2 часа).

Обзор одномерных постановок задач теории рассеяния, их взаимосвязь со спектральными обратными задачами и нестационарными обратными задачами рассеяния. Уравнение Шредингера.

11. Обратная задача термоаккустики. Физический смысл, математическая постановка, прямая задача (2 часа).

Физическая и математическая постановка обратной задачи термоаккустики. Постановка прямой и обратной задачи. Линеаризованная обратная задача для волнового уравнения.

12. Постановки обратных задач для линейных параболических уравнений, их связь с соответствующими обратными задачами для гиперболических уравнений (2 часа).

Рассматриваются различные постановки обратных задач теплопроводности и сравнение их с обратными задачами для гиперболических уравнений на основе связи между решениями соответствующих прямых задач.

13. Обратная задача теплопроводности с обратным временем (2 часа).

Рассматривается одна из самых популярных некорректных задач —задача Коши с обратным временем. Оценку условной устойчивости и приведение задачи к операторному уравнению.

14. Краевые обратные задачи для параболических уравнений и задачи продолжения (2 часа).

Изучается процесс распространения тепла в некоторой среде (диффузионный процесс). При этом на одной части границы изучаемой области проводятся измерения потока тепла (вещества) и температуры (концентрации вещества), а на другой — непосредственные измерения невозможны или затруднены. Требуется определить температуру (или концентрацию вещества) внутри области вплоть до границы недоступности. Рассматривается математическая модель этого физического процесса в двумерном случае.

15. Начально-краевая задача для уравнения Лапласа, связь с операторным уравнением. Задача продолжения (2 часа).

Начально-краевая задача для уравнения Лапласа сводится к некоторой обратной задаче и затем к операторному уравнению, а затем исследуются свойства оператора А и сопряженного к нему оператора. Математическая постановка задачи продолжения для уравнения с самосопряженным эллиптическим оператором.

16. Коэффициентные обратные/некорректные задачи для гиперболических уравнений (2 часа).

Рассматриваются постановки обратных задач, которые имеют методический характер, и позволяют наиболее наглядно проиллюстрировать метод исследования. Рассматриваются постановки обратных/некорректных задач, которые имеют непосредственные физические приложения.

17. Коэффициентные обратные/некорректные задачи для параболических уравнений (2 часа).

Рассматриваются одномерные обратные задачи для параболических уравнений, алгоритмы сведения их к гиперболическим обратным задачам. Рассматриваются методы доказательстве теорем существования и единственности решения.

18. Коэффициентные обратные/некорректные задачи для эллиптических уравнений (2 часа).

Коэффициентные обратные задачи для эллиптических уравнений являются наиболее сложными объектами исследования. Обратная задача в полубесконечном цилиндре. Уравнение Гельмгольца.


3.4 Лабораторные занятия

Учебным планом не предусмотрены.


3.5 Самостоятельная работа

В дисциплине “Некорректные задачи” реализуются следующие виды самостоятельной работы: самостоятельное изучение теоретического материала и задачи.

Под самостоятельным изучением теоретического материала подразумевается изучение студентами дополнительных тем. Темы для самостоятельного изучения выдает лектор в начале каждого модуля. Усвоение данного материала проверяется непосредственно на экзамене (в качестве дополнительных вопросов). Общий объем самостоятельного изучения теоретического материала составляет 3 з.е. (108 часов). Все необходимые учебники и учебные пособия для самостоятельного изучения теоретического курса приведены в списке литературы (п. 4.1.).

По отдельным темам студентам предлагаются задачи для самостоятельного решения. Преподаватель, ведущий практические занятия, в начале каждого модуля выдает задачи. Все задачи берутся из учебников, приведенных в списке литературы. Выдача задач и сдача решенных задач производится согласно графику учебного процесса и самостоятельной работы студентов (Приложении А). Общий объем самостоятельного решения задач составляет 1 з.е. (36 часов). Сдача решенных задач преподавателю, ведущему практические занятия, производится студентом в письменном виде.

Требования к оформлению:

• решения задач следует оформлять в отдельной тетради,
  
• решения задач должны сопровождаться подробными и четкими математическими выкладками, ссылками на теоретический материал (теорему, лемму, утверждение),
  
• в тетради решенные задачи вместе с их формулировками должны располагаться по возрастанию их порядковых номеров.
  

Перечень тем и видов самостоятельной работы по разделам дисциплины

№ п/п	Раздел дисциплины	Самостоятельная работа зачетные единицы (часы)
1	Понятие и примеры некорректных задач	9 часов. Основные функциональные пространства. Понятие оператора в различных пространствах. Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Элементы дифференциального исчисления в банаховых пространствах. Дельта-функция Дирака.
2	Устойчивость решения, квазирешение, методы регуляризации	15 часов. Оценка скорости сходимости. Оценка условной устойчивости и сильная сходимость градиентных методов решения некорректных задач. Псевдообратный оператор и сингулярное разложение оператора
3	Интегральные уравнения	18 часов. Корректность в окрестности точного решения. Регуляризация нелинейных операторных уравнений первого рода. Интегральная геометрия.
4	Спектральные обратные задачи и задачи теории рассеяния	18 часов. Метод Гельфанда — Левитана. Обратные задачи рассеяния во временной области. Взаимосвязи переходных функций.
5	Задачи для параболических, гиперболических и эллиптических уравнений	48 часов. Основные уравнения математической физики. Классическая задача Коши для волнового уравнения. Фундаментальное решение дифференциального оператора. Восстановление функции по сферическим средним. Внутренние задачи и задачи об источнике. Задача с распределенными начальными данными для гиперболического уравнения. Задача с сосредоточенным источником для гиперболического уравнения. Одномерная обратная задача электродинамики. Лучевые постановки обратных задач. Двумерный аналог уравнения Гельфанда — Левитана — Крейна Градиентные методы для коэффициентных обратных задач для параболических и эллиптических уравнений. Теорема единственности в переопределенной постановке для эллиптического уравнения

3.6 Содержание модулей дисциплин при использовании системы зачетных единиц


С.м. в Приложении В.


4 Учебно-методические материалы по дисциплине


4.1 Основная и дополнительная литература, информационные

ресурсы

1. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Учебник для студентов высших учебных заведений. — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. — 457 с.
   
2. Anikonov Yu. Е., Bubnov В. A., Erokhin G. N. Inverse and Ill-Posed Sources Problems. VSP, The Netherlands, 1997.
   
3. Anikonov Yu. E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. VSP, The Netherlands, 1997.
   
4. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. -- М.: Изд-во Московск. ун-та, 1994. - 206 с
   
5. Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations. - Utrecht: VSP, 2002. 211p.
   
6. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1990.
   
7. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. Москва: Мир, 1978.
   
8. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. VSP, The Netherlands, 1999.
   
9. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах.-М.: Научный мир, 2005, 295с.
   
10. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics - New York: Marcel Dekker, 2000.
    
11. Prilepko A.I., Tkachenko D.S. An inverse problem for a parabolic equation with final overdetermination // Ill Posed and Inverse Problems. Utrecht: VSP, 2002. P. 317-353.
    
12. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Москва: Наука, 1973.
    
13. Садовничий В. А. Теория операторов. Москва: МГУ, 1986.
    
14. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980. - 496с.
    
15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977.-736с
    
16. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1976. -- 391с.
    
17. Михлин С.Г. Курс математической физики. СПб.: Лань, 2002. – 576с.
    
18. Никольский С.М. Курс математического анализа. Учебник для вузов. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001.-592с
    
19. Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс : [авторская редакция] / Юрий Яковлевич Белов, Светлана Владимировна Полынцева, Роман Викторович Сорокин, Игорь Владимирович Фроленков и Т. Н. Шипина ; кол. авт. Сибирский федеральный университет [СФУ] . - Версия 1.0 . - Электронные данные (4,7 Мб). - Красноярск : Сибирский федеральный университет [СФУ], 2007 . - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин СФУ в авторской редакции ; 19-2007) . - Загл. с титульного экрана
    
20. Неклассические и обратные краевые задачи [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс : [авторская редакция] / Юрий Яковлевич Белов, Роман Викторович Сорокин, Игорь Владимирович Фроленков, О. Н. Черепанова и Т. Н. Шипина ; кол. авт. Сибирский федеральный университет [СФУ] . - Версия 1.0 . - Электронные данные (2,25 Мб). - Красноярск : Сибирский федеральный университет [СФУ], 2007 . - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин СФУ в авторской редакции ; 20-2007) . - Загл. с титульного экрана
    

4.2 Перечень наглядных и других пособий, методических указаний и материалов к техническим средствам обучения

При чтении лекций курса используется презентация «Некорректные задачи».


4.3 Контрольно-измерительные материалы

Контрольно-измерительные материалы по курсу «Теория функций действительного переменного» итогового контроля знаний, умений и навыков включают в себя:

1. экзаменационные вопросы,
   
2. экзаменационные билеты,
   
3. задания для зачета.
   

Зачет проходят в письменной и устной форме. В задания включаются теоретические вопросы и практические задания.


Экзаменационные вопросы предназначены для промежуточного и итогового контроля.

Экзаменационные билеты и билеты для зачета предназначены для итогового контроля и включают в себя два, три теоретических вопроса, выбранных в случайном порядке из списка экзаменационных вопросов, и одну практическую задачу.


5. Организационно-методическое обеспечение учебного процесса

по дисциплине в системе зачетных единиц


В течение одного семестра учебный процесс по курсу «Некорректные задача» включает в себя 1.5 лекции и 1.5 практических занятия. В конце семестра итоговый экзамен.

Информацию об организации учебного процесса в Сибирском федеральном университете с использованием системы зачетных единиц можно найти в документах:

• Положение о курсовых, экзаменах и зачетах;
  
• Памятка студенту об обучении с использованием зачетных единиц и балльно-рейтинговой системы.
  

Таблицу организационно-методического обеспечения учебного процесса по некорректным задачам см. в Приложении С.


Приложение А


ГРАФИК


учебного процесса и самостоятельной работы студентов по дисциплине Теория функций действительного переменного

направления 010200.68 Математика и компьютерные науки, 2 курс магистратуры, 12 семестр

№ п/п

Наименование дисциплины

Семестр

Число часов аудиторных занятий

Форма контроля

Часов на самостоятельную работу

Недели учебного процесса семестра

Всего

По видам

Всего

По видам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

Некорректные задачи

12

72

Лекции – 36

Экзамен (36ч)

108

ТО – 72

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

Практические занятия – 36

З –36

ВЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

СЗ

Условные обозначения: ТО – изучение теоретического курса; З – задачи; ВЗ – выдача задач; СЗ – сдача задач; РЗ – решение задач; КР – контрольная работа; КН – контрольная неделя; ПК – промежуточный контроль.


Заведующий кафедрой:


Директор института:

«_______» _______________________ 2011 г.


Приложение В

Перечень модулей дисциплины

№ п/п	Наименование модуля, срок его реализации	Перечень тем лекционного курса, входящих в модуль (Перечень тем в соответствии с п. 3.2)	Перечень практических и семинарских занятий, входящих в модуль (Перечень тем в соответствии с п. 3.3)	Перечень лабораторных занятий, входящих в модуль (Перечень лабораторных работ в соответствии с п. 3.4	Перечень самостоятельных видов работ, входящих в модуль, их конкретное наполнение (Перечень видов работ и их содержания в соответствии с п.3.5)	Формируемые компетенции	Умения	Знания
1	Понятие и примеры некорректных задач (1 неделя)	Модуль 1	Практические занятия 1.	не предусмотрены	Самостоятельное построение примеров обратных и некорректных задач. Основные функциональные пространства. Понятие оператора в различных пространствах. Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Элементы дифференциального исчисления в банаховых пространствах. Дельта-функция Дирака.	ОК-6, ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-4, ПК-6, ПК-16	Уметь находить и пользоваться научной литературой по тематике курса, уметь формулировать математические постановки обратных и некорректных задач	Знать, что такое некорректная задача и где они в настоящий момент используются
2	Устойчивость решения, квазирешение, методы регуляризации (1.5 недели)	Модуль 2	Практические занятия 2 - 4.	не предусмотрены	Оценка скорости сходимости. Оценка условной устойчивости и сильная сходимость градиентных методов решения некорректных задач. Псевдообратный оператор и сингулярное разложение оператора Самостоятельное изучение отдельных элементов доказательств по выбору лектора.	ОК-6, ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-4, ПК-6, ПК-16	Уметь строить приближенные алгоритмы решения некорректных задач. Уметь использовать методы регуляризации и пользоваться свойствами регуляризирующих операторов.	Знать понятие устойчивости решения, ориентироваться в методах регуляризации. Знать понятие корректности и условной корректности. Знать основы теории некорректных задач.
3	Интегральные уравнения (2 недели)	Модуль 3	Практические занятия 5 - 7.	не предусмотрены	Корректность в окрестности точного решения. Регуляризация нелинейных операторных уравнений первого рода. Интегральная геометрия. Самостоятельное изучение отдельных элементов доказательств по выбору лектора	ОК-6, ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-4, ПК-6, ПК-16	Уметь применять алгоритм регуляризации к интегральным уравнениям. Уметь исследовать простейшую обратную задачу для системы уравнений Максвелла, сведя ее к операторному уравненияю Вольтерра.	Знать понятия и область применения интегральных уравнений и операторных уравнений, к которым они сводятся. Знать основные результаты, касающиеся теорем существования и единственности. Знать основные базовые задачи интегральной геометрии.
4	Спектральные обратные задачи и задачи теории рассеяния (2 недели)	Модуль 4	Практические занятия 8 - 10.	не предусмотрены	Метод Гельфанда — Левитана. Обратные задачи рассеяния во временной области. Взаимосвязи переходных функций. Построение примеров, иллюстрирующих метод слабой аппроксимации	ОК-6, ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-4, ПК-6, ПК-16	Уметь исследовать свойства спектра оператора Штурма-Лиувилля. Уметь доказывать однозначность восстановления оператора Штурма — Лиувилля по тем или иным наборам его спектральных характеристик.	Знать математические постановки и понимать практическое значение спектральных обратных задач и обратных задач рассеяния. Знать суть метода Гельфанда-Левитана.
5	Задачи для параболических, гиперболических и эллиптических уравнений (5.5 недель)	Модуль 5	Практические занятия 11 - 18.	не предусмотрены	Основные уравнения математической физики. Классическая задача Коши для волнового уравнения. Фундаментальное решение дифференциального оператора. Восстановление функции по сферическим средним. Внутренние задачи и задачи об источнике. Задача с распределенными начальными данными для гиперболического уравнения. Задача с сосредоточенным источником для гиперболического уравнения. Одномерная обратная задача электродинамики. Лучевые постановки обратных задач. Двумерный аналог уравнения Гельфанда — Левитана — Крейна Градиентные методы для коэффициентных обратных задач для параболических и эллиптических уравнений. Теорема единственности в переопределенной постановке для эллиптического уравнения	ОК-6, ОК-10, ПК-1, ПК-2, ПК-4, ПК-6, ПК-16	Уметь находить и пользоваться научной литературой по тематике курса, ориентироваться в алгоритмах и подбирать эффективные методы решения некорректных задач для параболических, гиперболических и эллиптических уравнений, исследовать свойства и особенности некорректных и неустойчивых задач. Владеть соответствующим мат. аппаратом и навыками исследования	Знать основные понятия некорректных/обратных задач для параболических/гиперболических/эллиптических уравнений, их постановки и приложения, основные проблемы исследования некорректных задач, современное состояние науки в данной области.

Приложение С

Трудоемкость модулей и видов учебной работы в относительных единицах по дисциплине

“Некорректные задачи”,

института математики, курса 12 семестр 20__/20__ уч. года

№ п/п	Название модулей дисциплины	Срок реализации (недель)	Текущая работа (20 %), В процентах от общей трудоемкости дисциплины									Аттестация (80 %)		Итого
			Виды текущей работы									Сдача зачета	Сдача экзамена
			Посе-щаемость лекций	Выполнение и защита лабораторных работ	Практические и семинарские занятия	Выполнение и защита курсовых проектов	Выполнение и защита РГЗ	Подготовка и сдача рефератов	Решение комплектов задач	Промежуточный контроль	Другие виды (по решению кафедры)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	Всего		6		6				8				80	100
1.	Понятие и примеры некорректных задач	1	1		1				1				5	8
2.	Устойчивость решения, квазирешение, методы регуляризации	2-3	1		1				2				15	19
3.	Интегральные уравнения	3-5	1		1				1				15	18
4.	Спектральные обратные задачи и задачи теории рассеяния	6-7	1		1				1				15	18
5.	Задачи для параболических, гиперболических и эллиптических уравнений	7-12	2		2				3				30	37