Geum.ru

Программа вступительных испытаний по «Математике и методике преподавания математики» Направление подготовки

Вид материалаПрограмма

Содержание


Математический анализ
Методика преподавания математики
II. Специальная методика
4. Примерные вопросы вступительного испытания по
Подобный материал:

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Орловский государственный университет»

Физико-математический факультет


Программа

вступительных испытаний

по «Математике и методике преподавания

математики»


Направление подготовки

050100 педагогическое образование

Квалификация (степень) – «магистр»


Орел, 2011

Содержание

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы, фактор-множество.

Группа. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.

Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.

Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Примеры полей. Упорядоченное поле. Система действительных чисел.

Поле комплексных чисел. Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов.

Следствие системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.

Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Изоморфизмы векторных пространств.

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.

Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной переменной.

Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины периода десятичной дроби.

Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.

Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней полинома с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел полиномы.

Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

ГЕОМЕТРИЯ

Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Приложения к решению задач.

Группа движений плоскости. Классификация движений. Приложения движений к решению задач.

Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Приложения преобразований подобия к решению задач.

Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач.

Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).

Проективная плоскость и ее модели. Группа проективных преобразований. Приложения к решению задач.

Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость.

Плоскость Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Мощность множества. Счетные множества и их свойства. Счётность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел.

Отображения множеств (функции). Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства непрерывных функций на отрезке.

Предел числовой последовательности. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Теорема о пределе монотонной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признак сходимости последовательности.

Определение и свойства степени. Степенная функция. Степень в комплексной области.

Показательная функция; ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Показательная функция комплексной переменной. Формулы Эйлера.

Логарифмическая функция; ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Логарифмическая функция комплексной переменной. Интегральное определение.

Тригонометрические функции; их основные свойства. Разложение синуса и косинуса в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области.

Дифференцируемые функции одной или нескольких действительных переменных. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.

Теорема Лагранжа. Условия постоянства, монотонности и выпуклости функции на промежутке. Экстремумы и точки пе­региба.

Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям.

Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы приближенного вычисления определенных интегралов.

Площади плоской фигуры и длины дуги. Приложения определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины дуги, площади поверхности вращения.

Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и интегральный. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Степенные ряды в комплексной области. Круг сходимости.

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Задача интерполирования. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности.

Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества. Полные метрические пространства. Теорема Банаха о сжимающем отображении и ее приложения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их применение к изучению свободных и вынужденных колебаний.

Производная функции комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции.

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

I. Общая методика

Цели обучения математике общеобразовательной средней школе России: образовательные, воспитательные и развивающие. Анализ программ по математик для I-IV, V-IX и X-XI классов средней школы. Формирование научного мировоззрения учащихся в процессе изучения математики.

Факультативные курсы по математике. Содержание факультативных занятий и методике их проведения (на примере одного из факультативных курсов).

Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике. Ознакомление с методом математической индукции в курсе математики средней школы.

Математические понятия и методика их введения в средней школе. Методика изучения аксиом и теорем. Необходимые и достаточные условия и методика их изучения.

Задачи в обучении математике. Обучение математике через задачи.

Специфика обучения математике в вечерних и заочных школах, профтехучилищах и в сельских малокомплектных школах.

Школы и классы с углубленным изучением математики и специфики их работы.

II. Специальная методика

Методика изучения числовых систем. Методика изучения натуральных чисел. Дробные числа в школьном курсе математики и методика их изучения. Методика введения отрицательных чисел. Методика введения иррациональных чисел.

Методика изучения тождественных преобразований в средней школе: тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений (целых и дробных) и иррациональных алгебраических выражений.

Методика обучения приближенным вычислениям.

Уравнения и неравенства в курсе математики VII-IX и X-XI классов и методика их изучения.

Методика введения понятия функции. Методика изучения линейной и квадратной функций, показательной и логарифмической функций. Взаимно обратные функции. Методика изучения тригонометрических функций в основной школе и в X-XI классах средней школы.

Понятие последовательности и ее предела в школьном курсе математики, в классах и школах с углубленным изучением математики.

Методика ведения понятия производной. Производные элементарных функций. Приложения производной.

Методика введения первообразной и интеграла. Приложения интеграла.

Логические основы курса геометрии средней школы.

Методика изучения геометрических построений в основной школе.

Равенство и перемещения на плоскости и в пространстве. Методика изучения векторов в средней школе. Методика изучения подобия и гомотетии на плоскости и в пространстве.

Методика изучения стереометрического материала в основной (9-летней) школе.

Методика изучения первых разделов систематического курса стереометрии.

Методика изучения параллельности прямых и плоскостей в пространстве.

Методики решения стереометрических задач.

Методика изучения скалярных величин в школьном курсе математики (длина отрезка, величина угла, угловая величина дуги, площадь фигуры, объем тела).

4. Примерные вопросы вступительного испытания по

«Математике и методике преподавания математики»

Математический анализ
  1. Тригонометрические функции; их основные свойства. Разложение синуса и косинуса в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области.
  2. Теорема Лагранжа. Условие постоянства и монотонности функции на промежутке.
  3. Отображение множеств (функции). Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства непрерывных функций на отрезке.
  4. Мощность множества. Счетные множества и их свойства. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел.
  5. Предел числовой последовательности. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Теорема о пределе монотонной последовательности.
  6. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям.
  7. Площадь плоской фигуры. Приложение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объема тела вращения и поверхности вращения.
  8. Дифференцируемые функции одной и нескольких действительных переменных. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
  9. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.
  10. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
  11. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Алгебра и теория чисел
  1. Поле. Упорядоченное поле. Система действительных чисел.
  2. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
  3. Равносильность систем линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
  4. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы, фактор-множество.
  5. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.
  6. Линейные сравнения с одной переменной.
  7. Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Примеры полей.
  8. Основные свойства сравнений. Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости.
  9. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
  10. Следствие системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений.
  11. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.
  12. НОД и НОК чисел.

Геометрия

  1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
  2. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, её непротиворечивость.
  3. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости в пространстве (в аналитическом изложении).
  4. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
  5. Позиционные задачи.
  6. Приложение проективной геометрии к решению задач.
  7. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского.
  8. Проективная плоскость и ее модели.
  9. Скалярное и векторное произведения векторов. Смешанное произведение векторов.
  10. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Применение аффинных преобразований к решению задач.
  11. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Методика преподавания математики
  1. Предмет теории и методики обучения математике и его современное состояние как научной дисциплины.
  2. Анализ школьной программы по математике. Учебно-методическое обеспечение предмета.
  3. Научные методы обучения математике: анализ и синтез, сравнение и аналогия, систематизация, обобщение и конкретизация.
  4. Понятие и его объем. Методика введения и формирование понятий.
  5. Математические предложения. Теорема. Виды теорем. Методика работы с теоремой.
  6. Задачи в обучении математике. Организация обучения решению математических задач.
  7. Методика изучения числовых систем. Понятие числа в школе. Особенности изучения натуральных чисел.
  8. Методика изучения обыкновенных и десятичных чисел.
  9. Методика изучения действительных чисел в школе.
  10. Понятие тождества. Методика формирования навыков тождественных преобразований.
  11. Методика обучения решению уравнений и неравенств в школе.
  12. Обучение решению задач методом уравнений и их систем.
  13. Роль и значение функций в школьном курсе математики. Понятие функции в математике и в школе. Функциональная пропедевтика.
  14. Методика изучения элементарных функций: линейной, квадратичной, степенной.
  15. Методика изучения показательной и логарифмической функций.
  16. Методика изучения тригонометрических функций.
  17. Методика решения тригонометрических уравнений и неравенств.
  18. Числовые последовательности и прогрессии в школьном курсе математики.
  19. Производная в школе: введение понятия производной и ее приложения.
  20. Первообразная и интеграл в школе: введение данных понятий и их приложение.
  21. Построение школьного курса геометрии. Различные системы аксиом, их методические достоинства и недостатки.
  22. Первые уроки планиметрии. Методика изучения аксиом и теорем. Признаки равенства треугольников.
  23. Векторы и их применение в школьном курсе геометрии.
  24. Координатный метод и его применение в школьном курсе геометрии.
  25. Методика изучения многоугольников в школе.
  26. Первые уроки стереометрии в школе.
  27. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.
  28. Многогранники в школьном курсе стереометрии.
  29. Методика изучения объемов тел в школе.

30. Учебно-методическое обеспечение школьного курса математики.

31. Урок по математике. Основные типы уроков по математике.

32. Выпускные экзамены по математике в 9 и 11 классах.

33. Организация обучения математике в школе. Планирование работы учителя в школе.

34. Методика изучения логарифмической функции.

Литература

Математика
  1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии. М.: Наука, 1989.
  2. Атанасян Л.С. Геометрия. М.: Просвещение, 1983, Ч.I.
  3. Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. М.: Просвещение, 1986, Ч.II.
  4. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. М.: Просвещение, 1974, Ч.I; 1975, Ч.II.
  5. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. М.: Просвещение, 1972, Т.1-2.
  6. Вернер А.Л., Кантор Б.Е, Франгулов С.А. Геометрия. Ч.1. - СПб.: Специальная литература, 1997.
  7. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. - 2-е изд., перераб. – М.: Наука, 1986.
  8. Егоров И.П. Геометрия. М.: Просвещение, 1979.
  9. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1989.
  10. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.
  11. Мишин С.Н. Линии второго порядка. – Орел: изд-во ОГУ, 2009.
  12. Мишин С.Н. Поверхности второго порядка. – Орел: изд-во ОГУ, 2009.
  13. Мищенко А.С, Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2000.
  14. Очан Ю.С., Шнейдер В.Е. Математический анализ. М.: Наука, 1961.
  15. Панюшкин С.В. Аналитическая геометрия. Ч.1. – Орел: изд-во ОГУ, 2010.
  16. Панюшкин С.В. Аналитическая геометрия. Ч.2. – Орел: изд-во ОГУ, 2010.
  17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1978, Т.1-2.
  18. Погорелов А.В. Основания геометрии. М.: Наука, 1968.
  19. Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1973.
  20. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. СПб.: Издательство «Лань», 2004.
  21. Румшинский Л.З. Элементы теории вероятностей. М.: Наука, 1976.
  22. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Просвещение, 1988, Т.1,2.

Методика преподавания математики
  1. Александров А.Д. и др. Геометрия 10-11кл. – М.:Просвещение, 2008.
  2. Алимов Ш.А. Колягин Ю.М. и др. Алгебра. 8 класс. М.: Просвещение, 2009.
  3. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Алгебра. 9 класс. М.: Просвещение, 2010.
  4. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 кл. - М.: Просвещение, 2009.
  5. Виленкин Н.Я., Жохов В.И Математика. 6 класс. - М.: Мнемозина, 2008.
  6. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. Математика. 5 класс. М.: Мнемозина, 2008.
  7. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе. Ростов н/Д.: Феникс, 2005.
  8. Дорофеев Г.В. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение, 2008.
  9. Дорофеев Г.В. Алгебра. 8 класс. М.: Просвещение, 2009.
  10. Дорофеев Г.В. Алгебра. 8 класс. М.: Просвещение, 2009.
  11. Дорофеев Г.В. Математика. 5 класс, 6 класс. М.: Просвещение, 2008.
  12. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс, 6 класс. М.: Мнемозина, 2007.
  13. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. - М.: Просвещение, 2009.
  14. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мерлина Н.И., Мерлин А.В., Савина О.А., Авдеева Т.К., Терентьева Л.П. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Чебоксары: Изд-во Чуваш.ун-та, 2009.
  15. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс. Под ред.С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2010.
  16. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 8 класс. Под ред.С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2010.
  17. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс. Под ред.С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2009.
  18. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Ч. I. 10-11 кл. - М.: Мнемозина, 2010.
  19. Никольский С.М. и др. Алгебра и начала анализа. 10кл., 11 кл. - М.: Просвещение, 2008.
  20. Погорелов А.В. Геометрия 10-11 кл. - М.: Просвещение, 2009.
  21. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. М.: Просвещение, 2009.
  22. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7-9 классы. М.: Просвещение, 2009.
  23. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 10-11 классы. М.: Просвещение, 2009.
  24. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 7-9 классы. М.: Просвещение, 2009.
  25. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. 5-6 классы. М.: Просвещение, 2009.
  26. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики. - Саранск: Тип. «Красн.Окт.», 1999.
  27. Смирнова И.М. Геометрия 10-11.(базовый и профильный уровни). М.: Мнемозина, 2009.
  28. Смирнова И.М. Геометрия 7-9. М.: Мнемозина, 2010.
  29. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 кл. - М.: Дрофа, 2008.