Кочетковой Ольги Валентиновны моу «сош №2» Салиной Натальи Петровны Г. Балаково г. Саратов 2009г. Содержание Введение 2 Ι. решение

Вид материала

Содержание

Метод разложения на множители.
Метод замены переменной.
Введение вспомогательного аргумента.
Универсальная тригонометрическая подстановка.
Уравнение вида

Подобный материал:

Министерство образования Саратовской области

ГОУ ДПО «Саратовский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования»

Кафедра математического образования

Методические рекомендации по изучению

тригонометрических уравнений, в рамках

подготовки учащихся к единому государственному экзамену по математике.

Творческая работа слушателей курсов повышения квалификации по профессиональной образовательной программе

«Теория и методика преподавания математики»,

учителей математики

МОУ «Лицей№1» Кочетковой Ольги Валентиновны

МОУ «СОШ №2» Салиной Натальи Петровны

Г.Балаково

г.Саратов – 2009г.

Содержание

Введение	2
Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений	3 – 7
ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений
1. Метод разложения на множители	8 – 10
2. Метод введения новой переменной	10 – 14
3. Функционально-графические методы	15 – 17
ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений	18 – 23
ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром	24 – 25
V. Тесты для самостоятельного решения	26 – 27
Литература	28

Введение

Как подготовить учеников к экзамену по математике и научить их решать задачи?

Казалось бы, для этого нужно решать задачи, предлагавшиеся на экзаменах в прошлые годы. Однако, если следовать только этому рецепту, то результат может оказаться вовсе не тем, который ожидается.

В каждом новом году зкзаменационные задачи отличаются от задач прошлых лет, и из того, что вы узнали, как решаются задачи, предлагаемые на экзаменах в прошлые годы, не следует, что вы сможете решить другие задачи.

Важно, чтобы задачи, которые вы решаете, готовясь к экзамену, носили развивающий, системный характер, создавали базу для решения других задач.

На приемных экзаменах во втузы, университеты и институты неизменно отмечаются как один из серьезных недочетов в знаниях выпускников школ слабые навыки и ошибки в решении тригонометрических уравнений.

Отчасти это обьясняется тем, что не существует общего метода, который был бы применим для решения любого тригонометрического уравнения, и поиск решения в каждом конкретном случае требует определенных навыков в выполнении тригонометрических преобразований, умении найти и применить нужную тригонометрическую формулу. Общее направление преобразований, применяемых для решения таких задач, состоит в большинстве случаев в том, чтобы свести рассматриваемое уравнение к нескольким простейшим уравнениям.

Технические ошибки в преобразование тригонометрических выражений и в записи решений простейших тригонометрических уравнений часто являются существенной преградой на пути к решению.

Многолетний опыт работы многих учителей показывает, что учащиеся значительно лучше овладеваю приемами решения тригонометрических уравнений, если их решать систематически, начиная с введения понятия тригонометрической функций на протяжении изучения всего тригонометрического материала в курсе алгебры и начал анализа.

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. Поэтому особое внимание следует уделять решению простейших уравнений. Начинать нужно с самых простых.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

Для каждого из простейших тригонометрических уравнений определены формулы, справедливость которых обосновывается с помощью тригонометрического круга и с учетом периодичности тригонометрических функций.

sinx=а, |а|>1, решений нет;

sinx=0, x= πn, nєZ

sinx =–1, x= –

+2πn, nєZ;

sinx =1, x=

+2πn, nєZ;

sinx=а, |а|<1, x= arcsinа +2πn, nєZ;

x= π–arcsinа +2πn, nєZ.

В последнем случае для сокращения записи используют формулу:

x=(–1)ⁿarcsinа + πn, nєZ.

cos x=а, |а|>1,решений нет;

cos x=0, x= –

+πn, nєZ;

cos x=–1, x= π +2πn, nєZ;

cos x=1, x=2πn, nєZ;

cos x=а, |а|<1, x= ± arccosа +2πn, nєZ.

Решения уравнения tg x=а и ctg x=а записываются существенно проще:

x= arctgа +πn, nєZ и, соответственно, x= arcсtgа +πn, nєZ .

Пример 1. Решить уравнение sinx =

.

Решение: так как

<1, значит x=(–1)ⁿarcsin

+ πn, nєZ.

Ответ: (–1)ⁿarcsin

+ πn, nєZ.

Пример 2. Решить уравнение cos x =

.

Решение: так как

>1, значит уравнение не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 3. Решить уравнение tg x+

= 0.

Решение:

tg x+

= 0

tg x = –

x = arctg (–

) + πn, nєZ

x = – arctg

+ πn, nєZ

x = –

+2πn, nєZ;

Ответ: –

+2πn, nєZ.

Пример 4. Решить уравнение 2cos x = –

.

Решение:

2cos x = –

cos x = –

x= ± arccos (–

)+2πn, nєZ

x= ±( π – arccos

)+2πn, nєZ

x= ±( π –

)+2πn, nєZ

x = ±

+ 2πn, nєZ

Ответ: ±

+ 2πn, nєZ.

Для отработки общих формул решения простейших уравнений можно предложить для устного решения задания такого вида.

Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения : sinx =0; cosx = 0,5; tg x=1.

На начальном этапе, пока не отработаны навыки использования общих формул решения простейших уравнений желательно прописывать эти формулы, чтобы учащиеся быстрее их запомнили.

Далее нужно переходить к решению более сложных уравнений, которые чаще всего встречаются в вариантах ЕГЭ в разделе А.

Пример 5. Решить уравнение cos

.

Решение: cos

Это уравнение сводится к простейшему cos t =

заменой t =

, которую можно не прописывать.

= ± arccos

+2πn, nєZ

= ±

+2πn, nєZ

х = ±

+ 10πn, nєZ

Ответ: ±

+ 10πn, nєZ.

Пример 6. Решить уравнение: sin (2x–

) =

.

Решение: sin (2x–

) =

2x–

= (–1)ⁿarcsin

+ πn, nєZ

2x–

= (–1)ⁿ

+ πn, nєZ

2x–

= +

+ 2πn, nєZ

2x–

= –

+ (2m + 1)π,mєZ

2x =

+ 2πn, nєZ

2x =π + 2πm, mєZ

x =

+ πn, nєZ

x =

+ πm, mєZ

Ответ:

+ πn,

+ πm, n,mєZ.

Так же нужно обратить внимание учащихся на то, что довольно часто исходное уравнение приводится к простейшему лишь после различных тождественных преобразований и применения формул тригонометрии.

Пример 7. Решить уравнение 4 sin3x cos 3x =1.

Решение: 4 sin3x cos 3x =1

2(2sin3x cos 3x) =1

2sin6x =1

sin6x =

6x = (–1)ⁿ

+ πn, nєZ

x = (–1)ⁿ

n, nєZ

Ответ: (–1)ⁿ

n, nєZ.

Часто предлагается решить тригонометрическое уравнение на некотором промежутке. Целесообразно начинать решать такие уравнения до вывода общих формул решения простейших тригонометрических уравнений.

Рассмотрим примеры.

Пример 8. Найдите корни уравнения 2cosx = –1, принадлежащие промежутку [0;2π].

Решение:

2cosx = –1

cosx = –

Выбор значений x , которые принадлежат указанному промежутку можно выполнить различными способами.

Наиболее рационально это делать с помощью единичной окружности.

x₁=

; x₂ =

.

Ответ:

;

.

В тестах часто требуется не просто найти корни, принадлежащие данному промежутку, а вычислить их сумму или разность; определить наибольший или наименьший корень; указать количество корней.

Пример 9. Найдите сумму корней уравнения (cos ²x –1)(2 sin

– 1) = 0, принадлежащих промежутку [–

; π ).

Решение:

x₁= 0; x₂ =

, x₁+ x₂ =

Ответ:

Решите самостоятельно.

1. Найдите сумму корней уравнения 2sinx = –1 на указанном промежутке

2. Найдите количество корней уравнения 4cos ²2х = 1 на указанном промежутке

3. Найдите сумму наименьшего положительного и наименьшего отрицательного корней уравнения sinx cos

+ sin

cos х =

на указанном промежутке

Уже при решение простейших тригонометрических уравнений полезно предлагать нестандартные уравнения.

Пример 10. Решить уравнение cos x² = 1.

Можно дать это уравнение для самостоятельного решения.

Найдутся ученики, которые решат его в одну строчку:

х² = 2πk, kЄZ

х =

, kЄZ.

Целесообразно продемонстрировать это решение на доске и предложить ученикам найти допущенные ошибки.

В случае затруднений, чтобы внести полную ясность, решить для начала уравнение

х² = a.

Его решение имеет вид х = ±

при а

0.

Если а <0, то уравнение не имеет решений. Значит решением исходного уравнения является х = ±

, kЄZ, k

0.

Ответ: ±

, kЄZ, k

0.

Пример 11. Решить уравнение sinsinx = 1.

Решение: sinsinx = 1.

sinx =

+2πn, nєZ

Выражение |

+2πn | > 1 при любых значениях n , nєZ.

Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

Метод разложения на множители.

Этот метод заключается в том , что исходное уравнение сводится к уравнению вида

f (x)g(x)h(x) = 0, которое можно заменить совокупностью уравнений, каждое из которых сводится к простейшему.

Решив уравнения совокупности нужно взять только те решения, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные корни отбросить.

Пример 1. Решить уравнение sin4x = 3 cos2х.

Решение:

sin4x = 3 cos2х.

2 sin2x cos2х = 3 cos2х

Получив такое уравнение, ученики достаточно часто делают ошибку, «сократив» левую и правую части уравнения на cos2х. Некоторые из них при этом оговаривают, что cos2х

0,но одной оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё рассмотреть случай, когда cos2х = 0, и проверить, не являются ли значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного уравнения. Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части уравнения на cos2х, а разложить на множители

(2 sin2x – 3) cos2х = 0.

Полученное уравнение равносиьно совокупности двух уравнений

х =

, nЄZ.

Первое уравнение решения не имеет, так как функция синус не может принимать значений по модулю больших единицы. К сожалению, не все ученики это понимают, а из тех, кто понимает, не всякий вспоминает вовремя.

Ответ:

, nЄZ.

Пример 2. Решить уравнение sin2x = sin4x

Решение: некоторые учащиеся, встретив такое уравнение, решительно записывают

2х = 4х или 2х = 4х + 2πn, nЄZ, что приводит к потере решений исходного уравнения.

Решение исходного уравнения состоит в переходе к уравнению sin2x – sin4x = 0

и последующем применении формулы для преобразования разности тригонометрических функций в произведение

2cos

= 0

cos3x (–sinx) = 0

Ответ:

Пример 3. (ЕГЭ 2009г. Вариант 1, С2.).

Найдите все значения

, при каждом из которых выражения

принимают равные значения.

Решение:

Ответ:

Пример 4. (ЕГЭ 2009г. Вариант 2, B7.).

Найдите наименьший корень уравнения

Решение:

Ответ:

Метод замены переменной.

В школьном курсе в основном рассматриваются уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x),где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

Пример 5. Решить уравнение cos² πx + 4sinπx + 4 =0

Решение: 1 – sin ²πx + 4sinπx + 4 =0

– sin ²πx + 4sinπx + 5 =0

Заменим sin πx = t , -1

–t ²+ 4t +5 = 0

t ²– 4t – 5 = 0

t₁= –1, t₂ = 5

t₂ не удовлетворяет условию -1

sin πx = –1

πx = –

х = –

Ответ: –

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Уравнение вида аsinx +bcosx =0, где а и b –некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sinx и cosx.

Уравнение вида аsin ²x +bcos ²x + с =0, где а,b,с – некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sinx и cosx.

Пример 6. Решить уравнение sinx – cosх = 0.

Решение: легко убедиться, что cosx = 0 не является корнем исходного уравнения.

В самом деле, если cosx = 0, то, в силу исходного уравнения, и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на cosx.

Получим уравнение tg x = 1, откуда х =

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение sin ²x – 3sinx cosх + 2cos ²x = 0.

Решение: поскольку cosx = 0 не является корнем tg x данного уравнения,

разделим левую и правую части уравнения на cos ²x. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg² x – 3 tg x + 2 = 0,

решив которое, получим

Ответ:

Введение вспомогательного аргумента.

Уравнение вида аcosx + b sinx = с, где а, b, с –некоторые числа, причем

называют линейными тригонометрическими уравнениями.

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Так как а ² + b²>0, то можно разделить обе части уравнения на

, получим

Введём в рассмотрение угол

такой, что

Угол

, удовлетворяющий этим двум условиям, принято называть дополнительным (или вспомогательным) аргументом. Для любых значений а и b такой угол существует, так как

Вообще, полезно напомнить учащимся, что любые числа p и g такие, что

p²+ g² = 1 можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла.

Теперь исходное уравнение можно записывать в виде

cos

cosx + sin

sinx =

cos (x –

) =

Аналогично можно вводить вспомогательный угол

такой, что:

Тогда исходное уравнение можно привести к виду

sin

cosx + cos

sinx =

sin (x +

) =

Полезно также обратить внимание учащихся, что умение преобразовывать выражения вида а cosx + b sinx может понадобиться не только при решении уравнений, но и для построения оценок, нахождения наибольших значений и т. д.

Пример 8. Решить уравнение 3 sinx – 4cosх = 5.

Решение. 3 sinx – 4cosх = 5

, cosx =

,

cos(x +

) = –1

x +

= π + 2πn, nЄZ

x = –

+ π + 2πn, nЄZ

x = –arcsin

+ π + 2πn, nЄZ

Ответ: –arcsin

+ π + 2πn, nЄZ.

Пример 9. Решить уравнение 2cosх = 1– 2cos ²х –

sin2x.

Решение. Воспользуемся формулой 2cos ²х – 1 = cos 2x,

получим 2cosх = – cos2х –

sin2x.

Применим к правой части процедуру введения вспомогательного аргумента.

2cosх = – 2(

cos2х +

sin2x)

2cosх = – 2 (сos

cos2х + sin

sin2x), где

2cosх = – 2(cos2х –

)

cosх + cos (2х –

) = 0

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение:

2cos

cos

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в тригонометрических системах и совокупностях при записи имеет смысл употреблять разные буквы, обозначающие целые числа.

Ответ:

.

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет перейти от синуса и косинуса аргумента х к тангенсу половинного аргумента:

sin

, cos

При таком переходе возможна потеря решений, следует помнить, что

(в этих точках tg

не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользоваться универсальной подстановкой, значения х = π + 2πn, nЄZ необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

Пример 10. Решить уравнение sinx + cosх = –1.

Решение:

= –1, заменим tg

, получим

2t +1 – t² = –1– t²

2t = – 2

t = – 1

tg

Подставим теперь в исходное уравнение значение

и убедимся, что они действительно являются его решениями.

Ответ:

Уравнение вида

Уравнение вида

где

- многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной

Тогда можно получить выражение для произведения из формулы

Пример 11. Решить уравнение

Решение: введем новую переменную

Тогда

Следовательно,

и исходное уравнение принимает вид

Для определения переменной

получаем два уравнения

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Ответ:

После завершения изучения рассмотренных методов, при наличии времени, рекомендуем провести урок-практикум – «Урок решения одного уравнения»

3. Функционально-графические методы

Использование свойств ограниченности функций, метод оценок.

Часто приходится иметь дело с уравнениями, имеющими вид f(x) = g(x), где f и g – некоторые функции, составленные с помощью тригонометрических выражений, такие, что можно исследовать области значений Е(f) и Е(g) и доказать, что эти области либо не пересекаются, либо имеют небольшое число общих точек. В таких случаях решения уравнения f(x) = g(x) следует искать среди таких x , которые удовлетворяют более простым уравнениям f(x) = a, g(x) = a , где а – такое действительное число, что

Пример 12. Решить уравнение

.

Решение:

Ответ: нет решения.

Пример13. Решить уравнение

.

Решение:

Ответ: нет решения.

Пример14. Решить уравнение

.

Решение:

Ответ:

.

Пример15. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример16. Решить уравнение

Решение.

Заметим, что сумма в левой части полученного уравнения может принимать значение 2, только если

одновременно, т.е. наше уравнение равносильно системе уравнений

И должно выполняться равенство

Поскольку

Ответ:

Использование графиков.

Суть метода использования графиков для решения уравнения f(x) = g(x) проста: нужно построить графики функций y = f(x) и y = g(x) и найти все точки их пересечения, абсциссы которых и будут являться корнями нашего исходного уравнения.

Пример 17. Сколько корней имеет уравнение:

Решение: в данном примере для решения уравнений используются свойства графиков функций.

Ответ: 1 решение.

Ответ: 7 решений.

ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

Пример1. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

.

Пример 2. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение

Решение:

Решим первое уравнение системы с использованием универсальной тригонометрической подстановки:

С учетом неравенств системы имеем:

Ответ:

Пример 4. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 5. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 6. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 7. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 8. Решите уравнение

Решение: воспользуемся формулой понижения степени

Ответ:

Пример 9. Решите уравнение

Решение:

Решим полученное уравнение графически, для этого в одной системе координат построим графики функций

Ответ:

Пример 10. Решите уравнение

Решение: введем функцию

тогда получим

Исследуем функцию на монотонность

Ответ:

Пример 11. Решите уравнение

Решение: данное уравнение равносильно системе

Ответ:

ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром.

Пример1. Найти все значения параметра

, при которых уравнение

имеет решение.

Решение:

Пример 2. Найти все значения параметра

, при которых уравнение

имеет на отрезке

ровно три корня.

Решение:

Пример 3. Решите уравнение

.

Решение:

V. Тесты для самостоятельного решения

Данные тесты предназначены для проверки умений решения тригонометрических уравнений различными способами.

Вариант№1.

Вариант№2.

Вариант№3.

Вариант№4.

Литература

Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 класса / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.
Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 11 класса: базовый и профильные уровни / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.
Бурмистрова Н.В.,СтаростенковаН.Г.Математика.11класс. Подготовка к экзамену.

-Саратов: Лицей,2005.

Единый государственный экзамен: Математика: контрольные измерительные материалы: 2006-2007.-М.:Просвещение: СПб.: Просвещение,2007.
ЕГЭ-2009.Математика: Сдаём без проблем!/ О.А.Креславская, В.В.Крылов, В.И.Снегурова, В.Е.Ярмолюк.-М.:Эксмо.2008.
ЕГЭ. Репетитор. Математика.Эффективная методика./ Л.Д.Лаппо, А.В.Морозов, М.А.Попов.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.
Панчишкин А.А.. Шавгулидзе Е.Т. Тригонометрические функции в задачах - М.:Наука. Главная редакция физико – математической литературы,1986.
Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2009:Математика /

авт.-сост. В.И.Ишина, В.В.Кочагин, Л.О.Денишева и др.-М.:АСТ: Астрель,2009.

Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике

(курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы.11 класс/

Г.В,Дорофеев, Г.К.Муравин ,Е.А.Седова.-10-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2007.

Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2009.Часть2.10-11 классы/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. - Ростов-на-Дону:Легион,2008.
Макеева А.В.Карточки по тригонометрии.10-11 класс: Дидактический материал

для учителей. - Саратов:Лицей.2002.

Макарова Л.В. Уроки-практикумы в системе работы учителя. //Математика в школе,1998,№3.
Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.-4-е изд.испр. и доп.-М.:Рольф:Айрис-пресс,1999.
Математика: Тематическое планирование уроков подготовки к экзамену / А.В.Белошинстая.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.
Шаммин В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд.3-е.-

Ростов н/Д: Феникс,2004.

Blog

Кочетковой Ольги Валентиновны моу «сош №2» Салиной Натальи Петровны Г. Балаково г. Саратов 2009г. Содержание Введение 2 Ι. решение

Содержание