И. Лакатос Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы

Вид материалаЗадача

Содержание


б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям
Все магист­ральные многогранники будут эйлеровыми
в) Различные доказательства дают различные теоремы
Подобный материал:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   25

б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям



Омега. Вы критиковали анализы доказательства за крушение обратной передачи ложности при помощи контрапримеров третьего типа. Теперь я критикую их за крушение передачи ложности (или, что то же самое, обратной передачи истины) при помощи контра­примеров второго типа. Доказательство должно объяс­нить явление эйлеровостн в полном его объеме.

Мои поиски имеют целью не только верность, но также и окончательность. Теорема должна быть верной — не должно быть никаких контрапримеров внутри ее обла­сти; но она также должна быть окончательной; не должно быть никаких контрапримеров вне ее области. Я хочу провести граничную линию между примерами и контрапримерами, а совсем не между, с одной стороны, бе­зопасной областью с небольшим числом примеров, а, с дру­гой стороны, с мешком, содержащим смесь примеров и контрапримеров.

Ламбда. Итак, вы хотите, чтобы условия теоремы были не только достаточными, но также и необходимыми!

Каппа. Вообразим в целях доказательства, что вы нашли такую магистральную теорему. « Все магист­ральные многогранники будут эйлеровыми». Понимаете ли вы, что эта теорема будет «окончатель­ной» только в том случае, если будет верной обратная тео­рема: «Все эйлеровы многогранники будут магистральными многогранниками»?

Омега. Конечно.

Каппа. Значит ли это, что если в порочной бесконеч­ности потеряется верность, то будет потеряна также и окончательность? Вы должны находить по крайней мере по одному эйлерову многограннику вне области каждого из ваших все более глубоких доказательств.

Омега. Конечно, я знаю, что не могу решить пробле­му окончательности, не решив проблемы верности. Я уве­рен, что мы решим обе. Мы остановим бесконечный поток контрапримеров как первого, так и третьего типа.

Учитель. Ваши поиски увеличивающегося содержа­ния очень важны. Но почему не признать ваш второй кри­терий удовлетворительности — окончательность — лишь желательным, но не обязательным? Почему отвергать интересные доказательства, не содержащие сразу достаточных и необходимых условий? Почему рассматри­вать их как опровергнутые?

Омега. Ну...110

Ламбда. Во всяком случае Омега вполне убедил ме­ня, что единственное доказательство может быть недоста­точным для критического улучшения наивной догадки. Наш метод должен заключать радикальную формулировку Правила 4, и тогда он должен быть назван методом «доказательств и опровержений» вместо «доказательства и опровержений».

Мю. Извините мое вмешательство. Результаты вашей дискуссии я как раз перевел в квазитопологические тер­мины. Метод включения лемм дал сужающуюся последо­вательность найденных областей постепенно ис­правляемых теорем: в процессе появления скры­тых лемм эти области сокращались под непрерывной ата­кой глобальных контрапримеров и стремились к некото­рому пределу; назовем этот предел «областью ана­лиза доказательств». Если мы применяем более слабую формулировку Правила 4, то эта область может быть расширена под продолжающимся давлением локаль­ных контрапримеров. Эта расширяющаяся последователь­ность будет тоже иметь предел; я назову его «областью доказательства». Дискуссия показала, что даже и эта область может быть очень узкой (возможно, даже пустой). Нам придется придумывать более глубокие доказательства, области которых составят расширяющуюся последовательность, включаю­щую все более и более упорствующие эйлеровы многогран­ники, бывшие локальными контрапримерами для предшест­вующих доказательств. Эти области, являющиеся и сами предельными областями, будут сходиться к двойному пре­делу— «области наивной догадки», — которая является целью исследования.

Топология этого эвристического пространства является проблемой математической философии: если последова­тельности бесконечны, то будут ли они вообще сходиться, стремиться к пределу, может ли предел быть пустым мно­жеством?

Эпсилон. Я нашел более глубокое доказательство, чем у Коши, которое объясняет также эйлеровость «боль­шого звездчатого додекаэдра»! (Передает записку Учи­телю.)

Омега. Окончательное доказательство! Теперь будет раскрыта истинная сущность эйлеровсти!

Учитель. Я очень жалею, но время истекает: мы обсудим крайне утонченное доказательство Эпсилона как-нибудь в другое время111. Все, что я вижу, сво­дится к тому, что оно не будет окончательным в смысле Омеги. Не правда ли, Бета?


в) Различные доказательства дают различные теоремы



Бета. Наиболее интересная вещь, которую я уяснил из этой дискуссии, заключается в том, что различные доказа­тельства той же самой наивной догадки приводят к раз­личным теоремам. Единственная догадка Декарта — Эйлера исправляется каждым доказа­тельством в отдельную теорему. Наше первона­чальное доказательство дало: «Все многогранники Коши суть эйлеровы». Теперь мы узнали кое-что о двух совер­шенно различных теоремах: «Все многогранники Жергонна суть эйлеровы» и «Все многогран­ники Лежандра суть эйлеровы». Три доказательства и три теоремы с одним общим предком112. Обычное выражение «различные доказательства теоремы Эйлера» будет тогда не совсем правильным, так как оно скрывает жизненную роль доказательства в обра­зовании теорем113 .

Пи. Разница между различными доказательствами лежит гораздо глубже. Только наивная догадка относится к многогранникам. Теоремы касаются соответственно объ­ектов Коши, жергонновых и лежандровых, - но никоим об­разом не многогранников.

Бета. Вы пытаетесь шутить?

Пи. Нет, я объясню мою точку зрения. Но я сделаю это в более широком контексте — я хочу обсудить вообще формирование понятий.

Дзета. Лучше бы сначала обсудить содержание. Я нахожу Правило 4 Омеги очень слабым — даже в его радикальной формулировке114.

Учитель. Правильно. Давайте послушаем сначала о том, как Дзета подходит к проблеме содержания, а затем откроем наши дебаты дискуссией об образовании понятий.