И. Лакатос Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы

Вид материала

Задача

Содержание б) Смягченное расширение понятий может превратить математическую истину в логическую Чьей рациональности? Я чувствую конвенционалистскую инфильтрацию. Бета

Подобный материал:

• Правила и ошибки возможные при определении. Деление как логическая операция. Виды деления, 23.4kb.
• Тема 1 курс, 30.71kb.
• Содержание: Введение, 134.15kb.
• Программа вступительного экзамена в магистратуру математического факультета, 107.92kb.
• Брянский городской лицей №1 имени А. С. Пушкина Визитная карточка учебного проекта, 50.66kb.
• Программа для поступающих в аспирантуру по специальности 05. 13. 18 Математическое, 37.95kb.
• Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пи­фагора, 42.5kb.
• Применима ли теорема Пифагора к сферическому треугольнику?, 116.8kb.
• Математические утверждения и теоремы, их виды, работа с теоремами. Обоснования и доказательства., 63.84kb.
• Вопросы философии, 2006, №6 Парадигмы, исследовательские программы и ядро раздела науки, 437.91kb.

б) Смягченное расширение понятий может превратить математическую истину в логическую

Тета. Я думаю, что Гамма прав относительно необходи­мости проведения раздельной линии между рациональным и иррациональным расширением понятий. Действительно, расширение понятий зашло слишком далеко и из скромной рациональной деятельности превратилось в радикальную и иррациональную.

Первоначально критика сосредоточивалась исключи­тельно на небольшом расширении одного частного понятия. Оно должно было быть небольшим, чтобы мы не могли его заметить; если бы его действительная — расширяющая — природа была уви­дена, то оно могло не быть принятым как законная крити­ка. Оно сосредоточивается на одном частном поня­тии, как в случае наших несофистических универсальных предложений «Все А суть В». В таком случае критик хочет найти слегка расширенное А (в нашем случае мно­гогранник), которое не будет В (в нашем случае эйлеров).

Но Каппа заострил это в двух направлениях. Во-пер­вых, чтобы подвергнуть расширяющей понятие критике более чем одну составную часть предложения, нахо­дящегося под ударом. Во-вторых, превратить расширение понятий из тайной и даже скромной деятельности в открытое деформирование понятия вроде прев­ращения «все» в «не». Здесь в качестве опровержения принимается любой имеющий смысл перевод терминов атакуемого предложения, который делает теорему ложной. Тогда я сказал бы, что если предложение не может быть опровергнуто в отношении своих составных частей: а, b,.., то оно будет логически истинным для этих составных частей¹⁷⁸. Такое предложение представляет конечный результат длинного критико-спекулятивного процесса, в течение которого смы­словой груз некоторых терминов полностью перенесен на остальные термины и на форму теоремы.

Теперь все, что говорит Каппа, сводится к тому, что не существует предложений, логически истинных для всех их составных частей. Но могут быть предложения, логиче­ски истинные по отношению к некоторым составным частям, так что поток опровержений может быть откры­тым снова, если будут добавлены новые составные части, могущие быть расширенными. Если мы доведем дело до конца, то кончим иррационализмом,— но мы в этом не нуждаемся. Теперь, где же должны мы провести гранич­ную линию? Мы можем допустить расширение понятий только для особо выделенной подгруппы составных частей, которые станут первыми мишенями для критики. Логиче­ская истинность не будет зависеть от их значения.

Сигма. Таким образом, в конце концов мы приняли пункты Каппы: мы сделали истину не зависящей от зна­чения по крайней мере некоторых из терминов!

Тета. Это верно. Но если мы хотим разбить скепти­цизм Каппы и избегнуть его порочных бесконечностей, то мы непременно должны остановить расширение понятий в той точке, где оно перестает быть орудием роста и ста­новится орудием разрушения: может быть, нам придется определить, какими будут термины, значение которых мо­жет быть расширено только за счет уничтожения основных принципов рациональности¹⁷⁹.

Каппа. Можем ли мы расширять понятия в вашей теории критической рациональности? Или будет ли это очевидно истинным, формулированным в не допускающих расширения точных терминах, которые не нуждаются в определении? Не кончится ли ваша теория критицизма «обращением к суду»? Можно ли критиковать все, кроме вашей теории критицизма, вашей «метатеории»¹⁸⁰ ?

Омега (к Эпсилону). Мне нравится этот отход от истины к рациональности. Чьей рациональности? Я чувствую конвенционалистскую инфильтрацию.

Бета. О чем вы говорите? Я понимаю «мягкий обра­зец» Теты расширения понятий. Я также понимаю, что расширение понятий может атаковать более чем один тер­мин: мы видели это, когда Каппа расширял «расширение» или когда Гамма расширял «все»...

Сигма. Но Гамма, конечно, расширял «односвязные»!

Бета. Ну нет. «Односвязные» — это сокращение — он расширил только термин «все», который попался среди определяющих слов¹⁸¹ .

Тета. Вернемся к делу. Вы чувствуете себя несчаст­ными из-за «открытого» радикального расширения поня­тий?

Бета. Да. Никто не захочет принять эту последнюю выпущенную марку за настоящее опровержение! Я хоро­шо вижу, что мягкая расширяющая понятия тенденция эвристического критицизма, раскрытая Пи, представляет наиболее важный двигатель математического роста. Но математики никогда не примут эту последнюю дикорасту­щую форму опровержения!

Учитель. Вы неправы, Бета. Они приняли ее и их принятие было поворотным пунктом в истории мате­матики. Эта революция в математическом критицизме изменила понятие о матема­тической истине, изменила стандарты ма­тематического доказательства, изменила характер математического роста¹⁸². Но те­перь закроем на данный момент нашу дискуссию; об этой новой стадии мы поговорим в другое время.

Сигма. Но ведь ничего не установлено. Мы не можем остановиться теперь.

Учитель. Сочувствую вам. Эта последняя стадия даст важные источники пищи для нашей дискуссии¹⁸³. Но научное исследование «начинается и кончается проб­лемами»¹⁸⁴. (Покидает классную комнату).

Бета. Но вначале у меня не было проблем! А теперь у меня нет ничего, кроме проблем!