Geum.ru

Программа курса лекций

Вид материалаПрограмма курса
Подобный материал:

Вычислительный эксперимент и обработка данных

Программа курса лекций
(3 курс, 6 сем., 32 ч., экзамен)


Профессор, д.т.н. Федорук Михаил Петрович
  1. Задачи аппроксимации и интерполяции функций. Интерполяционный полином. Его запись в форме Лагранжа и Ньютона. Интерполяция кубическими сплайнами. Аппроксимация Паде.
  2. Операции численного интегрирования Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса. Операции численного дифференцирования. Метод неопределенных коэффициентов. Операции численного дифференцирования и интегрирования как фильтры. Передаточная функция для операций численного анализа.
  3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Понятие числа обусловленности системы. Метод исключения Гаусса и метод прогонки, как примеры прямых методов. Методы простых итераций, Зейделя, последовательной верхней релаксации. Достаточные и необходимые условия сходимости методов.
  4. Вычисление корней нелинейных уравнений. Методы деления отрезка пополам, хорд, Ньютона, секущих. Метод Ньютона в многомерном случае. Метод инвариантного погружения. Метод нахождения корней комплексного уравнения на основе теоремы Коши о логарифмических вычетах. Методы экспоненциальной квазилинеаризации и Петвиашвили.
  5. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Основные типы задач для ОДУ. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Понятия устойчивости, аппроксимации и сходимости конечно-разностных схем. Многошаговые методы Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона. Метод предиктор-корректор. Жесткие системы ОДУ и методы их решения.
  6. Конечно-разностные методы решения уравнений в частных производных гиперболического, параболического и эллиптического типов. Конечно-разностные схемы для решения одномерного уравнения переноса.
  7. Необходимое спектральное условие устойчивости Неймана. Численная вязкость и численная дисперсия. Теорема Годунова.
  8. Численное решение краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности.
  9. Понятие условной аппроксимации на примере схемы Дюфорта-Франкеля. Двумерное и трехмерное уравнение теплопроводности. Метод расщепления: схемы продольно-поперечной прогонки и Яненко. Прямые и итерационные методы решения уравнений Лапласа и Пуассона.
  10. Методы решения нелинейных уравнений эволюционного типа: уравнения Хопфа, Бюргерса, Кортевега-де-Фриза. Метод расщепления по физическим процессам для решения нелинейного уравнения Шредингера.

Задания

  1. Используя методы Рунге-Кутта и Адамса-Моултона четвертого порядка точности, построить решение типа фундаментального солитона в рамках нелинейного уравнения Шредингера. Сравнить численное и аналитическое решения.
  2. Численно исследовать движение заряженных частиц в скрещенных электрических и магнитных полях.
  3. Используя метод наименьших квадратов, провести интерполяционный полином, аппроксимирующий таблично заданную функцию. Оценить погрешность метода.
  4. На примере распространения фундаментального солитона в рамках нелинейного уравнения Шредингера сравнить конечно-разностные и спектральные методы его решения.
  5. Получить численное решение одномерного уравнения Пуассона для случая Больцмановского распределения плотности заряженных частиц, используя метод экспоненциальной квазилинеаризации.
  6. Построить конечно-разностную схему для нелинейного уравнения Бюргерса и рассмотреть на основе этой схемы эволюцию решения типа “бегущей волны”.

Литература

  1. Мушер С.Л. Вычислительный эксперимент и обработка данных. Методические указания. НГУ, 1991, 56 с.
  2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987, 600 с.
  3. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978, 512 с.
  4. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973, 400 с.
  5. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971, 552 с.
  6. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967, 197 с.
  7. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978, 592 с.
  8. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980, 280 с.
  9. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987, 288 с.
  10. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск. Наука, 1980.