Лекция 1 Среднеквадратичное приближение функции
Вид материала | Лекция |
Содержание1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций. С другой стороны 1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов. |
- Лекция №1 Вычисления в Excel. Формулы и функции, 94.38kb.
- Лекция Производная функции, 30.86kb.
- Лекция 11. Индивидуальный и рыночный спрос, 58.12kb.
- Курс лекций. Лекция Финансы и их функции. План. Сущность финансов и их функции. Роль, 1021.27kb.
- Лекция 1 Лекция Бухгалтерский учет, его сущность и функции в системе управления хозяйствующим, 59.7kb.
- Лекция Виртуальные функции. Дружественные функции, 70.17kb.
- Лекция (4 учебных часа – 2 ч 40 мин) Концепции распределенной обработки в сетевых, 527kb.
- Лекция Дифференцирование функций, 25.58kb.
- Лекция 21. Экстремум функции нескольких переменных, 60.44kb.
- Интерполяция и приближение данных в matlab, 230.62kb.
Лекция 4.
1.5. Среднеквадратичное приближение функции.
Рассмотрим задачу наилучшего среднеквадратичного приближения функции полиномом по системе .
Определение 1.
Обобщенным полиномом порядка m по системе {k} называется линейная комбинация
где Ck – произвольные вещественные коэффициенты.
Задача. Найти полином , наименее уклоняющийся от функции f в метрике L2, т.е. удовлетворяющий условию:
Теорема 1.
Если система линейно независима, то задача наилучшего среднеквадратичного приближения по этой системе однозначно разрешима.
Запишем квадрат расстояния между функцией и полиномом:
(1)
Очевидно, что величина - неотрицательно определенная квадратичная функция переменных , а такая функция достигает минимального значения. Таким образом, решение задачи среднеквадратичного приближения существует.
Докажем единственность решения.
Запишем необходимые условия минимума:
, i=0,…,m.
Вычисляя частные производные по ci выражения (1), получим линейную cистему уравнений:
(2)
Система (2) называется нормальной системой.
Выпишем определитель этой системы
(3)
Определитель системы (3) – так называемый определитель Грама системы . Известно, что если система - линейно независима, то определитель 0 (легко доказывается от противного). Согласно условию теоремы 0 и система (2) имеет единственное решение.
^
1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
Пусть H- гильбертово пространство со скалярным произведением
(1)
Здесь h(x)- так называемая весовая функция, удовлетворяющая условиям:
- h(x)0 на [a,b].
- Если промежуток [a,b]- конечный, то существует и конечен;
Если же [a,b]=(0,+), то должно выполняться условие:
т.е. должны существовать любые моменты весовой функции.
Определение 1.
Для определено скалярное произведение:
(2)
и соответственно норма:
согласно условию (1).
Используя неравенство Коши – Буняковского - Шварца, получаем
Поэтому скалярное произведение существует для
Определение 2.
Расстояние между элементами f и g определяется равенством:
.
Возникает вопрос о том, как понимать нулевой элемент. Если норма , следует ли отсюда, что f=g? Вводится терминология: f=g почти всюду, то есть они могут отличаться в конечном числе точек.
Определение 3.
f и g ортогональны на отрезке [a,b] с весом h(x), если
Если в гильбертовом пространстве взять любую линейно независимую систему , i=0,1,2,…, то ее можно ортогонализировать.
Рассмотрим в качестве примера систему: При конечный набор степенных функций линейно независим, поэтому на базе этой системы можно построить ортогональные полиномы. Известна следующая рекуррентная процедура ортогонализации (процедура Грама - Шмидта):
(3)
Коэффициенты bk+1,j определяются из условий ортогональности:
Последовательно умножая (3) на получаем
(4)
Пример 1.
Пусть h(x)1, [a,b]=[-1,1].
Построить первые три ортогональных полинома по процедуре (3) - (4).
Далее имеем:
,
следовательно,
Действуя, аналогично далее, получаем:
Для системы ортогональных многочленов на отрезке [-1,1] с весом h(x)=1 справедлива формула Родрига:
(5)
Из (5) последовательно получаем:
и т.д.
Получаемые таким образом полиномы называются полиномами Лежандра.
Замечание.
Найденные по процедуре (3) – (4) ортогональные многочлены могут лишь множителями отличаться от тех, которые строятся по явной формуле Родрига (5).
Квадрат нормы у этих полиномов равен:
То есть эти многочлены не нормированы, так как
Для всех классических многочленов существует рекуррентная формула. Для полиномов Лежандра она имеет следующий вид:
(6)
Пусть Рассмотрим среднеквадратичное приближение:
где - среднеквадратичная ошибка аппроксимации,
- отрезок ряда Фурье для функции f(x) по системе ортогональных многочленов {Pk(x)}.
В силу ортогональности многочленов Лежандра, система нормальных уравнений (2) из §1.5 становится диагональной, и ее решение приводит к следующим выражениям для коэффициентов ck:
(7)
При этом
то есть обеспечивается минимум нормы в L2.
Распишем подробно ошибку аппроксимации
(8)
^
С другой стороны
в силу ортогональности.
Подставляя в (8), получим
. (9)
Пример 2.
Пусть f(x)=|x|.
Аппроксимировать f(x) на [-1,1] в среднеквадратичном многочленом второй степени. Вычислить среднеквадратичную ошибку.
Используем ортогональную систему Лежандра:
Коэффициенты ck находим по формуле (7), учитывая вид полиномов Лежандра:
Далее вычисляем среднеквадратичную ошибку по формуле (9):
^
1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- Многочлен Pn(x) ортогонален любому алгебраическому многочлену m-ой степени Mm(x) при m
Mm(x) можно единственным образом представить в виде линейной комбинации многочленов Лежандра:
(10)
Равенство (10) тождественное, поэтому коэффициенты ak единственным образом вычисляются путем приравнивания коэффициентов при старших степенях. Умножая обе части (10) на Pn(x), имеем
в силу ортогональности системы
- Полином Pn(x) имеет на отрезке [-1,1] ровно n действительных и различных корней.
Заметим, что в силу теоремы Гаусса многочлен Pn(x) не может иметь более чем n корней (вообще говоря, комплексных). Пусть Pn(x) имеет меньше, чем n простых действительных корней. Обозначим их По этим точкам построим фундаментальный многочлен
Рассмотрим многочлен: - многочлен степени (k+n), который имеет нули четной кратности. Значит, новый многочлен сохраняет знак при переходе через эти нули, т.е. сохраняет знак на [-1,1]. Отсюда следует, что
Но это противоречит свойству 1, так как Pn(x) обязательно должен быть ортогонален Mk(x).
- Между двумя соседними нулями многочлена Pn(x) лежит ровно один нуль многочлена Pn-1(x).
Доказывается по индукции с помощью рекуррентного соотношения (6).
4. При n- четном многочлен Pn(x) – четная функция от x, при n- нечетном, Pn(x) – нечетная функция от x.