И. Лакатос Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы
| Вид материала | Задача |
- Правила и ошибки возможные при определении. Деление как логическая операция. Виды деления, 23.4kb.
- Тема 1 курс, 30.71kb.
- Содержание: Введение, 134.15kb.
- Программа вступительного экзамена в магистратуру математического факультета, 107.92kb.
- Брянский городской лицей №1 имени А. С. Пушкина Визитная карточка учебного проекта, 50.66kb.
- Программа для поступающих в аспирантуру по специальности 05. 13. 18 Математическое, 37.95kb.
- Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора, 42.5kb.
- Применима ли теорема Пифагора к сферическому треугольнику?, 116.8kb.
- Математические утверждения и теоремы, их виды, работа с теоремами. Обоснования и доказательства., 63.84kb.
- Вопросы философии, 2006, №6 Парадигмы, исследовательские программы и ядро раздела науки, 437.91kb.
в) Пересмотр логических и эвристических опровержений
Пи. Позвольте снова обратиться к некоторым выводам, получившимся в связи с дедуктивным угадыванием. Прежде всего возьмем проблему выбора между эвристическими и логическими контрапримерами, вставшую в дискуссии между Альфой и Тетой.
Мое изложение, я думаю, показало, что даже так называемые логические контрапримеры были эвристическими. В первоначальном понимании толкования нет несовместности между
а) все многогранники будут эйлеровыми и
б) картинная рама неэйлерова.
Если мы будем придерживаться молчаливых семантических правил нашего первоначального языка, то наши контрапримеры не будут контрапримерами. Они превратились в логические контрапримеры только от изменения правил языка при расширении понятий.
Гамма. Вы подразумеваете, что все интересные опровержения будут эвристическими?
Пи. Совершенно верно. Вы не можете поместить отдельно, с одной стороны, опровержения и доказательства, а с другой изменения в концептуальной, таксономической и лингвистической системе. Обычно при появлении «контрапримера» вы можете выбирать: или вы отказываетесь заниматься им, так как на вашем данном языке L1 он совсем не контрапример, или вы согласитесь изменить ваш язык при помощи расширения понятия и принять этот контрапример на вашем новом языке L2.
Дзета ...и объяснить его на L3!
Пи. В соответствии с традиционной, не меняющейся рациональностью вы должны сделать первый выбор. Наука учит нас выбирать второй.
Гамма. Иначе мы можем иметь два утверждения, которые совместны на L1, но мы переключаемся на L2, где они несовместны. Или мы можем иметь два утверждения, несовместные на L1, но мы переключаемся на L2, где они совместны. По мере роста знания меняются языки. «Каждый творческий период является одновременно периодом изменения языка»161. Рост знания нельзя промоделировать на любом заданном языке.
Пи. Это верно. Лингвистика занимается динамикой языка, а логика только его статикой.
г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом
Гамма. Вы обещали вернуться к вопросу, может или нет дедуктивное угадывание дать непрерывное изображение роста знания.
Пи. Позвольте мне сначала очертить некоторые из многочисленных исторических форм, которые может принять эта эвристическая картина.
Первое основное изображение получается, когда наивное расширение понятий намного обгоняет теорию и производит большой хаос контрапримеров: наши наивные понятия ослабляются, но теоретические понятия не заменяют их. В этом случае дедуктивное угадывание может — постепенно — справиться с залежами контрапримеров. Это будет, если хотите, непрерывное «обобщающее» изображение. Но не забывайте, что оно начинает с опровержений, что его непрерывность представляет постепенное объяснение растущей теории эвристических опровержений ее первой версии.
Гамма. Или «непрерывный» рост только указывает, что опровержения далеко впереди!
Пи. Это верно. Но может случиться, что каждое отдельное опровержение, или распространение наивных понятий, непосредственно влечет за собой распространение теории (и теоретических понятий), которые объясняют контрапример; тогда «непрерывность» уступает место возбуждающему чередованию опровержений, расширяющих понятия, и еще более мощных теорий, наивных расширений понятий и объяснительных теоретических расширений понятий.
Сигма. Две случайные исторические вариации на ту же самую эвристическую тему!
Пи. Ну, в действительности между ними не так уже много различия. В них обоих сила теории лежит в способности объяснить опровержения в процессе роста. Но есть еще второе основное изображение дедуктивного угадывания.
Сигма. Еще другая случайная вариация?
Пи. Да, если хотите. Однако в этой вариации растущая теория не только объясняет, но и производит ее опровержения.
Сигма. Что?
Пи. В этом случае теоретический рост обгоняет — и, конечно, исключает — наивное расширение понятий. Например, кто-нибудь начинает, скажем, с теоремы Коши без единого контрапримера на горизонте. Затем испытывают эту теорему, преобразуя многогранник всеми возможными способами: разрезая пополам, отрезая пирамидальные углы, сгибая, растягивая, раздувая... Некоторые из этих идей-испытаний приведут к идеям-доказательствам162 (если мы получим результат, о котором уже было известно, что он верен, и затем: повернем назад, т. е. будем следовать папповой картине анализа-синтеза), но некоторые — вроде «испытания двойным склеиванием» Дзеты — приведут нас не назад к чему-либо уже известному, но к действительной новости, к какому-нибудь эвристическому опровержению испытываемого предложения — не при помощи расширения наивного понятия, а путем расширения теоретической системы. Такое опровержение само себя объясняет...
Йота. Как в диалектике! Испытания превращаются в доказательства, контрапримеры становятся примерами по самому методу их построения...
Пи. Почему диалектика? Испытания одного предложения превращаются в доказательство другого более глубокого предложения, контрапримеры первого в примеры второго. Зачем смещение называть диалектикой? Но позвольте вернуться к моей точке зрения: я не думаю, что мою вторую основную картину дедуктивного угадывания можно рассматривать — как хотел бы Альфа — как непрерывный рост знания.
Альфа. Конечно, так можно. Сравните наш метод с идеей Омеги о замене одной идеи доказательства другой, радикально отличной, более глубокой. Оба метода увеличивают содержание, но в то время как в методе Омеги операции доказательства, применимые в узкой области, заменяются операциями, применимыми в более широкой области, или более радикально, все доказательство заменяется другим, применимым в более широкой области, — дедуктивное угадывание расширяет данное доказательство добавлением операций, расширяющих его приложимость. Разве это не непрерывность?
Сигма. Это верно! Из данной теоремы мы выводим цепь еще более широких теорем! Из частного случая все более и более общие случаи! Обобщение путем дедукции163!
Пи. Но насытившись контрапримерами, вы когда-то признали, что любое увеличение содержания, любое более глубокое доказательство впереди себя имеет или порождает эвристические опровержения предшествующих более бедных теорем...
Альфа. Тета распространял понятие «контрапример», чтобы покрыть эвристические контрапримеры. Вы теперь распространяете его, чтобы покрыть эвристические контрапримеры, которые никогда реально не существуют. Вы считаете, что ваша «вторая картина» полна контрапримерами и основана на распространении понятия контрапримера на контрапримеры с нулевой продолжительностью жизни, открытие которых совпадает с их объяснением! Но почему всякая интеллектуальная активность, всякая борьба за увеличение содержания в объединенной теоретической системе должна быть «критической»? Ваша догматическая «критическая позиция» затемняет исход!
Учитель. Исход спора между вами и Пи безусловно темен, потому что ваш «непрерывный рост» и «критический рост» Пи вполне совместимы. Я более интересуюсь ограничениями, если такие имеются, дедуктивного угадывании или «непрерывного критицизма».