Geum.ru

Учебная программа для высших учебных заведений по специальностям 1- 31 03 03 Прикладная математика (по направлениям)

Вид материалаПрограмма

Содержание


С.А. Мазаник
Научно-методическим советом
Научно-методическим советом
Пояснительная записка
Подобный материал:
Министерство образования Республики Беларусь

Государственное учреждение образования


“Республиканский институт высшей школы”


УТВЕРЖДАЮ

Первый заместитель Министра

образования Республики Беларусь

______________________ А.И. Жук

« 05 » 07 2006 г.

Регистрационный № ТД – G.101/тип.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебная программа

для высших учебных заведений по специальностям

1- 31 03 03 Прикладная математика (по направлениям),
1- 31 03 04 Информатика,

1- 31 03 05 Актуарная математика,
1- 31 03 06 Экономическая кибернетика (по направлениям),
1- 98 01 01- 01 Компьютерная безопасность

(математические методы и программные системы)

СОГЛАСОВАНО

Председатель
Учебно-методического объединения вузов
Республики Беларусь
по естественнонаучному образованию

__________________ В.В.Самохвал

__________________ 2006


Начальник управления высшего и среднего
специального образования Министерства
образования Республики Беларусь

__________________ Ю.И. Миксюк

__________________ 2006


Первый проректор
Государственного учреждения образования
“Республиканский институт высшей школы”

__________________ В.И. Дынич

__________________ 2006


Эксперт

_________________ С.М. Артемьева

_________________ 2006


Минск

2006


Составители:

Л.А.Альсевич, доцент кафедры высшей математики Белорусского государственного университета, кандидат физ.-матем. наук, доцент

^ С.А. Мазаник, заведующий кафедрой высшей математики Белорусского государственного университета, доктор физ.-матем. наук, профессор;

Ю.Б.Сыроид, доцент кафедры высшей математики Белорусского государственного университета, кандидат физ.-матем. наук, доцент


Рецензенты:

Кафедра высшей математики Учреждения образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»;

Н.А.Изобов, заведующий отделом дифференциальных уравнений Института математики НАН Беларуси, академик НАН Беларуси, доктор физ.-мат. наук, профессор.


Рекомендована к утверждению в качестве типовой:

Кафедрой высшей математики Белорусского государственного университета

(протокол № 11 от 20 апреля 2006г.).

^ Научно-методическим советом Белорусского государственного университета

(протокол № 4 от 11 июня 2006г.).

Научно-методическим советом по прикладной математике и информатике

(протокол № 1 от 12 июня 2006г.).

^ Научно-методическим советом по специальности Компьютерная безопасность

(протокол № 1 от 12 июня 2006г.).

Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь
по естественнонаучному образованию

(протокол № 15 от 15 июня 2006г.).


Ответственный за редакцию: Ю.Б.Сыроид

Ответственный за выпуск: О.А. Кастрица
^

Пояснительная записка



Курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения» знакомит студентов с основными методами интегрирования и исследования дифференциальных уравнений, а также с методами построения дифференциальных моделей детерминированных процессов.

Курс основывается на дисциплинах “Математический анализ”, “Геометрия и алгебра” и, в свою очередь, является базовым для изучения предметов аналитического цикла, предусмотренных учебными планами соответствующих специальностей. Материал, излагаемый в курсе дифференциальных уравнений, используется при изучении дисциплин «Теория вероятностей и математическая статистика», «Функциональный анализ и интегральные уравнения», «Методы оптимизации», «Уравнения в частных производных», а также при изучении ряда дисциплин специализации.

Изучение дифференциальных уравнений преследует две основные цели:
  • дать студентам базу, необходимую для усвоения материала перечисленных выше учебных дисциплин,
  • сформировать составную часть банка знаний, получаемых будущими специалистами в процессе учебы и необходимых им в дальнейшем для успешной работы.

При изложении курса важно показать возможности использования аппарата дифференциальных уравнений при решении прикладных задач, возникающих в различных областях науки, техники, экономики и др. Целесообразно выделить моменты построения математических моделей естественных процессов с целью их последующего изучения, а также обратить внимание на алгоритмические аспекты получаемых результатов.

В соответствии с образовательным стандартом специальностей 1- 31 03 03 «Прикладная математика» (по направлениям), 1- 31 03 04 «Информатика», 1- 31 03 05 «Актуарная математика», 1- 31 03 06 «Экономическая кибернетика» (по направлениям),
1- 98 01 01- 01 «Компьютерная безопасность» (математические методы и программные системы) учебная программа предусматривает для изучения дисциплины 135 аудиторных часов, в том числе лекционных  68 ч., практических  54 ч. и 13 ч. контролируемой самостоятельной работы.


Содержание


Введение

Математические модели детерминированных процессов и явлений в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Принципы построения математических моделей. Основные понятия и задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений.


Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура множества решений и фундаментальная система решений (базис) однородного уравнения. Вронскиан. Общее решение. Алгоритм интегрирования однородных уравнений. Фазовая плоскость однородного линейного уравнения второго порядка.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Общее решение. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Функция Коши линейного дифференциального оператора, метод Коши интегрирования неоднородных уравнений. Уравнения с правой частью в виде квазиполинома, метод Эйлера интегрирования неоднородных уравнений.

Исследование дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: зависимость решений от начальных данных, устойчивость и асимптотическая устойчивость решений по Ляпунову. Критерий Рауса-Гурвица.


Линейные дифференциальные системы с постоянными коэффициентами

Однородные линейные векторные уравнения размерности n (однородные линейные системы). Фундаментальная (базисная) матрица решений. Общее решение. Метод Эйлера разрешения однородных систем. Экспоненциальное представление решений.

Неоднородные линейные векторные уравнения размерности n. Общее решение. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Матрица Коши, метод Коши интегрирования неоднородных систем. Исследование линейных векторных уравнений: зависимость решений от начальных данных, устойчивость и асимптотическая устойчивость решений по Ляпунову. Фазовая плоскость однородного линейного векторного уравнения размерности два.


Элементарные дифференциальные уравнения

Основные типы элементарных уравнений. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения, сводящиеся к линейным. Уравнение Риккати. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Задача об изогональных траекториях. Общие, особые и составные решения. Уравнения высших порядков, понижение порядка уравнения.


Общая теория дифференциальных уравнений

Существование и единственность решения задачи Коши. Сравнение решений и продолжимость. Зависимость решений от начальных данных и параметров.

Первые интегралы и интегрируемые комбинации. Системы в симметрической форме. Базис первых интегралов.

Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Задача Коши и её однозначная разрешимость. Фундаментальная система решений. Системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Приводимость по Ляпунову. Системы Лаппо-Данилевского. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций Ляпунова. Устойчивость по первому приближению.

Колеблемость решений линейных уравнений второго порядка. Теорема Штурма.

Автономные системы на плоскости. Точки покоя и предельные циклы.

Линейное уравнение Эйлера. Уравнения с голоморфными коэффициентами. Формальные ряды и формальные решения. Существование голоморфных решений. Уравнение Бесселя.

Нелинейные векторные уравнения с голоморфными коэффициентами. Теорема Коши.


Уравнения с частными производными первого порядка

Классификация уравнений с частными производными первого порядка. Линейные и квазилинейные уравнения. Задача Коши и её решение.


Литература



Основная
  1. Богданов Ю.С., Мазаник С.А., Сыроид Ю.Б. Курс дифференциальных уравнений. Мн.: Унiверсiтэцкае, 1996. – 287 с.
  2. Богданов Ю.С., Сыроид Ю.Б. Дифференциальные уравнения. Мн.: Вышэйшая школа, 1983. – 239 с.
  3. Альсевич Л.А., Черенкова Л.П. Практикум по дифференциальным уравнениям. Мн.:, Вышэйшая школа, 1990г. – 318 с.
  4. Альсевич Л.А., Мазаник С.А., Черенкова Л.П. Практикум по дифференциальным уравнениям. Мн.: БГУ, 2000г. – 311 с.


Дополнительная
    1. Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям. Мн.: Вышэйшая шк., 1977г. 240с.
    2. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. – 303 с.
    3. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб: Лань, 2003. – 832 с.
    4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1984г., 295с.
    5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: М.:Наука, 1982. – 332 с.
    6. Тихонов А.Н., Васильев А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1985. – 231 с.
    7. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980г., 352с.
    8. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. Мн.: Вышэйшая шк., 1973г., 560с.
    9. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Мн.: Вышэйшая школа, 1987. – 319 с.
    10. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1992. – 127 с.
    11. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.:Наука, 1976. – 576 с.
    12. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Вышэйшая шк., 1966г., 260с.