Лекция 1 Среднеквадратичное приближение функции
Вид материала | Лекция |
Содержание1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций. С другой стороны 1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов. |
- Лекция №1 Вычисления в Excel. Формулы и функции, 94.38kb.
- Лекция Производная функции, 30.86kb.
- Лекция 11. Индивидуальный и рыночный спрос, 58.12kb.
- Курс лекций. Лекция Финансы и их функции. План. Сущность финансов и их функции. Роль, 1021.27kb.
- Лекция 1 Лекция Бухгалтерский учет, его сущность и функции в системе управления хозяйствующим, 59.7kb.
- Лекция Виртуальные функции. Дружественные функции, 70.17kb.
- Лекция (4 учебных часа – 2 ч 40 мин) Концепции распределенной обработки в сетевых, 527kb.
- Лекция Дифференцирование функций, 25.58kb.
- Лекция 21. Экстремум функции нескольких переменных, 60.44kb.
- Интерполяция и приближение данных в matlab, 230.62kb.
Лекция 4.
1.5. Среднеквадратичное приближение функции.
Рассмотрим задачу наилучшего среднеквадратичного приближения функции



Определение 1.
Обобщенным полиномом порядка m по системе {k} называется линейная комбинация

где Ck – произвольные вещественные коэффициенты.
Задача. Найти полином


Теорема 1.
Если система



Очевидно, что величина


Докажем единственность решения.
Запишем необходимые условия минимума:

Вычисляя частные производные по ci выражения (1), получим линейную cистему уравнений:

Система (2) называется нормальной системой.
Выпишем определитель этой системы

Определитель системы (3) – так называемый определитель Грама системы





^
1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
Пусть H- гильбертово пространство со скалярным произведением



Здесь h(x)- так называемая весовая функция, удовлетворяющая условиям:
- h(x)0 на [a,b].
- Если промежуток [a,b]- конечный, то
существует и конечен;
Если же [a,b]=(0,+


т.е. должны существовать любые моменты весовой функции.
Определение 1.
Для


и соответственно норма:

согласно условию (1).
Используя неравенство Коши – Буняковского - Шварца, получаем

Поэтому скалярное произведение существует для

Определение 2.
Расстояние между элементами f и g определяется равенством:

Возникает вопрос о том, как понимать нулевой элемент. Если норма

Определение 3.
f и g ортогональны на отрезке [a,b] с весом h(x), если

Если в гильбертовом пространстве взять любую линейно независимую систему

Рассмотрим в качестве примера систему:



Коэффициенты bk+1,j определяются из условий ортогональности:

Последовательно умножая (3) на


Пример 1.
Пусть h(x)1, [a,b]=[-1,1].
Построить первые три ортогональных полинома по процедуре (3) - (4).



следовательно,

Действуя, аналогично далее, получаем:

Для системы ортогональных многочленов на отрезке [-1,1] с весом h(x)=1 справедлива формула Родрига:

Из (5) последовательно получаем:

и т.д.
Получаемые таким образом полиномы называются полиномами Лежандра.

Замечание.
Найденные по процедуре (3) – (4) ортогональные многочлены могут лишь множителями отличаться от тех, которые строятся по явной формуле Родрига (5).
Квадрат нормы у этих полиномов равен:

То есть эти многочлены не нормированы, так как

Для всех классических многочленов существует рекуррентная формула. Для полиномов Лежандра она имеет следующий вид:

Пусть


где


В силу ортогональности многочленов Лежандра, система нормальных уравнений (2) из §1.5 становится диагональной, и ее решение приводит к следующим выражениям для коэффициентов ck:

При этом

то есть обеспечивается минимум нормы в L2.
Распишем подробно ошибку аппроксимации

^
С другой стороны

в силу ортогональности.
Подставляя в (8), получим

Пример 2.
Пусть f(x)=|x|.
Аппроксимировать f(x) на [-1,1] в среднеквадратичном многочленом второй степени. Вычислить среднеквадратичную ошибку.



Коэффициенты ck находим по формуле (7), учитывая вид полиномов Лежандра:

Далее вычисляем среднеквадратичную ошибку по формуле (9):

^
1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- Многочлен Pn(x) ортогонален любому алгебраическому многочлену m-ой степени Mm(x) при m


Равенство (10) тождественное, поэтому коэффициенты ak единственным образом вычисляются путем приравнивания коэффициентов при старших степенях. Умножая обе части (10) на Pn(x), имеем

в силу ортогональности системы

- Полином Pn(x) имеет на отрезке [-1,1] ровно n действительных и различных корней.



Рассмотрим многочлен:




Но это противоречит свойству 1, так как Pn(x) обязательно должен быть ортогонален Mk(x).

- Между двумя соседними нулями многочлена Pn(x) лежит ровно один нуль многочлена Pn-1(x).


4. При n- четном многочлен Pn(x) – четная функция от x, при n- нечетном, Pn(x) – нечетная функция от x.