Исследование сложных систем основано на системном подходе
| Вид материала | Исследование |
- Программа: Отделение менеджмента предприятий питания Данные о преподавателе: фио, 119.84kb.
- Задачи рассмотреть аналитический математический аппарат современных методов системного, 203.33kb.
- Они по-прежнему решают все, 104.76kb.
- Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем, 201.52kb.
- Концепция Регионального семинара Актуальные проблемы сложных систем в науке и образовании, 25.37kb.
- Системный анализ и управление в технологическом предпринимательстве, 374.39kb.
- Конспект лекций по дисциплине «анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности, 1438.3kb.
- Исследование систем управления Введение Учебный курс "Исследование систем управления", 2314.26kb.
- Лекция Защита информации в компьютерных системах, 105.02kb.
- Рабочей программы дисциплины Методы управления развитием сложных технических систем, 23.23kb.
Анализ электромеханических систем
Анализ – это исследование конкретной системы, выполняющей определенные функциональные задачи в определенной области применения, характеризуемой конкретными условиями работы, с известным морфологическим описанием, то есть рассматривается система с известной функционально-структурной схемой со всеми основными элементами и связями между ними.
Цель анализа состоит в том, чтобы оценить функциональные свойства и возможности исследуемого варианта системы и ее элементов.
Системный подход
Исследование сложных систем основано на системном подходе.
Системный подход – это методология исследования, в основе которого лежит рассмотрение объекта как целостного множества элементов в совокупности отношений и связей между ними, то есть рассмотрение объекта как системы [2].
Основные принципы системного подхода (системного анализа) [2]:
1) Целостность.
Позволяет рассматривать одновременно систему как единое целое и в то же время как подсистему для вышестоящих уровней.
2) Иерархичность строения
Подразумевает наличие множества (по крайней мере, двух) элементов, расположенных на основе подчинения элементов низшего уровня - элементам высшего уровня.
3) Структуризация.
Позволяет анализировать элементы системы и их взаимосвязи в рамках конкретной организационной структуры. Как правило, процесс функционирования системы обусловлен не столько свойствами ее отдельных элементов, сколько свойствами самой структуры.
4) Множественность.
Позволяет использовать множество кибернетических, экономических и математических моделей для описания отдельных элементов и системы в целом.
Аспекты системного подхода [2].
1. Системно-элементный аспект. Состоит в выявлении элементов, составляющих данную систему. Отражает изучение системы на основе разделения на элементы. Например: электромеханический преобразователь, электронный преобразователь, система управления и т.д.
2. Системно-структурный аспект. Заключается в выяснении и изучении внутренних связей и зависимостей между элементами данной системы и позволяет получить представление о внутренней организации (строении) исследуемой системы.
3. Системно-функциональный аспект. Предполагает выявление и изучение функций, для выполнения которых созданы и существуют соответствующие системы.
Функция - процесс, происходящий внутри системы и имеющий определённый результат.
4. Системно-целевой аспект. Предусматривает необходимость научного определения целей исследования, их взаимной увязки между собой.
5. Системно-ресурсный аспект. Заключается в тщательном выявлении ресурсов, требующихся для решения той или иной проблемы;
6. Системно-интеграционный аспект. Состоит в определении совокупности качественных свойств системы, обеспечивающих ее целостность и особенность.
7. Системно-коммуникационный аспект. Изучение системы во взаимодействии с окружающей средой. Рассматривает как влияет окружающая среда на систему и наоборот.
8. Системно-исторический аспект. Изучение системы в историческом плане: возникновение исследуемой системы, пройденные ей этапы, современное состояние, а также возможные перспективы развития.
Математическая модель обобщенной машины
Исследование ЭМС может проводиться на реальном физическом объекте или математической модели. Причем для получения качественных результатов анализа ЭМС по математической модели следует предварительно обеспечить требуемую степень адекватности. Для этого необходим физический объект.
Под математической моделью будем понимать совокупность уравнений для всех элементов системы (компонентные уравнения) и топологических уравнений (уравнений связи). Топологические уравнения представляют собой соотношения между однотипными переменными, относящимися к разным элементам, т.е. определяют способ связи элементов друг с другом.
Несмотря на большое разнообразие типов электрических машин все они основаны на физических явлениях, возникающих при движении проводника в магнитном поле. Это позволяет построить единую теорию обобщенной электрической машины, на базе которой как частные случаи могут быть исследованы различные конкретные типы машин в стационарных и переходных режимах работы.
В основе теории обобщенной ЭМ лежит замена реальной m-фазной многополюсной машины двухфазной двухполюсной идеализированной машиной, имеющей две пары взаимно ортогональных обмоток на статоре и на роторе (рис 42РМ).
Такая замена позволяет более простым образом описать электромагнитные процессы в ЭМ. Обобщенная математическая модель представляет собой систему уравнений, описывающих исследуемые процессы.
При создании математической модели принимаются следующие допущения:
1. Магнитная цепь не насыщена.
2. Гладкий воздушный зазор без пазов на статоре и роторе
3. Обмотки представляются в виде токовых слоев, имеющих синусоидальное распределение МДС.
4. При питании обмоток синусоидальным напряжением магнитное поле в воздушном зазоре синусоидальное.
С помощью обобщенной машины можно получить общие закономерности электромеханического преобразования энергии в различных машинах.
Однако, с учетом того, что при ее создании были сделаны серьезные допущения, точность получаемых результатов не высока – они носят качественный характер.
Поэтому для серьезных целей используются частные методики и модели описания процессов и расчета определенных видов электромеханических преобразователей.
Развитие методов исследования, анализа и расчета ЭМП связано с уменьшением принимаемых допущений.
Задачи анализа ЭМС
При наличии математической модели исследуемого объекта большинство задач одновариантного анализа сводится к решению систем обыкновенных или нелинейных дифференциальных уравнений, а также систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений.
Выделим следующие задачи анализа ЭМС (рис.139).
1. Анализ динамических процессов.
Динамический процесс в системе возникает при действии на систему управляющих и возмущающих воздействий, изменении параметров и характеризует ее поведение от начала действия воздействия до установившегося режима.
Исследование динамики предполагает решение следующих задач:
- исследование устойчивости; если ЭМС принципиально может быть неустойчивой, то следует определить области устойчивой и неустойчивой работы и влияние на них основных параметров элементов системы.
- исследование поведения системы в переходном режиме – вид переходного процесса, время переходного процесса; определение динамических ошибок (динамической точности).
2. Анализ статических состояний (режимов) ЭМС.
Производится в установившемся режиме работы
Определяются такие показатели ЭМС как статическая точность выходных параметров при разных нагрузках, полоса пропускания системы, резонансные частоты, линейность характеристик, наличие зон нечувствительности и т.п.
Энергетические показатели, в частности, КПД и потери анализируются как в динамических, так и в статических режимах.
Решение задач одновариантного анализа служит основанием для подхода к многовариантному анализу, предполагающему исследование поведения объекта при изменении внутренних и внешних параметров. Основными здесь являются задачи анализа чувствительности и статистического анализа.
3. Анализ чувствительности состоит в исследовании влияния изменения внутренних и внешних параметров хi на выходные показатели yj. Количественная оценка этого влияния представляется матрицей чувствительности А с элементами aji=yj/xi, называемыми коэффициентами чувствительности (влияния). Для того, чтобы иметь возможность сравнивать отдельные параметры объекта по степени влияния на уровень выходных показателей, удобно применять относительные коэффициенты влияния
bji=yj/xi*xi0/yj0 = aji*xi0/yj0
где xi0, yj0 – номинальные значения параметра xi и показателя yj.
Отметим, что j-я строка матрицы A является градиентом функции yj(x)
4. Статистический анализ. Целью статистического анализа является получение данных о распределении случайных значений выходных показателей при задании вероятностных распределений параметров. Наиболее полно результаты статистического анализа можно представить с помощью эмпирических плотностей распределения вероятностей yj (гистограмм).
Приведенные задачи анализа относятся к любой технической системе, причем как к системе в целом, так и ее отдельным элементам. Анализ элементов преследует цель выявить их возможности, доли вносимых погрешностей и т.п.
Каждый процесс моделируется отдельной математической моделью, поскольку протекание этих процессов описывается отдельной системой уравнений.
Важной составляющей при анализе ЭМС является анализ температурного поля основных элементов (перегрев основных элементов системы).
Дополнительно при анализе вариантов ЭМС определяется масса, габариты, стоимость отдельных элементов и всей системы в целом.
Требования к методам и алгоритмам анализа.
Эффективность анализа в значительной мере определяется применяемыми методами и алгоритмами. Будем полагать, что анализ проводится с помощью математического моделирования.
При выборе метода анализа следует установить область применения метода, то есть сформулировать ограничения на применение метода.
При этом к методам и алгоритмам анализа выдвигаются следующие требования:
1. Надежность.
Показатель вероятности успешного применения метода.
Причины отказа в решении задач.
Несходимость итерационных процессов, невозможность получения требуемых точностных характеристик и т.д.
Отказы могут происходить из-за плохой обусловленности математической модели, ограниченной области сходимости, ограниченной устойчивости. Например, итерации по методу Ньютона при решении систем нелинейных алгебраических уравнений, характерных при анализе ЭМС, сходятся только при выборе начального приближения в достаточно малой окрестности корня.
Для повышения надежности часто применяется комбинирование различных методов, их автоматическая параметрическая настройка и пр. Важным является также обязательная идентификация некорректного решения с тем, чтобы исключить возможность принять его за правильное.
2. Точность.
Характеризуется степенью совпадения точного решения уравнений и приближенного решения, полученного с помощью оцениваемого метода.
В целом, точность определяет адекватность математической модели. Степень адекватности зависит от поставленных задач анализа. Для оценки характера изменения параметров – требуемая точность – одна, для оценки уровня значений выходных параметров – другая.
В наибольшей степени адекватность модели определяется количеством и грубостью принятых допущений. Современные методы направлены на уменьшение количества допущений.
3. Экономичность.
Затраты вычислительных ресурсов ЭВМ на реализацию алгоритма.
Если используются покупные программы расчета, основанные на том или ином методе, то в показатель экономичности применяемого метода может быть включена стоимость этого программного продукта.
Выбор численных методов для решения задач анализа
Большинство задач анализа предполагает решение систем алгебраических уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений.
Алгебраические уравнения – уравнения, которые можно представить в виде многочлена относительно одной или нескольких переменных, приравненного к нулю [4].
Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее неизвестную функцию одного или нескольких переменных, независимые переменные и производные неизвестной функции по независимым переменным [4].
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции одного независимого переменного. Если уравнение линейно по функции и ее производным, то оно называется линейным. Наряду с обыкновенным дифференциальным уравнением существуют дифференциальные уравнения в частных производных [4].
Нахождение функции y(x), которая удовлетворяет уравнению, то есть является решением уравнения, называется интегрированием уравнения [4].
В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные функции. Между тем при решении практических задач эти методы оказываются, как правило, либо совсем бесполезными, либо их решение связано с недопустимыми затратами усилий и времени. Для решения прикладных задач созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений, которые условно можно подразделить на три основные группы [5]:
- Аналитические методы, применение которых даст решение дифференциальных уравнений в виде аналитической функции (метод Пикара);
- Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика (метод Эйлера);
- Численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы (метод Рунге-Кутта).
Численное интегрирование систем ОДУ выполняется явными или неявными методами.
Для определения значения вектора переменных состояния на текущем шаге в соответствии с линейными многошаговыми методами интегрирования используется выражение
Um+1=сумма(j=1,p) (aj*Um-j+1)+h*сумма(j=0,p) (bj*dUm-j+1/dt). (1)
При этом явные методы характеризуются тем, что для них b0=0. Тогда в правой части находятся только известные величины для моментов времени tm, tm-1,…,tm-p+1, поэтому Um+1 можно найти непосредственно из этого уравнения в явном виде.
Для неявных методов b00. Поэтому в правой части будет неизвестная величина Um+1 и уравнения (1) будет системой алгебраических уравнений относительно Um+1.
Большинство методов интегрирования является ограниченно устойчивыми. Устойчивость методов связывается с характером изменения накопленной погрешности в ходе интегрирования: если эта погрешность не возрастает с увеличением числа шагов, то применяемый метод является численно устойчивым. В противном случае, т.е. при увеличении ошибки от шага к шагу метод будет неустойчивым при данных величинах шагов. Ограниченная устойчивость означает, что на величину шага интегрирования накладываются ограничения, несоблюдение которых ведет к резкому искажению численных результатов.
Явные методы реализуются наиболее просто, приводят к сравнительно небольшому объему вычислений на каждом шаге интегрирования. Но здесь для сохранения устойчивости приходится уменьшать шаг интегрирования настолько, что возрастание числа шагов может приводить к слишком большим затратам машинного времени.
Неявные методы получили наиболее широкое применение. Среди них имеются методы, обеспечивающие устойчивость при любом шаге h>0.
Для решения нелинейных алгебраических уравнений применяют итерационные методы, главными показателями эффективности которых являются вероятность и скорость сходимости итераций к корню системы.
Наиболее высокой сходимостью обладает метод Ньютона, основанный на линеаризации исходной системы уравнений и вычислении нового приближения к корню путем решения линеаризованной системы. Однако метод Ньютона имеет ограниченную область сходимости – итерации сходятся, если начальное приближение выбрано в достаточно малой окрестности корня, что является проблематичным.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений может быть использован метод исключения Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных исходной системы и дающий точное решение системы уравнений. Однако при большой размерности задачи следует учитывать свойства разреженности матриц коэффициентов, так как в противном случае затраты машинного времени и памяти могут оказаться чрезвычайно большими. В этом случае пользуются методами последовательных приближений (итераций)
При выборе методов анализа чувствительности следует иметь в виду, что в большинстве случаев зависимости выходных показателей объектов от входных параметров задаются в неявном виде. Численные методы анализа чувствительности применяются при условии непрерывности и дифференцируемости этих зависимостей.
Универсальным методом расчета коэффициентов чувствительности является метод приращений, который основан на численном дифференцировании зависимостей yj(xj) в некоторой точке Х0:
aij=yj/xi=yj(x10,…xi0+xi,…,xn0)-yj(x10,….xi0-xi,….,xn0))/(2*xi)
где xi – малое приращение i-го параметра.
Для определения всех элементов матрицы чувствительности в данном случае необходимо выполнить 2*n расчетов выходных показателей при различных значениях входных параметров. В первом варианте задаются номинальные значения всех параметров xi0, i=1,….,n кроме первого параметра, которому задается отклонение x1, т.е. x1=x10+x1. В результате анализа получается вектор Y1. Далее производится расчет для номинальных входных параметров с учетом x1=x10-x1. Рассчитывается вектор приращений Y1=Y1-Y-1 и определяется первый столбец матрицы чувствительности. Аналогично определяются остальные столбцы матрицы.
Статистический анализ.
Входные параметры могут получать случайные значения, причем их распределение следует определенному закону.
Метод наихудшего случая. Определяются предельные отклонения выходных показателей, наблюдающиеся при самых неблагоприятных сочетаниях предельных отклонений параметров в границах их изменения.
Подобные оценки предельных отклонений выходных показателей дают лишь грубое приближение к действительно наблюдаемым отклонениям, что вызывается неучетом вероятностной природы формирования погрешностей параметров. Например, для случая наиболее распространенного нормального распределения случайных значений параметров вероятность появления граничного значения параметра составляет не более 0,135%, а для совокупности взаимно независимых параметров эта вероятность значительно уменьшается.
Вероятностный метод статистического анализа основан на применении операции дисперсии к уравнениям математической модели объекта yj=fj(xi,…xn).
2(yj)=сумма(от 1 до n)(fj/xi)2*2(xi)
где (yj) и (xi) – средние квадратические отклонения соответственно выходных показателей и входных параметров; fj/xi – коэффициент чувствительности при средних значениях всех параметров
Метод дает возможность определить средние значения (математическое ожидание) выходных показателей по средним значениям параметров и рассчитать средние квадратические отклонения yj по средним квадратическим отклонениям xi при условиях, что все параметры являются взаимно независимыми случайными величинами, погрешности параметров и показателей подчинены нормальному распределению вероятностей, математическая модель объекта анализа линейна или может быть принята таковой при реальных отклонениях xi от номинальных значений.
Сущность метода статистических испытаний состоит в воспроизведении случайных значений входных параметров с последующим расчетом показателей объекта, соответствующим этим параметрам. По завершению некоторого числа таких расчетов статистическая обработка полученных значений по каждому показателю дает необходимую информацию о характере распределения этих значений. В данном случае на математическое описание объекта не накладывается ограничений по явновыраженности, дифференцируемости и линейности.
Чем больше число испытаний, тем более точную информацию удается получить. Применение метода статистических испытаний немыслимо без использования ЭВМ.