Рабочая программа дисциплины дисциплина в. Од. 3 Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений Укрупненная группа 010000 физико-математические науки

Вид материала

Рабочая программа

Содержание Рабочая программа дисциплины 1 Цели и задачи изучения дисциплины Задачи изучения дисциплины Межпредметная связь 2 Объем дисциплины и виды учебной работы Общая трудоемкость дисциплины Самостоятельная работа Вид промежуточного контроля (зачет, экзамен) 3 Содержание дисциплины 1. Понятие оператора, операторного уравнения (2 часа). 2. Свойства операторов (2 часа). 3. Построение галеркинских последовательностей, исследование их свойств (2 часа). 4. Определение и свойства простых функции, функции класса (S->X) (2 часа). 5. Понятие дифференцируемости функций класса (S->X), пространство Cm(S,X) (2 часа). 6. Понятие измеримости и интегрируемости по Бохнеру функций класса (S->X), пространство Lp (S,X) (2 часа). 7. Понятие и свойства нестационарных/эволюционных операторных уравнений (2 часа). 8. Свойства нестационарных операторов (2 часа). 9. Построение галеркинских последовательностей, исследование их свойств для эволюционных уравнений (2 часа). 10. Примеры, приводящие к понятию метода слабой аппроксимации (2 часа). 11. Понятие слабой аппроксимации, примеры (2 часа). ... Полное содержание

Подобный материал:

• Рабочая программа дисциплины дисциплина в. Дв. 2 Некорректные задачи Укрупненная группа, 616.95kb.
• Нахождение первых интегралов нелинейных дифференциальных уравнений является одной, 31.75kb.
• Рабочая программа дисциплины (модуля) асимптотические методы решения дифференциальных, 19.29kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины математические методы и комплексы программ решения, 140.94kb.
• Точные решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании, 28.05kb.
• Авторы: Чебоксаров А. Б. Откидычев, 28.26kb.
• Учебная программа дисциплины дисциплина Теория перевода Укрупненная группа, 791.8kb.
• Рабочая программа дисциплины «Дискретные динамические системы», 110.59kb.
• Учебная программа дисциплины дисциплина Отечественная история наименование дисциплины, 1066.37kb.
• Рабочая программа дисциплины дисциплина органическая химия укрупненная группа, 479.29kb.

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»


УТВЕРЖДАЮ

Директор института математики

_____________/Кытманов А.М./

«_____» _____________2011 г.


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


Дисциплина М1.В.ОД.3 Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений


Укрупненная группа 010000 физико-математические науки


Направление 010400.68 Прикладная математика и информатика


Профили 010400.68.03 Математическая физика

010400.68.01 Математическое моделирование

010400.68.02 Оптимизация и оптимальное управление


Институт математики


Кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений


Красноярск

2011


Рабочая программа дисциплины


составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по укрупненной группе

010000 физико-математические науки

направления (профиля) 010400.68 Прикладная математика и информатика

(010400.68.03 Математическая физика, 010400.68.01 Математическое моделирование, 010400.68.02 Оптимизация и оптимальное управление)

Программу составил к.ф.-м.н., доцент каф. МАиДУ Фроленков И.В.__________________


Заведующий кафедрой Белов Ю.Я.______________________________________________


«_____»_______________2011г.

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений

«______» _________________ 2011 г. протокол № _____________


Заведующий кафедрой Белов Ю.Я.______________________________________________


Рабочая программа обсуждена на заседании НМСИ математики_____________

__________________________________________________________________

«______» __________________ 201___ г. протокол № _____________

Председатель НМСИ __________________________________________

(фамилия и. о., подпись)

Дополнения и изменения в учебной программе на 201 __/201__ учебный год.

В рабочую программу вносятся следующие изменения: _____________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры _______

«____» _____________ 201__г. протокол № ________

Заведующий кафедрой ______________________________________________

(фамилия, и.о., подпись)

Внесенные изменения утверждаю:

Директор ___________________________________________ института

(фамилия, и. о., подпись)


1 Цели и задачи изучения дисциплины

1. Цель преподавания дисциплины
   

Дисциплина «Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений» относится к обязательным дисциплинам, входящим в вариативную часть профессионального цикла ООП магистратуры по направлению подготовки 010400.68 Прикладная математика и информатика.


Математические модели, содержащие нелинейные дифференциальные уравнения возникают при формализации различных процессов. На сегодняшний день нелинейные дифференциальные уравнения составляют важное самостоятельное направление исследований в области математической физики.

В курсе будут изучены методы исследования стационарных нелинейных операторных уравнений. Для изучения нестационарных дифференциальных уравнений предполагается изучение специальных функциональных пространств. В основе исследования нелинейных уравнений через операторные уравнения лежит метод монотонности. Также будет рассмотрен метод слабой аппроксимации, как один из современных методов решения нелинейных задач математической физики.

Отдельный блок посвящен изучению обратных задач, которые составляют важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений.

Таким образом, целью курса "Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений" является формирование у магистров ключевых компетенций (общенаучных, инструментальных, общепрофессиональных, профильно-специализированных) на основании углубленного изучения современных методов решения нелинейных уравнений в частных производных.

2. Задачи изучения дисциплины
   

Основными задачами изучения дисциплины "Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений" являются развитие у слушателей

• собственного видения прикладного аспекта в строгих математических формулировках;
  
• навыков определения общих форм, закономерностей, инструментальных средств для групп дисциплин;
  
• навыков владения методами математического моделирования при анализе глобальных проблем на основе глубоких знаний фундаментальных математических дисциплин и компьютерных наук;
  
• способностей к интенсивной научно-исследовательской и научно-изыскательской деятельности;
  
• навыков самостоятельного построения целостной картины дисциплины;
  
• возможностей преподавания физико-математических дисциплин в высшей, средней школе и техникуме на основе полученного фундаментального образования и научного мировоззрения.
  

В результате изучения данной дисциплины у студента должны сформироваться следующие компетенции:

- навыки межличностных отношений; готовность к работе в команде (ОК-1),

- способность применять знания на практике (ОК-6),

- исследовательские навыки (ОК-7),

- умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать научно-техническую информацию (ОК-10),

- способность к анализу и синтезу (ОК-14),

- способность к письменной и устной коммуникации на русском языке (ОК-15),

- определение общих форм, закономерностей и инструментальных средств отдельной предметной области (ПК-1),

- умение понять поставленную задачу (ПК-2),

- умение формулировать результат (ПК-3),

- умение строго доказать утверждение (ПК-4),

- умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат (ПК-5),

- умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6),

- умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7),

- умение ориентироваться в постановках задач (ПК-8),

- выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16),

- умение извлекать полезную научно-техническую информацию из эле­к­трон­ных библиотек, реферативных журналов, сети Интернет и т.п.( ПК-17),

- владение проблемно-задачной формой представления математических знаний (ПК-22),

- умение точно представить математические знания в устной форме (ПК-27),

- возможность преподавания физико-математических дисциплин и информатики в средней школе и средних специальных образовательных учреждениях на основе полученного фундаментального образования (ПК-29).

Знания, умения и навыки, полученные студентами в результате усвоения материала по курсу «Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений», могут быть использованы ими во всех видах деятельности в соответствии с ФГОС ВПО.

3. Межпредметная связь
   

Для изучения дисциплины «Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений» необходимо, чтобы студентами были усвоены дисциплины

• Математический анализ
  
• Дифференциальные уравнения
  
• Уравнения математической физики
  
• Функциональный анализ
  
• Методы вычислений
  
• Прикладные вопросы функционального анализа
  
• Современные проблемы математики и компьютерных наук.
  

Данная дисциплина служит основной для приобретения навыков, необходимых для написания магистерской диссертации.


2 Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего зачетных единиц (часов)	Семестр	Семестр
		9	10
Общая трудоемкость дисциплины	4(144)	56	88
Аудиторные занятия:	2(72)	38	34
лекции	36	19	17
практические занятия (ПЗ)	36	19	17
семинарские занятия (СЗ)
лабораторные работы (ЛР)
другие виды аудиторных занятий
промежуточный контроль
Самостоятельная работа:	1(36)	0.5(18)	0.5(18)
изучение теоретического курса (ТО)	0,5(18)	0,25(9)	0,25(9)
курсовой проект (работа):
расчетно-графические задания (РГЗ)
реферат
задачи	0,5(18)	0,25(9)	0,25(9)
задания
другие виды самостоятельной работы
Вид промежуточного контроля (зачет, экзамен)	Экзамен 1(36)	Зачет	Экзамен 1(36)

3 Содержание дисциплины


3.1 Разделы дисциплины и виды занятий в часах

(тематический план занятий)

№ п/п	Раздел дисциплины	Лекции зачетные единицы (часы)	ПЗ или СЗ зачетные единицы (часы)	ЛР зачетные единицы (часы)	Самостоятельная работа зачетные единицы (часы)	Формируемые компетенции
1	Стационарные нелинейные операторные уравнения	(0.17)6	(0.17)6	-	(0.22)8	ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-16, ПК-17, ПК-22, ПК-27
2	Функциональные пространства, используемые при изучении нестационарных задач	(0.17)6	(0.17)6	-	(0.11)4	ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-16, ПК-17, ПК-22, ПК-27
3	Нестационарные нелинейные операторные уравнения. Метод монотонности	(0.17)6	(0.17)6	-	(0.17)6	ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-16, ПК-17, ПК-22, ПК-27, ПК-29
4	Метод слабой аппроксимации	(0.22)8	(0.22)8	-	(0.22)8	ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-16, ПК-17, ПК-22, ПК-27, ПК-29
5	Обратные задачи и методы их решения	(0.28)10	(0.28)10	-	(0.28)10	ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-16, ПК-17, ПК-22, ПК-27, ПК-29
	ИТОГО	(1)36	(1)36		(1)36

2. Содержание разделов и тем лекционного курса
   

Модуль 1. Стационарные нелинейные операторные уравнения (6 часов).

1.1.Коэрцитивные операторные уравнения. Лемма об «остром угле».

1.2.Разрешимость операторного уравнения вида A(u)=h, где оператор A является коэрцитивным и слабо компактным.

1.3. Разрешимость нелинейных уравнений с монотонным оператором..

1.4. Разрешимость нелинейных уравнений с полуограниченной вариацией.

1.5. Сильная сходимость галеркинских приближений.

1.6. Краевые задачи как операторные уравнения в банаховых пространствах.

Модуль 2. Функциональные пространства, используемые при изучении нестационарных задач (6 часов).

2.1. Понятие абстрактной функции, непрерывность и дифференцируемость абстрактной функции.

2.2. Пространство C^m(S,X) и его свойства. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса.

2.3. Пространство L_p (S,X) и его свойства.

2.4. Теорема о представлении функционала.

2.5. Некоторые специальные пространства с интегрируемыми производными.

Модуль 3. Нестационарные нелинейные операторные уравнения. Метод монотонности (6 часов).

3.1. Нелинейные параболические уравнения с монотонным оператором. Постановки задач.

3.2. Свойства оператора: коэрцитивность, семинепрерывность, ограниченность в нестационарном случае. Примеры

3.3. Теоремы разрешимости нелинейных операторных уравнений.

3.4. Нелинейные параболические уравнения с полуограниченной вариацией.

3.5. Задачи с краевыми и начальными условиями как операторные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах.

Модуль 4. Метод слабой аппроксимации (8 часов).

4.1. Примеры, приводящие к понятию метода слабой аппроксимации. Формулировка метода слабой аппроксимации.

4.2. Первая теорема метода слабой аппроксимации.

4.3. Вторая теорема метода слабой аппроксимации.

4.4. Разрешимость задачи Коши для уравнения в частных производных.

4.5. Задача Коши для уравнения Бюргерса. Построение слабо аппроксимирующей задачи.

4.6. Теорема разрешимости задачи Коши для уравнения Бюргерса.

4.7. Вопросы разрешимости уравнения типа нестационарной фильтрации.

4.8. Применение метода расщепления для исследования разрешимости задач для интегро-дифференциальных уравнений.


Модуль 5. Обратные задачи и методы их решения (10 часов).

5.1. Введение в теорию обратных задач. Примеры.

5.2. Обзор постановок обратных задач.

5.3. Виды условий переопределения и их физический смысл.

5.4. Преобразование Фурье и его свойства.

5.5. Методы сведения обратных задач к прямым задачам .

5.6. Обратная задача с неизвестной функцией источника. Постановка задачи. Переход к прямой задаче.

5.7. Теорема о разрешимости обратной задачи с неизвестной функцией источника.

5.8. Задача идентификации коэффициента при младшем члене параболического уравнения.

5.9. Теоремы единственности решения обратных задач.


3.3 Практические занятия

№ п/п	Раздел дисциплины	Наименование практических занятий, объем в часах
1.	Стационарные нелинейные операторные уравнения (6ч)	1. Понятие оператора, операторного уравнения (2 часа) 2. Свойства операторов (2 часа) 3. Построение галеркинских последовательностей, исследование их свойств (2 часа)
2.	Функциональные пространства, используемые при изучении нестационарных задач (6ч)	4. Определение и свойства простых функции, функции класса (S->X) (2 часа). 5. Понятие дифференцируемости функций класса (S->X), пространство Cm(S,X) (2 часа). 6. Понятие измеримости и интегрируемости по Бохнеру функций класса (S->X), пространство Lp (S,X) (2 часа).
3.	Нестационарные нелинейные операторные уравнения. Метод монотонности (6ч)	7. Понятие и свойства нестационарных/эволюционных операторных уравнений (2 часа) 8. Свойства нестационарных операторов (2 часа) 9. Построение галеркинских последовательностей, исследование их свойств для эволюционных уравнений (2 часа)
4.	Метод слабой аппроксимации (8ч)	10. Примеры, приводящие к понятию метода слабой аппроксимации (2 часа). 11. Понятие слабой аппроксимации, примеры (2 часа). 12. Расщепление простых дифференциальных уравнений первого порядка, построение решений, сходимость (2 часа). 13. Примеры расщеплений дифференциальных уравнений второго порядка, линеаризация (2 часа).
5.	Обратные задачи и методы их решения (10ч)	14. Линейная обратная задача с неизвестным коэффициентом при функции источника. Глобальная разрешимость. (2 часа) 15. Нелинейная обратная задача с неизвестным коэффициентом при младшем члене. Разрешимость в малом временном интервале. (2 часа) 16. Нелинейная обратная задача с неизвестным коэффициентом при производной по времени. Функция срезки. (2 часа) 17. Теорема единственности. (2 часа) 18. Ограниченность/стабилизация решения. Устойчивость. (2 часа)

Приводится краткое содержание каждого практического занятия.


1. Понятие оператора, операторного уравнения (2 часа). Рассматривается понятие оператора, функционала. Рассматриваются алгоритмы сведения дифференциальных уравнений к операторным.

2. Свойства операторов (2 часа). Примеры проверки свойств операторов (коэрцитивность, семинепрерывность, монотонность, ограниченность, слабая компактность и пр.).

3. Построение галеркинских последовательностей, исследование их свойств (2 часа). Понятие бесконечномерного сепарабельного банахова пространства. Построение галеркинских приближения. Исследование существования, ограниченности, сходимости галеркинских последовательностей.

4. Определение и свойства простых функции, функции класса (S->X) (2 часа). Примеры построения простых функций. Приближение функций последовательностью простых функций.

5. Понятие дифференцируемости функций класса (S->X), пространство Cm(S,X) (2 часа). Понятие производной/дифференцируемости функций класса (S->X), пространство Cm(S,X), его норма, проверка аксиом нормы. Полнота пространства.

6. Понятие измеримости и интегрируемости по Бохнеру функций класса (S->X), пространство Lp (S,X) (2 часа). Понятие измеримости и интегрируемости функций класса (S->X), пространство Lp (S,X), его норма, проверка аксиом нормы. Полнота пространства.

7. Понятие и свойства нестационарных/эволюционных операторных уравнений (2 часа). Эволюционный случай для операторных уравнений. Некоторые специальные пространства, в которых ищется решение.

8. Свойства нестационарных операторов (2 часа). Проверка свойств нестационарных операторов (коэрцитивность, семинепрерывность, монотонность, ограниченность, слабая компактность и пр.).

9. Построение галеркинских последовательностей, исследование их свойств для эволюционных уравнений (2 часа). Построение галеркинских приближения для эволюционных операторных уравнений. Исследование существования, ограниченности, сходимости галеркинских последовательностей.

10. Примеры, приводящие к понятию метода слабой аппроксимации (2 часа). Метод дробных шагов для однородного дифференциального уравнения первого порядка. Сходимость приближенного решения к точному в пространстве непрерывных функций.

11. Понятие слабой аппроксимации, примеры (2 часа). Понятие слабой аппроксимации. Примеры функций, слабо аппроксимирующих единицу, при различных способах расщепления. Целый временной шаг, дробный шаг.

12. Расщепление простых дифференциальных уравнений первого порядка, построение решений, сходимость (2 часа). Расщепление на два дробных шага линейных дифференциальных уравнений с нулевой и не нулевой правой частью. Нахождение приближенного решения на первых целых временных шагах, построение общего приближенного решения, сходимость приближенного решения к точному.

13. Примеры расщеплений дифференциальных уравнений второго порядка, линеаризация (2 часа). Примеры расщепления для линейных и нелинейных уравнений второго порядка (ур-е теплопроводности), расщепление и линеаризация квазилинейных уравнений (ур-е Бюргерса).

14. Линейная обратная задача с неизвестным коэффициентом при функции источника. Глобальная разрешимость. (2 часа) Понятие обратной задачи, условия переопределения, сведение обратной задачи к прямой. Использование метода слабой аппроксимации для доказательства глобальной разрешимости прямой задачи для линейного нагруженного (содержащего следы неизвестных функций) уравнения.

15. Нелинейная обратная задача с неизвестным коэффициентом при младшем члене. Разрешимость в малом временном интервале. (2 часа). Использование метода слабой аппроксимации для доказательства глобальной разрешимости прямой задачи для нелинейного нагруженного уравнения. Получение априорных оценок в малом временном интервале, сходимость.

16. Нелинейная обратная задача с неизвестным коэффициентом при производной по времени. Функция срезки. (2 часа). Понятие функции срезки, ее свойства, использование функции срезки для получения априорных оценок на примере обратной задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени.

17. Теорема единственности. (2 часа). Доказательство единственности решений различных обратных задач.

18. Ограниченность/стабилизация решения. Устойчивость. (2 часа) Исследование поведения решения при стремлении временной переменной к бесконечности. Примеры устойчивых и неустойчивых решений.


3.4 Лабораторные занятия

Учебным планом не предусмотрены.


3.5 Самостоятельная работа

В дисциплине “Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений” реализуются следующие виды самостоятельной работы: самостоятельное изучение теоретического материала и задачи.

Под самостоятельным изучением теоретического материала подразумевается изучение студентами дополнительных тем. Темы для самостоятельного изучения выдает лектор в начале каждого модуля. Усвоение данного материала проверяется непосредственно на экзамене (в качестве дополнительных вопросов). Общий объем самостоятельного изучения теоретического материала составляет 0,5 з.е. (18 часов). Все необходимые учебники и учебные пособия для самостоятельного изучения теоретического курса приведены в списке литературы (п. 4.1.).

По отдельным темам студентам предлагаются задачи для самостоятельного решения. Преподаватель, ведущий практические занятия, в начале каждого модуля выдает задачи. Все задачи берутся из учебников, приведенных в списке литературы. Выдача задач и сдача решенных задач производится согласно графику учебного процесса и самостоятельной работы студентов (Приложении А). Общий объем самостоятельного решения задач составляет 0,5 з.е. (18 часов). Сдача решенных задач преподавателю, ведущему практические занятия, производится студентом в письменном виде.

Требования к оформлению:

• решения задач следует оформлять в отдельной тетради,
  
• решения задач должны сопровождаться подробными и четкими математическими выкладками, ссылками на теоретический материал (теорему, лемму, утверждение),
  
• в тетради решенные задачи вместе с их формулировками должны располагаться по возрастанию их порядковых номеров.
  

Перечень тем и видов самостоятельной работы по разделам дисциплины

№ п/п	Раздел дисциплины	Самостоятельная работа зачетные единицы (часы)
1	Стационарные нелинейные операторные уравнения	8 часов. Теоремы единственности для операторных уравнений с коэрцитивным, слабо компактным, монотонным оператором. Сильная сходимость галеркинских приближений. [1,2,6,11]
2	Функциональные пространства, используемые при изучении нестационарных задач	4 часа. Понятие сопряженных, самосопряженных пространств. Основные функциональные неравенства. Лемма Гронуолла. [6]
3	Нестационарные нелинейные операторные уравнения. Метод монотонности	6 часов. Метод Фурье для волнового уравнения. Преобразование Фурье и его свойства. [9]
4	Метод слабой аппроксимации	8 часов. Понятие компактного множества. Теорема Арцела. Расщепление различных дифференциальных уравнений. Доказательство сходимости решения линеаризованной задачи к решению исходной. [4-6]
5	Обратные задачи и методы их решения	10 часов. Исследование обратных задач для систем составного типа.

3.6 Содержание модулей дисциплин при использовании системы зачетных единиц


С.м. в Приложении В.


4 Учебно-методические материалы по дисциплине


4.1 Основная и дополнительная литература, информационные

ресурсы


1. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения.-М.:Мир, 1978.

2. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения.//Современные проблемы математики.Т.9. – Москва. 1976.

3. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. -- М.: Изд-во Московск. ун-та, 1994. - 206 с

4. Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации. Красноярск: КрасГУ, 1999.

5. Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations. - Utrecht: VSP, 2002. 211p.

6. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980. - 496с.

7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977.-736с

8. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1976. -- 391с.

9. Михлин С.Г. Курс математической физики. СПб.: Лань, 2002. – 576с.

10. Никольский С.М. Курс математического анализа. Учебник для вузов. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001.-592с.

11.Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс : [авторская редакция] / Юрий Яковлевич Белов, Светлана Владимировна Полынцева, Роман Викторович Сорокин, Игорь Владимирович Фроленков и Т. Н. Шипина ; кол. авт. Сибирский федеральный университет [СФУ] . - Версия 1.0 . - Электронные данные (4,7 Мб). - Красноярск : Сибирский федеральный университет [СФУ], 2007 . - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин СФУ в авторской редакции ; 19-2007) . - Загл. с титульного экрана

12.Неклассические и обратные краевые задачи [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс : [авторская редакция] / Юрий Яковлевич Белов, Роман Викторович Сорокин, Игорь Владимирович Фроленков, О. Н. Черепанова и Т. Н. Шипина ; кол. авт. Сибирский федеральный университет [СФУ] . - Версия 1.0 . - Электронные данные (2,25 Мб). - Красноярск : Сибирский федеральный университет [СФУ], 2007 . - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин СФУ в авторской редакции ; 20-2007) . - Загл. с титульного экрана


4.2 Перечень наглядных и других пособий, методических указаний и материалов к техническим средствам обучения

При чтении лекций курса используется презентация «Теория и методы решений нелинейных дифференциальных уравнений».


4.3 Контрольно-измерительные материалы

Контрольно-измерительные материалы по курсу «Теория функций действительного переменного» итогового контроля знаний, умений и навыков включают в себя:

1. экзаменационные вопросы,
   
2. экзаменационные билеты,
   
3. задания для зачета.
   

Зачет проходят в письменной и устной форме. В задания включаются теоретические вопросы и практические задания.


Экзаменационные вопросы предназначены для промежуточного и итогового контроля.

Далее приведен перечень экзаменационных вопросов.


Экзаменационные вопросы


См. приложение D.


Экзаменационные билеты и билеты для зачета предназначены для итогового контроля и включают в себя два, три теоретических вопроса, выбранных в случайном порядке из списка экзаменационных вопросов, и одну практическую задачу.

Примеры билетов для зачета


См. приложение E.


Примеры экзаменационных билетов для итогового экзамена


См. приложение F.


5. Организационно-методическое обеспечение учебного процесса

по дисциплине в системе зачетных единиц


В течение двух семестров учебный процесс по курсу «Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений» включает в себя лекции и практические занятия. После первого семестра проходит зачет по дисциплине. В конце итоговый экзамен.

Информацию об организации учебного процесса в Сибирском федеральном университете с использованием системы зачетных единиц можно найти в документах:

• Положение о курсовых, экзаменах и зачетах;
  
• Памятка студенту об обучении с использованием зачетных единиц и балльно-рейтинговой системы.
  

Таблицу организационно-методического обеспечения учебного процесса по теории и методам решения нелинейных дифференциальных уравнений см. в Приложении С.


Приложение А


ГРАФИК


учебного процесса и самостоятельной работы студентов по дисциплине Теория функций действительного переменного

направления 010400.68 Прикладная математика и информатика, 1 курс магистратуры, 9-10 семестр

№ п/п

Наименование дисциплины

Семестр

Число часов аудиторных занятий

Форма контроля

Часов на самостоятельную работу

Недели учебного процесса семестра

Всего

По видам

Всего

По видам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1

Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений

9

38

Лекции – 19

Зачет

18

ТО – 9

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

Практические занятия – 19

З –9

ВЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

СЗ

10

34

Лекции – 17

экзамен

18

ТО – 9

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

Практические занятия - 17

З –9

ВЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

РЗ

СЗ

Условные обозначения: ТО – изучение теоретического курса; З – задачи; ВЗ – выдача задач; СЗ – сдача задач; РЗ – решение задач; КР – контрольная работа; КН – контрольная неделя; ПК – промежуточный контроль.


Заведующий кафедрой:


Директор института:

«_______» _______________________ 2011 г.


Приложение В

Перечень модулей дисциплины

№ п/п	Наименование модуля, срок его реализации	Перечень тем лекционного курса, входящих в модуль (Перечень тем в соответствии с п. 3.2)	Перечень практических и семинарских занятий, входящих в модуль (Перечень тем в соответствии с п. 3.3)	Перечень лабораторных занятий, входящих в модуль (Перечень лабораторных работ в соответствии с п. 3.4	Перечень самостоятельных видов работ, входящих в модуль, их конкретное наполнение (Перечень видов работ и их содержания в соответствии с п.3.5)	Формируемые компетенции	Умения	Знания
1	Стационарные нелинейные операторные уравнения, 6 недель	Тема: 1.1 -1.6	Практические занятия 1 - 3.	не предусмотрены	Самостоятельное построение примеров сведения краевых задач к операторным уравнениям. Теоремы единственности для операторных уравнений с коэрцитивным, слабо компактным, монотонным оператором. Сильная сходимость галеркинских приближений	ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-16, ПК-17, ПК-22, ПК-27	уметь применять функциональные методы для исследования стационарных задач	понятия: коэрцитивного оператора, слабо компактного оператора, оператора с полуограниченной вариацией
2	Функциональные пространства, используемые при изучении нестационарных задач, 6 недель	Тема: 2.1-2.5	Практические занятия 4- 6.	не предусмотрены	Понятие сопряженных, самосопряженных пространств. Основные функциональные неравенства. Лемма Гронуолла. Самостоятельное изучение отдельных элементов доказательств по выбору лектора.	ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-16, ПК-17, ПК-22, ПК-27	вычислять нормы и скалярные произведения в заданных пространствах	Функциональные пространства и их свойства
3	Нестационарные нелинейные операторные уравнения. Метод монотонности, 6 недель	Тема: 3.1-3.5	Практические занятия 7- 9.	не предусмотрены	Метод Фурье для волнового уравнения. Преобразование Фурье и его свойства. Самостоятельное изучение отдельных элементов доказательств по выбору лектора	ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-16, ПК-17, ПК-22, ПК-27, ПК-29	умение применять метод монотонности для доказательства теорем	метод монотонности для исследования разрешимости задач
4	Метод слабой аппроксимации, 6 недель	Тема: 4.1-4.8	Практические занятия 10- 13.	не предусмотрены	Понятие компактного множества. Теорема Арцела. Расщепление различных дифференциальных уравнений. Доказательство сходимости решения линеаризованной задачи к решению исходной. Построение примеров, иллюстрирующих метод слабой аппроксимации	ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-16, ПК-17, ПК-22, ПК-27, ПК-29	применение метода слабой аппроксимации к исследованию задач	понятие метода слабой аппроксимации, основные теормы о сходимости расщепленных задач
5	Обратные задачи и методы их исследования, 10 недель	Тема 5.1-5.9	Практические занятия 14- 18.	не предусмотрены	Исследование обратных задач для систем составного типа.	ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-16, ПК-17, ПК-22, ПК-27, ПК-29	приводить обратную задачу к прямой, применять функциональные методы для доказательства теорем о разрешимости обратных задач	понятие обратной задачи, постановки задач, методы исследования обратных задач

Приложение С

Трудоемкость модулей и видов учебной работы в относительных единицах по дисциплине

“Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений”,

института математики, курса 9 на 10 семестр 20__/20__ уч. года


9ый семестр

№ п/п	Название модулей дисциплины	Срок реализации (недель)	Текущая работа (20 %), В процентах от общей трудоемкости дисциплины									Аттестация (80 %)		Итого
			Виды текущей работы									Сдача зачета	Сдача экзамена
			Посе-щаемость лекций	Выполнение и защита лабораторных работ	Практические и семинарские занятия	Выполнение и защита курсовых проектов	Выполнение и защита РГЗ	Подготовка и сдача рефератов	Решение комплектов задач	Промежуточный контроль	Другие виды (по решению кафедры)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	Всего		4		6				10			80		100
1.	Стационарные нелинейные операторные уравнения	1-6	1		2				4			30		37
2.	Функциональные пространства, используемые при изучении нестационарных задач	7-12	1		2				3			30		36
3.	Нестационарные нелинейные операторные уравнения. Метод моонотонности	13-18	1		2				3			20		26
4.	Метод слабой аппроксимации	19	1		0				0			0		1

10ый семестр

№ п/п	Название модулей дисциплины	Срок реализации (недель)	Текущая работа (20 %), В процентах от общей трудоемкости дисциплины									Аттестация (80 %)		Итого
			Виды текущей работы									Сдача зачета	Сдача экзамена
			Посе-щаемость лекций	Выполнение и защита лабораторных работ	Практические и семинарские занятия	Выполнение и защита курсовых проектов	Выполнение и защита РГЗ	Подготовка и сдача рефератов	Решение комплектов задач	Промежуточный контроль	Другие виды (по решению кафедры)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	Всего		4		6				10				80	100
1.	Метод слабой аппроксимации	20-26	2		3				4				35	44
2.	Обратные задачи и методы их решения	27-36	2		3				6				45	56