1. Задачи приближения и интерполяции
| Вид материала | Лекции |
- Программа курса лекций, 29.8kb.
- Обзор средств matlab и ToolBox'ов для приближения данных, 622.57kb.
- Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 45.15kb.
- 1 Рубрика: Естественные науки, 633.16kb.
- Отчет по лабораторным работам фтпу 1-21/1, 139.29kb.
- Журнал “Информационные технологии”, 2010г., (в печати), 44.56kb.
- Ю. М. Лазаренко, канд техн наук (руководитель темы), 506.01kb.
- Лекция 1 Среднеквадратичное приближение функции, 58.12kb.
- Информационный бюллетень наноструктуры сверхпроводники фуллерены Том 10, выпуск 15/16, 272.02kb.
- По сниП 03, 29.7kb.
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Кафедра нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математических и естественных наук
Обязательный курс
Объем учебной нагрузки: 70 час. – лекции, 35 час. – лабораторные работы.
Цель курса
Основной целью курса является приобретение базовых знаний по основам методов вычислений; приобретение практических навыков численного решения задач на компьютере, включая программную реализацию и проведение вычислительного эксперимента.
Содержание курса
Тема 1. Задачи приближения и интерполяции.
Постановка задачи интерполяции; интерполяционный многочлен Лагранжа; существование и единственность. Оценка погрешности интерполяционной формулы. Многочлены Чебышева, их свойства. Минимизация остаточного члена погрешности интерполирования.
Тема 2. Разделенные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона.
Разделенные разности. Интерполяционный многочлен Лагранжа в форме Ньютона с разделенными разностями. Интерполяционный многочлен с кратными узлами.
Тема 3. Интерполяция сплайнами.
Сплайны; построение кубического интерполяционного сплайна. Метод прогонки для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей; обоснование метода прогонки. Существование сплайна.
Тема 4. Наилучшее приближение в нормированном пространстве.
Наилучшее приближение в нормированном пространстве; существование наилучшего приближения; наилучшее равномерное приближение; точки чебышевского альтернанса. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве. Полные системы в гильбертовом пространстве; ортогональные многочлены. Метод наименьших квадратов. Дискретный ряд Фурье.
Тема 5. Численное интегрирование.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса; оценка погрешности. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Составные квадратурные формулы; формулы Рунге оценки погрешности и уточнения приближения на сгущающихся сетках. Квадратурные формулы Гаусса.
Тема 6. Численные методы решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задача Коши для ОДУ; метод разложения в ряд Тейлора, метод Эйлера. Методы второго порядка для задачи Коши для ОДУ. Методы Рунге-Кутта. Краевая задача для ОДУ.
Тема 7. Линейные системы. Точные методы.
Линейные системы уравнений; число обусловленности; регуляризация плохо обусловленных систем. Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента; схема Халецкого. Метод квадратного корня.
Тема 8. Линейные системы. Итерационные методы.
Итерационные методы решения линейных систем; метод простой итерации (МПИ); достаточное условие сходимости; теорема о необходимом и достаточном условии сходимости МПИ. 1-я теорема Самарского; метод Зейделя. 2-я теорема Самарского; оптимальный шаг МПИ.
Тема 9. Нелинейные уравнения и системы.
Решение систем нелинейных уравнений; МПИ; теорема о сжимающем отображении. Теорема о достаточном условии сходимости МПИ. Метод Ньютона; теорема сходимости. Методы решения одного уравнения.
Тема 10. Поиск минимума функций.
Поиск минимума функций; стационарные точки; метод градиентного спуска. Метод наискорейшего градиентного спуска; метод наискорейшего градиентного спуска для линейной системы.
Тема 11. Численное решение задач математической физики.
Разностные схемы для уравнения теплопроводности; аппроксимация, устойчивость, сходимость. Методы решения краевых задач для уравнения Пуассона. Понятие о методе конечных элементов. Численные методы решения интегральных уравнений.
Перечень лабораторных работ.
1. Построение многочлена Лагранжа.
2. Построение многочлена Ньютона.
3. Построение сплайна.
4. Применение дискретного ряда Фурье для решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
5. Применение различных квадратурных формул и метода Рунге для вычисления интеграла.
6. Численное решение задачи Коши для ОДУ методом Рунге-Кутта.
7. Численное решение краевой задачи для ОДУ разностным методом.
8. Устойчивое численное решение интегрального уравнения первого рода на примере задачи численного дифференцирования. Решение линейной системы методом Гаусса или Халецкого.
9. Решение линейной системы в предыдущей задаче методом Зейделя.
10. Численное нахождение локального минимума функции двух переменных градиентных методом.
Литература
Обязательная
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987.
- Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 2000.
3. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1972.
Дополнительная
1. Самарский А.А. Введение в численные методы. - СПб.: Издательство «Лань», 2005.
2. Ланеев Е.Б. Методы вычислений. М.: Изд-во РУДН, 2005.
Программа составлена
Ланеев Евгений Борисович,
д.ф.-м.н., доцент,
кафедра нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математических и естественных наук