Учебная программа для специальностей: 1-31 03 01 Математика (по направлениям) согласовано

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ВУЗОВ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ ПО ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УТВЕРЖДАЮ

Ректор
Белорусского государственного университета

________________ С.В. Абламейко

«_25_» ____11_____2008 г.

Регистрационный № УД-_1388__/уч.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ

Учебная программа для специальностей:

1-31 03 01 Математика (по направлениям)

	СОГЛАСОВАНО Председатель Учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию ________________ В.В. Самохвал «_24_»_____11______ 2008 г.

2008 г.

Составители:

Петр Ильич Монастырный, профессор кафедры численных методов и программирования Белорусского государственного университета, доктор физико-математических наук, профессор;

Марина Викторовна Игнатенко, доцент кафедры численных методов и программирования Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент;

Анжелика Ивановна Кравчук, доцент кафедры численных методов и программирования Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент;

Юрий Алексеевич Кремень, доцент кафедры численных методов и программирования Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент.

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Леонид Александрович Янович, главный научный сотрудник Института математики НАН Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор, член-корр. НАН Беларуси;

Татьяна Семеновна Якименко, доцент кафедры численных методов и программирования Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент.

РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:

Кафедрой численных методов и программирования Белорусского государственного университета

(протокол № _8_ от __6.03.2008__);

Научно-методическим советом Белорусского государственного университета

(протокол № _3_ от ___27.03.2008__);

Научно-методическим советом по математике и механике Учебно-методического объединения вузов РБ по естественнонаучному образованию

(протокол № _3_ от __10.04.2008__)

Ответственный за выпуск: _______________________

(И.О.Фамилия)

Пояснительная записка

В настоящее время численные методы являются одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов математики. Это связано как с бурным развитием вычислительной техники, наращиванием ее мощности, так и широким применением средств математического моделирования практически во всех сферах жизнедеятельности человека для оптимизации исследуемого объекта или прогнозирования ситуации. Поэтому в последнее время разрабатывается много новых численных процедур, применяемых как к новым, так и классическим объектам исследования, при этом многие классические алгоритмы решения задач претерпевают изменения с целью улучшения их вычислительных свойств.

Все это определяет важность курса “Численные методы и вычислительный практикум” в учебном процессе, а также обуславливает необходимость внесения некоторых изменений и дополнений в его содержание.

Центральной идеей образования по дисциплине “Численные методы и вычислительный практикум” является необходимость обучения студентов современным подходам и численным методам решения прикладных задач, а также принципами их грамотного практического использования.

Второй важнейшей идеей обучения является подготовка студентов к практической работе в области численного моделирования научных и прикладных математических задач естествознания.

Основными целями и задачами дисциплины “Численные методы и вычислительный практикум” являются: построение математических моделей, определение их роли и значения; знакомство с основными принципами разработки вычислительных методов для типичных и новых задач науки и техники; изучение и развитие теории и приложений вычислительных методов, их компьютерных реализаций; анализ достоверности численных результатов, их трактовка и внедрение, а также развитие алгоритмического мышления, накопление опыта работы на современных вычислительных средствах.

Опыт преподавания курса "Численные методы и вычислительный практикум" на механико-математическом факультете Белгосуниверситета показывает, что обучение на занятиях по вычислительному практикуму должно проводиться в двух направлениях: изучения основ численных методов на примере решения теоретических задач и выполнения расчетных работ с использованием компьютеров. При этом только непосредственное общение исследователя с конкретными задачами кроме возможности закрепить лекционный материал, помогает дать общее представление и выработать необходимую интуицию для нахождения эффективных путей решения задач вычислительной математики.

В последние годы высокая техническая оснащенность и рост возможностей вычислительной техники позволяют существенно обогатить практическую сторону вычислительного практикума. Использование новых современных программных пакетов (Maple, MathCAD, MathLAB, Mathematica и др.), а, также стандартных библиотек численного анализа позволяют, не углубляясь в знание частных вопросов, сосредоточиться непосредственно на объекте (цели) исследования, ускорить процесс получения решения типовых задач. Как следствие, решение большего числа разнообразных задач способствует приобретению студентами некоторого опыта практических расчетов. При этом спектр рассматриваемых проблем расширяется от типичных до достаточно сложных в вычислительном отношении задач, требующих для численной реализации использования мощных компьютеров. Появляется возможность уделять больше внимания анализу характеристик вычислительных алгоритмов и связи практических результатов с полученными теоретическими оценками.

Более того, часть времени, освобождающегося за счет использования современной вычислительной техники, позволяет уделять больше внимания детальному рассмотрению теоретических задач вычислительной математики. Это несомненно является важным моментом вычислительного практикума, поскольку как правило именно такого рода задачи помогают усваиванию, закреплению и более полному пониманию основных определений, понятий, результатов и алгоритмов вычислительной математики. Кроме того, решение теоретических задач позволяет установить связь между различными разделами математики, в частности, численного анализа, и, как следствие, способствует полноте восприятия курса по численным методам. При этом значительно возрастает роль самостоятельной работы студентов над предметом, без чего его успешное освоение представляется маловероятным.

Программа курса “Численные методы и вычислительный практикум” составлена с учетом межпредметных связей и программ по смежным дисциплинам. Его изучение базируется на знаниях из университетских курсов по алгебре, геометрии, математическому анализу, функциональному анализу, обыкновенным, в частных производных и интегральным уравнениям.

В основу учебной программы дисциплины “Численные методы и вычислительный практикум” положены одноименные программы, разработанные академиком А.А.Самарским (МГУ им. М.В. Ломоносова, 1990, УМОУ – 01.02/17-90), академиком Н.С. Бахваловым (МГУ им. М.В. Ломоносова, 1986, УМУ – 20/182).

Выпускник должен

знать:

основные определения, понятия теории вычислительных методов;
методы решения задач вычислительной математики;

уметь:

применять методы решения прикладных задач;
решать типичные задачи вычислительной математики, как теоретически, так и практически с применением современных вычислительных средств;
анализировать достоверность и трактовать численные результаты..

Объём курса (дневное отделение). Учебный курс рассчитан на 4 семестра общим объёмом 326 часов, из них 204 часа аудиторных, в том числе 102 часа лекций, 20 часов контролируемой самостоятельной работы, 30 часов практических занятий и 52 часа лабораторных занятий, которые проводятся на персональных компьютерах на базе компьютерных классов ММФ БГУ.

Общий объем часов аудиторных занятий (дневное отделение)

Рекомендуется следующее распределение часов по видам учебной работы.

	5 семестр	6 семестр	7 семестр	8 семестр
Лекции	17	17	34	34
Лабораторные занятия	10	10	16	16
Практические занятия	5	5	10	10
КСР	2	2	8	8
Всего	34	34	68	68
Зачет/экзамен	1/0	1/0	1/0	1/1

Примерный тематический план

Учебный материал курса “Численные методы и вычислительный практикум” разделен на несколько базовых разделов, каждый из которых содержит ряд тем, рассматриваемых в ходе лекций, лабораторных занятий и рекомендованных для самостоятельной работы студентов.

I часть. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ (5 семестр)

II часть. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (6 семестр)

III часть. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (7 семестр)

IV часть. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ (7 семестр)

V часть. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ (7 семестр)

VI часть. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (8 семестр)

VII часть. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (8 семестр)

VIII часть. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (8 семестр)

содержание учебного материала

Введение

Численные методы как один из важных разделов современной математики, науки и техники. Роль и значение численных методов, вычислительного эксперимента в возникновении и развитии вычислительной математики. О вкладе отечественных и советских математиков в теорию и приложения численных методов.

I часть. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Постановка задачи. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Оценки остаточных членов интерполяционных полиномов и их минимизация. Полиномы Чебышева. Интерполирование сплайнами.

Численное дифференцирование функций и оценка его погрешности. Понятие о численном интерполировании и дифференцировании функций многих переменных.

Дискретное преобразование Фурье, быстрое преобразование Фурье. Понятие о методе наименьших квадратов.

II часть. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Простые и составные интерполяционные квадратурные формулы. Формулы прямоугольников, трапеции, Симпсона, Гаусса. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы. Правило Рунге практической оценки погрешности. Вычисление интегралов от функций специального вида.

Понятие о методах вычисления кратных интегралов и методе Монте-Карло.

III часть. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Метод Гаусса. Метод квадратного корня. Метод простых итераций. Неявный метод итерации, теорема Самарского А.А. о сходимости. Оптимизация итерационных методов. Методы Зейделя, релаксации. Понятие о методах скорейшего градиентного спуска и сопряженных градиентов.

IV часть. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ

Степенной метод. Правила вычислений верхней и нижней граней положительно определенной матрицы. Вычисление числа обусловленности матрицы. Понятие о треугольном степенном методе, методах вращений, Крылова А.Н., Данилевского А.М.

V часть. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

Методы простой итерации и Ньютона. Теоремы о сходимости и оценки погрешности методов. О модификациях метода Ньютона. Понятие о методе скорейшего градиентного спуска.

VI часть. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Одношаговые методы решения задачи Коши: методы Эйлера и Рунге-Кутта. Оценка погрешности решения в методе Эйлера. О разностных методах решения задачи Коши. Методы решения жестких систем.

Разностные схемы для граничных задач в случае линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, сходимость и оценка погрешности. Метод разностной прогонки и метод пристрелки. Понятие о методе конечных элементов.

Метод сеток для решения нелинейных граничных задач.

VII часть. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Вводные понятия и элементы теории разностных схем (р.с.).

Р.с. для уравнений параболического типа. Двухслойная р.с. с параметром для уравнения теплопроводности. Аппроксимация, устойчивость, сходимость, теорема Самарского А.А. о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью р.с. Теорема Самарского А.А. об устойчивости двухслойных р.с. с параметром. Явные и неявные р.с., экономичные р.с. Понятие о р.с. для нелинейного уравнения теплопроводности.

Р.с. для уравнений гиперболического типа. Р.с. с параметром для одномерного уравнения колебаний струны: аппроксимация, исследование устойчивости методом разделения переменных, оценка погрешности и сходимости.

Р.с. для уравнений эллиптического типа. Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Принцип максимума. Метод установления и быстрое преобразование Фурье.

Метод матричной прогонки и метод переменных направлений.

Понятие о монотонных разностных схемах.

VIII часть. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод замены ядра на вырожденное. Метод механических квадратур. Регуляризация для интегральных уравнений первого рода.

Информационная часть

Литература

Основная:

Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987. -598с.
Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512с.
Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. В двух томах. – М.: Наука, 1976 – 1977.
Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Том 1. Дифференциальные уравнения. – Минск: Наука и техника, 1982. – 286с. Том V. Уравнения в частных производных. – Минск: Наука и техника, 1986. – 311с.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989. – 608с.
Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука, 1987. – 286с.
Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1983. – 616с.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. – 430с.
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука. 1986. – 285с.
Сборник задач по методам вычислений: учеб. пособие / Под ред. П.И. Монастырного, – Минск: Изд. центр БГУ, 2007.

Дополнительная:

Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – 6-е изд. – М.: Наука, 1999. – 798 с.
Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 592 с.
Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2 т. – М.: Наука, 1966.
Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. – М.: Наука, 1967.
Крылов В. И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. – Минск: Наука и техника, 1983.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989.
Сборник задач по методам вычислений. Под редакцией Монастырного П.И. М.: Наука, 1994. – 319с.
Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений: учеб. пособие. – СПб.: Изд–во С.-Петерб. ун-та, 1998.
Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. – М.: Мир, 1977.
Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. – М.: Мир, 1987. – 524 с.
Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1981. – 216 с.

Примерные программы лабораторных занятий

Программа лабораторных занятий

Лабораторные занятия по вычислительному практикуму преследуют следующие цели: усвоение и закрепление основных алгоритмов, понятий и определений вычислительной математики; практическое решение типичных задач вычислительной математики, требующих небольшого объема вычислений, которые могут быть проведены в вычислительных лабораториях с помощью персональных компьютеров или других вычислительных средств; решение достаточно сложных в вычислительном отношении задач, требующих для их численной реализации мощных современных компьютеров.

Часть изучаемого материала рекомендуется выносить на контролируемую самостоятельную работу (КСР) студентов.

Первая часть (III курс, 5 семестр, 34ч.)

Тема 1. Элементы теории погрешностей (6 часов)

Абсолютная и относительная погрешности. Значащие и верные цифры в записи приближенного числа. Погрешности арифметических операций (2 часа). Примеры неустойчивых алгоритмов. Прямая и обратная задача теории погрешностей (2 часа). Погрешность вычислений на ЭВМ. Погрешность округлений и компьютерная запись чисел (2 часа).

Тема 2. Интерполирование и численное дифференцирование функций (16 часов)

Постановка задачи интерполирования. Системы функций Чебышева. Интерполяционный полином Лагранжа (2 часа). Схема Эйткена. Конечные разности и разностные отношения. Интерполяционный многочлен Ньютона (2 часа). Оценки остаточных членов интерполяционных полиномов и их минимизация. Полином Чебышева (2 часа). Интерполирование по системе равноотстоящих узлов. Интерполяционные полиномы Ньютона для начала, конца и середины таблицы (2 часа КСР). Приближение функций с помощью интерполирования по значениям функции, наименьших квадратов и сплайнов (4 часа). Понятие о численном интерполировании функций многих переменных (2 часа). Численное дифференцирование функций и оценка его погрешности (2 часа).

Тема 3. Вычисление определенных интегралов (12 часов)

Интерполяционные квадратурные формулы с фиксированными узлами. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона (2 часа). Квадратурные формулы типа Гаусса (4 часа). Правило Рунге практической оценки погрешности (2 часа). Вычисление интегралов от функций специального вида (2 часа КСР). Понятие о методах вычисления кратных интегралов (2 часа).

Вторая часть (III курс, 6 семестр, 34ч.)

Тема 4.Численные методы решения систем ЛАУ (20 часов)

Нормы векторов и матриц. Энергетическая норма вектора. Согласованность и подчиненность норм. Обусловленность и подчиненность норм. Обусловленность матриц и систем ЛАУ (2 часа). Методы типа Гаусса (2 часа). Схема метода Гаусса и Жордана (2 часа КСР). Метод квадратных корней (2 часа). Метод ортогонализации (2 часа). Метод разностной прогонки (2 часа). Метод простой итерации (2 часа). Методы Зейделя и релаксации (2 часа). Общий неявный метод простой итерации. Теорема Самарского А.А. о сходимости (2 часа). Методы скорейшего градиентного спуска и сопряженных градиентов (2 часа).

Тема 5. Вычисление собственных значений и векторов матриц (14 часов)

Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц по определению. Нахождение числа обусловленности матрицы (2 часа). Метод Данилевского А.М. (2 часа). Метод Крылова А.Н. (2 часа). Итерационный степенной метод решения частичной проблемы собственных значений (2 часа КСР). Метод вращений (2 часа). Треугольный степенной метод (2 часа). QR–алгоритм (2 часа).

Третья часть (IV курс, 7 семестр, 34ч.)

Тема 6. Решение нелинейных численных уравнений и систем уравнений
(16 часов)

Локализация начальных приближений (одномерный и двумерный случай). Геометрическая интерпретация (2 часа). Метод простой итерации (одномерный случай) (2 часа). Метод простой итерации для систем (2 часа КСР). Метод Ньютона (одномерный случай). (2 часа). Модификация метода Ньютона (2 часа КСР). Метод Ньютона для систем (2 часа КСР). Методы оптимизации. Метод скорейшего спуска или релаксации. Построение алгоритма (4 часа КСР).

Тема 7. Численное решение интегральных уравнений Фредгольма (6 часов)

Методы замены интеграла конечной суммой (2 часа). Методы замены ядра на вырожденное (2 часа и 2 часа КСР).

Тема 8. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (12 часов)

Метод Эйлера и модификация метода Эйлера (4 часа). Метод Рунге-Кутта и интерполяционные методы Адамса (6 часов). Метод Рунге–Кутта для системы уравнений (2 часа КСР).

Четвертая часть (IV курс, 8 семестр, 34ч.)

Тема 9. Численные методы решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (10 часов)

Метод редукции к задаче Коши (2 часа). Метод дифференциальной прогонки (2 часа КСР). Метод моментов и метод Галеркина (2 часа). Замена граничной задачи сеточной. Метод разностной прогонки (2 часа и 2 часа КСР).

Тема 10. Построение и исследование разностных схем для типичных задач математической физики (8 часов)

Разностные схемы. Основные понятия. Построение сеток, выбор шаблона, аппроксимация частных производных. Выбор норм. (2 часа). Построение разностной схемы. Погрешность аппроксимации разностной схемы (2 часа). Устойчивость разностной схемы. Устойчивость по начальным данным. Спектральный признак Неймана (2 часа). Сходимость разностных схем (2 часа КСР).

Тема 11. Разностные схемы для уравнений теплопроводности, колебаний струны и уравнения Пуассона (16 часов)

Метод сеток для уравнения теплопроводности . Явные и неявные схемы. (4 часа). Схемы с параметром. Построение схем с заданными свойствами аппроксимации. Исследование их на устойчивость (2 часа). Разностные схемы для решения задачи Дирихле в случае уравнения Пуассона в прямоугольнике. (2 часа и 2часа КСР). Разностные схемы для смешанной задачи эллиптического типа в случае криволинейной области (2 часа КСР). Разностный метод решения гиперболических задач. Явные и неявные схемы. Схемы с параметром. Устойчивость схем (4 часа КСР).

Blog

Учебная программа для специальностей: 1-31 03 01 Математика (по направлениям) согласовано

Содержание

Основная:

Дополнительная:

Программа лабораторных занятий