Учебно-методический комплекс дисциплины: «Математика» утверждаю

Вид материала

Содержание

Папаскири Т.В.
4.1 Структура преподавания дисциплины
4.2 Содержание дисциплины
4.2.2 Темы практических занятий, их содержание и объем в часах
4.2.3. Организация самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
5. Образовательные технологии
6.1 Контрольные вопросы и задания для промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
8. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО, с учетом рекомендаций ПрООП ВПО и профилем подготовки

Подобный материал:

1 2

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

«Государственный университет по землеустройству»

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Кафедра Высшей математики и физики

Учебно-методический комплекс дисциплины: «Математика»

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по УР Широкорад И.И.

(подпись)

« » 20 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «Математика»

Специальность 080502.65 «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)»

код ОКСО наименование

Факультет Землеустройство

очная

Курс обучения 1,2

Семестр 1.2,3,4

Всего часов по учебному плану: 600

В том числе по видам учебной работы и формам обучения:

очная /заочная

- лекции 136/ 36

- практические занятия 164/ 44

- индивидуальные занятия __________/__________

- расчетно-графическая работа /

- самостоятельная работа 300/ 520

Форма итогового контроля знаний:

экзамен __ 1, 3

зачет 2, 4.

Москва 2009

Рабочая программа разработана с учетом требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по

специальности 080502.65 «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)»

(код ОКСО) (наименование)

и учебного плана ГУЗ по указанной специальности.

Индекс дисциплины (положение дисциплины в учебном плане) ОПД.Ф.20.

Разработчик к.ф-м.н., доцент Кузнецова Н А.

Рабочая программа рассмотрена на заседании кафедры высшей математики и физики

Протокол № 1 от 28.08 2009г.

Заведующий кафедрой д.ф-м.н., проф.Соловьев И.А.

(Ф.И.О., ученая степень, звание) (подпись)

Одобрена и рекомендована к использованию в учебном процессе методической комиссией факультета

Протокол № от 2009г.

Председатель методической

комиссии Папаскири Т.В.

(Ф.И.О.) (подпись)

Согласовано:

Начальник УМУ ГУЗ

Комарова В.К.

(Ф.И.О.) (подпись) (дата)

4. Структура и содержание дисциплины

4. Структура и содержание дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины «Математика» составляет 14 зачетных единиц, 600 часов.

4.1 Структура преподавания дисциплины

№ п/п	Раздел дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)			Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
№ п/п	Раздел дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Лекции	ПЗ	СР
1	Линейная алгебра и аналитическая геометрия.	1	1-8	16	16	32	Контрольная работа, расчётно-графическая работа
2	Введение в функциональный анализ.	3	3	2	2	4	Контрольная работа
3	Введение в математический анализ.	1	9	2	2	4	Контрольная работа, расчётно-графическая работа
4	Дифференциальное исчисление функций одного независимого переменного.	1	10-17	16	16	32	Контрольная работа, расчётно-графическая работа
5	Неопределенные и определенные интегралы. Несобственные интегралы.	2	1-5	10	16	28	Контрольная работа, расчётно-графическая работа
6	Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных.	2	6-11	12	16	26	Контрольная работа, расчётно-графическая работа
7	Числовые и функциональные ряды.	2,3	12-17, 1-2	16	22	34	Контрольная работа, расчётно-графическая работа
8	Комплексные числа и функции комплексного переменного.	3	4-6	6	8	14	Контрольная работа, расчётно-графическая работа
9	Обыкновенные дифференциальные уравнения	3	7-14	16	28	44	Контрольная работа, расчётно-графическая работа
11	Теория вероятностей и математическая статистика.	3,4	15-17, 1-9	24	24	50	Контрольная работа, расчётно-графическая работа
12	Численные методы	4	10-17	16	16	32	Контрольная работа, расчётно-графическая работа
	Промежуточная аттестация	1, 3 2,4	19,20				Экзамен зачёт
ИТОГО:				136	164	300

4.2 Содержание дисциплины

4.2.1 Наименование тем, их содержание, объем в часах

1 семестр( 34/34)

4.2.1.1.Матрицы и действия над ними. Определители n-го порядка и их свойства. Способы вычисления определителей.(2 часа). ([1] гл.10 §2).

4.2.1.2. Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Обратная матрица. Матричный метод решения систем квадратных линейных алгебраических уравнений. (2 часа). ([1] гл.10 §§3-4).

4.2.1.3. Метод Гаусса. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений. Собственные значения и собственные векторы матрицы (2 часа). ([1] гл.10 §§3-4).

4.2.1.4. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Норма вектора в евклидовом пространстве. Линейная зависимость и независимость векторов. Элементы скалярного поля. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение векторов и его свойства.(2 часа). ([1] гл.9 §§5-7).

4.2.1.5. Смешанное произведение векторов. Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов в координатной форме. (2 часа). ([1] гл.9 §8).

4.2.1.6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости и расстояния от точки до прямой и плоскости в пространстве. Полярная система координат. (2 часа). ([1] гл.9 §§11-13).

4.2.1.7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. (2 часа). ([1] гл.9 §§11-13)

4.2.1.8. Кривые второго порядка, определения и канонические уравнения в декартовой системе координат. (2 часа). ([1] гл.10).

4.2.1.9 . Понятие окрестности точки. Функциональная зависимость. Графики основных элементарных функций Предел числовой последовательности. Свойства числовых последовательностей. (2 часа).

4.2.1.10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Символика Эквивалентные бесконечно малые функции. Предел функции и его свойства. Односторонние пределы. Вычисление пределов с помощью таблицы основных эквивалентных бесконечно малых функций. Первый и второй замечательные пределы. (2 часа). ([1] гл.4 §§1-2).

4.2.1.11. Понятие непрерывности в точке. Определения разрывов первого и второго родов. Непрерывность функций. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, достижимость наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. Асимптоты к графикам функций и способы их нахождения (2 часа). ([1] гл.4 §7).

4.2.1.12. Производная функции в точке. Геометрический смысл производной. Физический смысл первой производной. Производная суммы, разности, произведения и отношения функций. Таблица производных основных элементарных функций (без вывода). (2 часа). ([1] гл.5 §§1-2).

4.2.1.13. Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная неявной функции. Первый дифференциал и его геометрический смысл. Дифференциал суммы, разности, произведения и отношения функций. Непрерывность функции, имеющей производную. Производные и дифференциалы высших порядков и их свойства. (2 часа). ([1] гл.5 §§3-10).

4.2.1.14. Теоремы о средних значениях дифференцируемых функций; теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Пеано. Таблица разложений основных элементарных функций по формуле Маклорена. (2 часа). ([1] гл.6 §§1-3).

4.2.1.15. Критерий монотонности дифференцируемых функций. Необходимое и достаточное условие экстремума. Критические точки первого рода. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. (2 часа) ([1] гл.6 §4).

4.2.1.16. Определение выпуклости и вогнутости, точек перегиба. Применение второй производной к нахождению интервалов выпуклости. Критические точки второго рода. (2 часа). ([1] гл.6 §4).

4.2.1.17. Асимптоты к графикам функций и способы их нахождения. Общая схема исследования функций и построения графиков. (2 часа). ([1] гл.6 §4).

2 семестр(34/48 часа)

4.2.1.18. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой. (2 часа). ([1] гл.7 §§1-3).

4.2.1.19. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложение на простейшие дроби. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. (2 часа). ([1] гл.7 §6).

4.2.1.20. Определение и основные свойства определенного интеграла. Производная по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. (2 часа). ([1] гл.8 §§1,2,7).

4.2.1.21. Вычисление определенных интегралов методами замены переменной и по частям. Приложение определенных интегралов. (4 часа). ([1] гл.8 §§8-10).

4.2.1.22. Несобственные интегралы. Основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости. (2 часа). ([1] гл.8 §11).

4.2.1.23. Область определения, предел и непрерывность функции нескольких переменных. (2 часа). ([1] гл.11 §§1-4).

4.2.1.24. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости. Полный дифференциал. Геометрический смысл полного дифференциала. (2 часа). ([1] гл.12 §§1-3).

4.2.1.25. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Градиент. Производная по направлению. (2 часа). ([1] гл.12 §§4-5).

4.2.1.26. Частные производные и дифференциалы высших порядков.(2 часа). ([1] гл.12 §§6,7).

4.2.1.27. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия. (2 часа) ([1] гл.12 §8).

4.2.1.28. Условный экстремум. Функция Лагранжа. (2 часа). ([1] гл.12 §8).

4.2.1.29. Числовые последовательности. Понятие числового ряда. Частичные суммы. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости. (2 часа). ([1] гл.14 §1).

4.2.1.30. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения («эталонные» ряды); радикальный признак Коши; признак Даламбера; интегральный признак Коши-Маклорена. (4 часа). ([1] гл.14 §2).

4.2.1.31. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. (2 часа). ([1] гл.14 §3).

4.2.1.32. Функциональные ряды. Степенные ряды. Лемма Абеля. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда. Простейшие способы нахождения радиуса сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. (2 часа). ([1] гл.14 §5).

3 семестр(34/48)

4.2.1.33. Разложение функций в ряд Маклорена. (1 час). ([1] гл.14 §6).

4.2.1.34. Периодические функции. Гармонические колебания. Элементы гармонического анализа. Ряды Фурье. Теорема Дирихле. (3 часа). ([1] гл.14 §7).

4.2.1.35. Элементы алгебры логики высказываний. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность). Мера множества. Основные алгебраические структуры (кольца, поля, группы). Свойства бинарных операций (замкнутость, коммутативность, ассоциативность). Дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквивалентность. Законы де Моргана. (2 часа). Отображение множеств.([9] гл.1 §5).

4.2.1.36 Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Корень n-ой степени из комплексного числа. Основная теорема алгебры. Разложимость многочлена n-ой степени в произведение линейных множителей. (2 часа). ([1] гл.14 §6).

4.2.1.37. Функции комплексного переменного. Основные элементарные функции комплексного переменного. Дифференцирование функций комплексного переменного. (2 часа). ([2] часть 3 гл.3 §§7–12).

4.2.1.38. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка (О.Д.У). Частное, общее особое решения. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Понятие о теореме существования и единственности решения задачи Коши для уравнений первого порядка.(2 часа). ([1] гл.13 §§5, 6).

4.2.1.39. Некоторые типы интегрируемых уравнений первого порядка. Интегрирование уравнений с разделяющимися переменными. (2 часа). ([1] гл.15 §1, [2] часть 3 гл.4 §§1,2).

4.2.1.40. Однородные и приводящиеся к ним типы уравнений первого порядка. (2 часа). ([1] гл.15 §1, [2] часть 3 гл.4 §2).

4.2.1.41. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Метод Бернулли. Уравнения Бернулли.(2 часа) ([2] часть 3 гл.4 §§1,2).

4.2.1.42. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. (2 часа) ([2] часть 3 гл.4 §§1,2).

4.2.1.43. Понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях высших порядков. Постановка задачи Коши для ОДУ второго порядка. Общее решение ОДУ второго порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши для ОДУ второго порядка. Некоторые частные виды ОДУ второго порядка, решаемые в квадратурах. Понижение порядка. (2 часа). ([1] гл.15 §2, [2] часть 3 гл.4 §3).

4.2.1.44. Общие свойства линейных дифференциальных уравнений n-ого порядка. Фундаментальная система решений однородного решения. Определитель Вронского. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Отыскание частных решений линейных ОДУ методом Лагранжа на примере уравнений второго порядка. (2 часа). ([1] гл.15 §§3,4, [2] часть 3 гл.4 §3).

4.2.1.45. Линейные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом подбора по правой части. (2часа). ([1] гл.15 §4, [2] часть 3 гл.4 §3).

4.2.1.46. Нормальные системы ОДУ первого порядка. Частные интегралы, интегрируемые комбинации. Линейные системы ОДУ первого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Особые точки линейных систем с постоянными коэффициентами на примере системы из двух уравнений. Фазовые траектории. Устойчивость решений линейных систем с постоянными коэффициентами. (2 часа). ([2] часть 3 гл.4 §§4,5).

4.2.1.47. Ориентированные графы. Полный путь. Основные понятия комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания). (2 часа). ([4] гл.1 §§1-3).

4.2.1.48. Основные понятия теории вероятностей. Алгебра случайных событий. Относительная частота. Классическое определение вероятности. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей. (2 часа). ([4] гл.2 §1).

4.2.1.49. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. (2 часа). ([4] гл.3 §§1-2).

4 семестр(34/34)

4.2.1.50. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. (1 час). ([4] гл.4 §§2-3).

4.2.1.51. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Асимптотические формулы Лапласа и Пуассона.(1 час). ([4] гл.5 §§1-3).

4.2.1.52. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. (2 часа). ([4] гл.6-7).

4. 2.1.53. Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей. Плотность распределения вероятностей. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Равномерное, показательное и нормальное распределение непрерывных случайных величин.(2 часа). ([4] гл.8).

4.2.1.54. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. (1 час). ([4] гл.12).

4.2.1.55. Элементы математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Эмпирическая функция распределения. Полигон, гистограмма, мода и медиана.(2 часа). ([4] гл.9).

4.2.1.56. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок. (2 часа). ([4] гл.15).

4.2.1.57. Понятие о доверительных интервалах. Интервальные оценки параметров нормального распределения.. (2 часа). ([4] гл.16).

4.2.1.58. Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона.(3 часа). ([4] гл.16).

4.2.1.59. Элементы корреляционного анализа. Введение в случайные процессы (2 часа). ([4] гл.10).

4.2.1.60. Абсолютная и относительная погрешности. Значащие цифры и верные знаки приближенного числа. Прямая и обратная задачи теории погрешностей. Особенности машинной арифметики. (1 час). ([11] гл.2 §§2.1-2.6).

4.2.1.61. Решение нелинейных уравнений. Теорема о существовании и единственного корня уравнения на отрезке. Способы локализации корней. Интервал неопределенности корня и способ его оценки. Обусловленность задачи о нахождении корня уравнения. Способ определение числа обусловленности корня нелинейного уравнения по отношению к параметру уравнения. (1 час). ([11] гл.4 §§4.1-4.2).

4.2.1.62. Методы уточнения корней нелинейного уравнения и их вычислительные особенности: скорость сходимости, априорная оценка числа итераций, трудоемкость, критерий окончания итерационного процесса. Методы бисекции, простых итераций и Ньютона. (2 часа). ([11] гл.4 §§4.2-4.8).

4.2.1.63. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Норма вектора и норма матрицы. Теоремы об обусловленности решений СЛАУ. (2 часа). ([11] гл.5 §§5.1-5.4).

4.2.1.64. Прямые методы решения СЛАУ и их вычислительные особенности: метод Гаусса с выбором главного элемента, метод прогонки для СЛАУ с трехдиагнальной матрицей. (2 часа). ([11] гл.5 §§5.5, 5.9).

4.2.1.65. Метод наименьших квадратов (МНК). Варианты постановок задач об обработке экспериментальных данных по методу наименьших квадратов. Вывод системы нормальных уравнений. Линеаризация нелинейных зависимостей целью использования линейного МНК. (2 часа). ([11] гл.11 §§11.2-11.4, 11.13).

4.2.1.66. Численное интегрирование. Простые и составные формулы численного интегрирования. Погрешность усечения и вычислительная погрешность. Полная погрешность. Порядок точности метода. Оптимальный шаг интегрирования. Правило Рунге и численный критерий его применимости. Автоматический выбор шага интегрирования. (2 часа). ([11] гл.13 §§13.1, 13.2).

4.2.1.67. Численное дифференцирование. Формулы численного дифференцирования: левая, правая и центральные разностные производные первого порядка. Вторая разностная производная. Погрешность усечения и вычислительная погрешность. Полная погрешность. Порядок точности формулы численного дифференцирования. Оптимальный шаг численного дифференцирования. (2 часа). ([11] гл.13 §§13.4, 13.5).

4.2.1.68. Численное решение задачи Коши. Явный и неявный методы Эйлера. Локальная и глобальная погрешности дискретизации. Вычислительная погрешность. Полная погрешность. Порядок точности метода. Правило Рунге и численный критерий его применимости. Автоматический выбор шага численного интегрирования дифференциального уравнения. (2 часа). ([11] гл.14 §§14.1,14.2, 14.4, 14.8).

4.2.2 Темы практических занятий, их содержание и объем в часах

Цель практических занятий – закрепить и расширить знания, полученные на лекциях, а также – в результате самостоятельной проработки отдельных разделов курса, привить студентам навыки в решении задач, связанных с применением математического аппарата. Тематика практических занятий соответствует планам лекций и разделам курса, изучаемых студентами самостоятельно.

1 семестр

4.2.2.1. Матрицы. Сложение и вычитание матриц. Умножение матрицы на число. Произведения матриц. Определители первого, второго и третьего порядков и способы их вычислений. (2 часа). ([2] гл.7 §1).

4.2.2.2. Определители n-го порядка и их свойства. Способы вычисления определителей. Квадратные системы. Правило Крамера. (2 часа). ([2] гл.7 §2).

4.2.2.3. Обратная матрица. Матричный метод решения систем квадратных линейных алгебраических уравнений. (2 часа). ([2] гл.7 §2).

4.2.2.3. Метод Гаусса. Линейно зависимые и линейно независимые столбцы матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений. (2 часа). ([2] гл.7 §2).

4.2.2.4. Действия с векторами: сложение, вычитание, умножение на число, скалярное произведение векторов. (2 часа). ([2] часть1 гл.2 §6).

4.2.2.5. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Коллинеарные, ортогональные и компланарные векторы. Геометрические приложения векторного и смешанного произведений. (2 часа). ([2] часть1 гл.2 §7).

4.2.2.6. Прямая линия на плоскости и в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (2 часа). ([2] часть 1 гл.3 §§1,2).

4.2.2.7. Контрольная работа 1. (2 часа).

4.2.2.8. Предел функции и его геометрический смысл. Односторонние пределы. Свойства пределов функций. Сравнение бесконечно малых функций. Символика. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Вычисление пределов с помощью таблицы основных эквивалентных бесконечно малых функций. Первый и второй замечательные пределы. (2 часа). ([2] часть1 гл54 §7).

4.2.2.9. Понятие непрерывности в точке. Определения разрывов первого и второго порядков. Устранимые разрывы. Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, достижимость наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. (2 часа). ([2]часть 1 гл.5 §7).

4.2.2.10. Производная функции в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Физический смысл первой производной. Непрерывность функции, имеющей производную. Нахождение производной суммы, разности, произведения и отношения функций с использованием таблицы производных основных элементарных функций. (2 часа) ([2] часть1 гл.6 §§1,2).

4.2.2.11. Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная неявной функции. Первый дифференциал и его геометрический. (1 час). ([2] часть1гл.6 §3).

4.2.2.12. Дифференциал суммы, разности, произведения и отношения функций. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков и их свойства. (1 час). ([2] часть1 гл.6 §7).

4.2.2.13. Правило Лопиталя.(2 часа). ([2] часть1 гл.6 §9).

4.2.2.14. Контрольная работа 2. (2 часа).

4.2.2.15. Критерий монотонности дифференцируемых функций. Необходимое и достаточное условие экстремума. Критические точки первого рода. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Определение выпуклости и вогнутости, точек перегиба. Применение второй производной к нахождению интервалов выпуклости. Критические точки второго рода. (2 часа). ([2] гл.5 §7).

4.2.2.16. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций и построения графиков. (2 часа). ([2] часть 1гл.6 §15).

4.2.2.17. Защита расчетных заданий. (2 часа).

2 семестр

4.2.2.18. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой. (4 часа). ([2] часть2 гл.1 §1,2).

4.2.2.19. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложение на простейшие дроби. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. (4 часа). ([2] часть2 гл.1 §3).

4.2.2.20. Определение и основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов методами замены переменной и по частям. (4 часа). ([2] часть 2 гл.2 §1,2).

4.2.2.21. Применение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов и площадей поверхностей вращения. (4 часа). ([2] часть 2 гл.2 §4,5).

4.2.2.22. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. (2 часа). ([2] часть2 гл.1 §3).

4.2.2.23. Контрольная работа 1. (2 часа).

4.2.2.24. Функции нескольких переменных. Предел. Основные теоремы о непрерывных функциях. (2 часа). ([2] часть 2 гл.3 §§1,2).

4.2.2.25. Частные производные, дифференциал и дифференцируемость функции нескольких переменных. (2 часа). ([2] часть 2 гл.3 §1,2).

4.2.2.26. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент. (2 часа). ([2] часть 2 гл.3 §5,6).

4.2.2.27. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. (2 часа). ([2] часть 2 гл.3 §3).

4.2.2.28. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. (4 часа). ([2] часть 2 гл.3 §7).

4.2.2.29. Контрольная работа 2. (2 часа).

4.2.2.30. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: интегральный признак Коши-Маклорена; признаки сравнения («эталонные» ряды). (4 часа). ([2] гл.4 §1).

4.2.2.31. Радикальный признак Коши; признак Даламбера. (2 часа). ([2] часть 2 гл.4 §1).

4.2.2.32. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. (2 часа). ([2] часть 2 гл.4 §1).

4.2.2.33. Функциональные ряды. Степенные ряды. Лемма Абеля. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда. Простейшие способы нахождения радиуса сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. (2 часа). ([2] часть 2 гл.4 §2).

4.2.2.34. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. (2 часа). ([2] часть 2 гл.4 §2).

4.2.2.35. Защита расчётных заданий (2 часа).

3 семестр

4.2.2.36 Разложение функций в ряд Маклорена. (2 час). ([1] гл.14 §6).

4.2.2.37. Периодические функции. Гармонические колебания. Элементы гармонического анализа. Ряды Фурье. (4 часа). ([1] гл.14 §7).

4.2.2.38 Элементы алгебры логики высказываний. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность). Мера множества. Основные алгебраические структуры (кольца, поля, группы). Свойства бинарных операций (замкнутость, коммутативность, ассоциативность). Дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквивалентность. Законы де Моргана. (2 часа). Отображение множеств.([9] гл.1 §5).

4.2.2.39. Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Корень n-ой степени из комплексного числа. Основная теорема алгебры. Разложимость многочлена n-ой степени в произведение линейных множителей. (4 часа). ([1] гл.14 §6).

4.2.2.40. Функции комплексного переменного. Основные элементарные функции комплексного переменного. Дифференцирование функций комплексного переменного. (4 часа). ([2] часть 3 гл.3 §§7–12).

4.2.2.41 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Решения задачи Коши для уравнений первого порядка.(2 часа). ([1] гл.13 §§5, 6).

4.2.1.42. Некоторые типы интегрируемых уравнений первого порядка. Интегрирование уравнений с разделяющимися переменными. (2 часа). ([1] гл.15 §1, [2] часть 3 гл.4 §§1,2).

4.2.2.43. Контрольная работа №1 (2 часа).

4.2.1.44 Однородные и приводящиеся к ним типы уравнений первого порядка. (2 часа). ([1] гл.15 §1, [2] часть 3 гл.4 §2).

4.2.1.45. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. .(2 часа) ([2] часть 3 гл.4 §§1,2).

4.2.1.46. Метод Бернулли. Уравнения Бернулли.(2 часа) ([2] часть 3 гл.4 §§1,2).

4.2.1.46. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. (2 часа) ([2] часть 3 гл.4 §§1,2).

4.2.2.47. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Частные виды интегрируемых уравнений. (2 часа). ([2] часть 3 гл.4 §3).

4.2.2.48. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. (2 часа). ([2] часть 3 гл.4 §3).

4.2.2.49. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. (2 часа). ([2] часть 3 гл.4 §4).

4.2.1.50. Ориентированные графы. Полный путь. Основные понятия комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания). (4 часа). ([4] гл.1 §§1-3).

4.2.2.51. Контрольная работа №2 (2 часа).

4.2.2.52. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события. Относительная частота. Классическое определение вероятности. (2 часа). ([6] гл.1 §1).

4.2.2.53. Теорема сложения вероятностей. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. (2 часа). ([6] гл.2 §§1-3).

4.2.2.54. Защита расчетно-графических заданий. (2 часа)

4 семестр

4.2.2.55. Формула полной вероятности. Формула Байеса. (2 часа). ([6] гл.2 §§3-4).

4.2.2.56. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. (2 часа). ([6] гл.3 §§1-2).

4.2.2.57. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. (4 часа). ([6] гл.4 §1, §3, гл. 6 §§1-3).

4.2.2.56. Числовые характеристики равномерного, показательного и нормального распределений. (2 часа). ([6] гл.6 §§4-6).

4.2.2.57. Контрольная работа № 1 (2 часа).

4.2.2.58. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. (1 часа). ([6] гл.5 §§1,2).

4.2.2.59. Элементы математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Эмпирическая функция распределения. Полигон, гистограмма, мода и медиана. (2 часа). ([6] гл.9 §§1-3)

4.2.2.60. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез. (3 часа). ([6] гл.10 §§1-4).

4.2.2.61. Элементы корреляционного анализа. (2 часа)([4])

4.2.2.62. Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений ([12] задачи 5-9). (2 часа).

4.2.2.63. Численные методы решения системы линейных алгебраических уравнений ([5] задачи 9,10, и 10.1.). (2 часа).

4.2.2.64. Контрольная работа №2. (2 часа).

4.2.2.65. Приближение функций ([12] задачи 12-14). (2 часа).

4.2.2.66. Численное дифференцирование и интегрирование ([12] задача 16). (2 часа).

4.2.2.67. Численные методы решения задачи Коши ([12] задачи 17-18). (2 часа).

4.2.2.68. Защита расчетно-графических заданий. (2 часа).

4.2.3. Организация самостоятельной работы

Наряду с практическими занятиями дополнительными формами самостоятельной работы являются домашние индивидуальные задания.

Домашние задания являются, как правило, продолжением практических занятий и содействуют овладению практическими навыками по основным разделам дисциплины.

Отчеты по выполненным работам предъявляются преподавателю в сроки, установленные «Графиком самостоятельной работы студентов».

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1 семестр

Студенты самостоятельно прорабатывают следующие темы.

1. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы 2-х переменных к каноническому виду. (2 часа). ([3] гл. 3 §8).

2. Поверхности второго порядка их канонические уравнения и графики. (2 часа). ([1] доп. уч., гл.9 §§14).

3. Таблица производных и правила дифференцирования. (2 часа). ([7] доп. уч. гл.5 §9).

2 семестр

Студенты самостоятельно прорабатывают следующие темы.

1. Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций. (3 часа). ([3] гл. 4 §7).

2. Разложение в ряд Фурье функций с различными формами четности. (6 часов). ([7] доп. уч. гл. 12 § 1).

3 семестр

Студенты самостоятельно прорабатывают следующие темы.

1.Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. (6 часов) ([7] доп. уч. гл. 9 §4).

2. Элементы теории устойчивости. (3 часа). ([7] доп. уч. гл. 9 §3).

4 семестр

Студенты самостоятельно прорабатывают следующие темы.

Ранговая корреляция.(4 часа). ([4] гл.11 §§1-2).

5. Образовательные технологии

При реализации программы дисциплины «Математика» реализуются как традиционные технологии в виде аудиторных занятий, состоящих из лекционных (136 часов) и практических занятий (168 часов) так и компьютерные – при проведении расчетных работ и тестировании остаточных знаний студентов. Самостоятельная работа студентов (296 часов) подразумевает работу под руководством преподавателей (консультация и помощь при выполнении расчетно-графических работ), и индивидуальную работу студентов в компьютерном классе или библиотеке университета.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

6.1 Контрольные вопросы и задания для промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

В течении преподавания курса «Математика» в качестве форм текущей аттестации студентов используются такие формы как, контрольная работа (30 часов), расчетно-графическая работа (10 часов), тестирование по проверке текущих и остаточных знаний. По итогам обучения в 1 и 3 семестрах проводятся экзамены на которые суммарно выделяется (30 часов), во 2 и 4 семестрах проводится зачёт на который выделяется (10 часов).

Контрольные вопросы и задания:

Линейная алгебра

Матрицы, виды матриц. Действия над матрицами. Определители, их свойства.

Минор, алгебраическое дополнение. Вычисления определителей с помощью алгебраических дополнений.

Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛУ).

Обратная матрица, методы вычисления, матричная форма записи СЛУ, решение СЛУ с помощью обратной матрицы.

Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли. Решение однородных систем линейных уравнений. Метод Гаусса для решения СЛУ (общий случай система n-го порядка).

Аналитическая геометрия

Понятие вектора, проекции вектора на оси координат, направляющие косинусы.

Линейные операции над векторами, их основные свойства, коллинеарность, компланарность векторов.

Разложение вектора по базису.

Скалярное произведение векторов, его свойства.

Векторное произведение векторов, его свойства.

Смешанное произведение векторов, его свойства.

Расстояние между двумя точками на плоскости. Нахождение площади треугольника, деление отрезка в заданном отношении.

Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; проходящей через данную точку с угловым коэффициентом; проходящей через две данные точки.

Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Общее уравнение прямой, расстояние от точки до прямой на плоскости.

Общее уравнение плоскости, угол между плоскостями.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Расстояние от точки до плоскости.

Общее уравнение прямой в пространстве, канонические уравнения прямой, параметрические уравнения.

Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Расстояние от точки до прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Понятие о линиях второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение линии второго порядка.

Элементы функционального анализа и математической логики

Элементы алгебры логики высказываний. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность). Мера множества. Отображение множеств

Основные алгебраические структуры (кольца, поля, группы). Свойства бинарных операций (замкнутость, коммутативность, ассоциативность).

Дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквивалентность. Законы де Моргана.

Ориентированные графы. Полный путь.

Основные понятия комбинаторики. Перестановки, размещения и сочетания.

Математический анализ

Предел функции непрерывного аргумента (примеры). Бесконечно большой аргумент.

Предел числовой последовательности (примеры).

Бесконечно большие, ограниченные, бесконечно малые функции (примеры).

Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные бесконечно малые.

Таблица эквивалентности.

Правила предельного перехода: предел суммы, произведения, частного функций.

Признак существования предела функции. Первый замечательный предел.

Признак существования предела числовой последовательности.

Второй замечательный предел.

Непрерывность функций, классификация точек разрыва (примеры).

Действия над непрерывными функциями. Свойства непрерывных функций.

Понятие производной функции, геометрический смысл (примеры).

Необходимое условие существования производной (примеры).

Теоремы о производных суммы, произведения, частного функций.

Производная сложной функции, производная неявной функции, производная обратной функции.

Логарифмическая производная. Дифференцирование функций, заданных параметрически (примеры).

Таблица производных элементарных функций.

Дифференцируемость функций, необходимое и достаточное условия дифференцируемости функций.

Дифференциал функции, применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Раскрытие неопределённостей в пределах, правило Лопиталя.

Формула Маклорена, разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на отрезке. Экстремальные точки. Достаточные условия экстремума (примеры).

Выпуклость и вогнутость кривой. Достаточные условия существования точек перегиба (примеры).

Асимптоты графиков функций (примеры).

Исследование функций, построение их графиков (примеры).

Первообразная и понятие неопределенного интеграла. Геометрический смысл неопределенного интеграла.

Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.

Замена переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям для неопределенного интеграла.

Интегрирование простейших тригонометрических выражений, тригонометрические подстановки.

Понятие определенного интеграла, интегральная сумма.

Свойства определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям, замена переменной в определенном интеграле.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами, интегралы от разрывных функций.

Приложения определенного интеграла. Нахождение площадей, вычисление длины дуги.

Нахождение объемов тел вращения, площади поверхности с помощью определенного интеграла.

Функции нескольких переменных. Область определения, предел и непрерывность функции.

Частные производные и их геометрический смысл.

Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Производная сложной функции.

Повторное дифференцирование, производные, дифференциалы высших порядков.

Экстремум функции двух переменных.

Условный экстремум функции нескольких переменных, функция Лагранжа.

Производная по направлению.

Градиент.

Ряды

Определение числового ряда и его суммы, свойства сходящихся рядов.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряды с неотрицательными членами, признак сравнения.

Признак сходимости Даламбера.

Радикальный признак Коши.

Интегральный признак Коши.

Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница, абсолютная и условная сходимость ряда.

Степенные ряды, общие определения.

Теорема Абеля, интервал, радиус и область сходимости ряда.

Отыскание радиуса сходимости ряда, примеры.

Общие свойства степенных рядов, теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.

Разложение элементарных функций в степенной ряд.

Применение степенных рядов в приближённых вычислениях.

Периодические функции. Гармонические колебания.

Ряды Фурье, нахождение коэффициентов рядов Фурье (примеры).

Разложение чётных и нечётных функций в ряд Фурье (примеры).

Функции комплексного переменного

Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел.

Возведение комплексного числа в n-ю степень.

Основная теорема алгебры. Разложимость многочлена n-ой степени в произведение линейных множителей.

Функции комплексного переменного. Основные элементарные функции комплексного переменного.

Дифференцирование функций комплексного переменного.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Частное и общее решение. Задача Коши для уравнений первого порядка. Теорема существования и единственности.

Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и однородных. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений.

Интегрирование дифференциальных уравнений Бернулли.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши для дифференциального уравнения высшего порядка. Теорема существования и единственности. Некоторые способы решения уравнения высшего порядка с помощью понижения порядка.

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка. Определитель Вронского. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Приемы решения линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Теория вероятностей

Перестановки, сочетания и размещения.

Случайные события. Полная группа событий, противоположные события.

Теоремы сложения вероятностей. Теоремы умножения вероятностей, независимые события.

Формула полной вероятности, формула Байеса.

Повторение испытаний, формула Бернулли.

Случайные величины, виды СВ.

Закон распределения дискретной СВ.

Биномиальное распределение.

Распределение Пуассона.

Числовые характеристики СВ, математическое ожидание, его свойства.

Дисперсия СВ, её свойства, формула для вычисления дисперсии.

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях, среднее квадратическое отклонение.

Неравенство Чебышева.

Функция распределения вероятностей СВ, свойства функции распределения, ее график.

Функция плотности распределения вероятностей, ее свойства, график.

Равномерное распределение вероятностей, мат. ожидание, дисперсия.

Показательное распределение СВ, мат. ожидание, дисперсия.

Нормальное распределение, мат. ожидание, дисперсия.

Кривая Гаусса, влияние параметров нормального распределения на форму кривой.

Вероятность попадания в заданный интервал, вычисление вероятности заданного отклонения, правило 3-х сигм.

Математическая статистика

Выборочный метод в математической статистике.

Статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения, гистограмма, полигон, мода, медиана.

Несмещенность, эффективность, состоятельность оценок параметров распределения.

Точечные и интервальные оценки.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном СКО.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном СКО.

Доверительные интервалы для оценки СКО.

Статистическая проверка гипотез (ошибки первого и второго рода).

Коэффициенты корреляции и ковариации.

Линейная корреляция. Уравнение регрессии.

Численные методы

Абсолютная и относительная погрешности. Особенности машинной арифметики.

Решение нелинейных уравнений. Теорема о существовании единственного корня на отрезке.

Методы биссекции, простых итераций и Ньютона.

Прямые методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

Метод простых итераций решения системы линейных алгебраических уравнени.

Метод наименьших квадратов. Обработка экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.

Численное интегрирование. Простые и составные формулы численного интегрирования. Погрешность усечения и вычислительная погрешность. Полная погрешность. Порядок точности метода. Оптимальный шаг интегрирования.

Правило Рунге и численный критерий его применимости. Автоматический выбор шага интегрирования.

Численное дифференцирование. Формулы численного дифференцирования: левая, правая и центральные разностные производные первого порядка. Вторая разностная производная. Погрешность усечения и вычислительная погрешность. Полная погрешность.

Порядок точности формулы численного дифференцирования. Оптимальный шаг численного дифференцирования.

Численное решение задачи Коши. Явный и неявный методы Эйлера.

Локальная и глобальная погрешности дискретизации. Вычислительная погрешность. Полная погрешность.

Порядок точности метода. Правило Рунге и численный критерий его применимости. Автоматический выбор шага численного интегрирования дифференциального уравнения.

.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

Щипачев В.С. Высшая математика (учебник). М.: Высшая школа. 2005.
Соловьёв И.А., Шевелёв В.В., Червяков А.В., Репин А.Ю. Практическое руководство к решению задач по высшей математике, Части 1 – 3, Лань. 2007 2009.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1и 2. «Интеграл-пресс». 2006.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее образование. 2008.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. Спб.: Лань. 2005.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшее образование. 2008.
Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. М.: Астрель-АСТ. 2003.
Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа. 2000
Иванов Б.Н. Дискретная математик. М.: Физматлит. 2007.
Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука. 1987.
Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Изд-во МЭИ. 2003.
Соловьев И.А. Прикладная математика. М.: Изд-во ГУЗ. 2008. 83с.
Пулькин И.А.Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд-во ГУЗ. 2009. 88с.

б) дополнительная литература:

Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Физматлит. 2002.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Части 1 и 2. М.: Оникс. 2008.
Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Физматлит. 2001.

5. Соловьев И.А., Кузнецова Н.А. Численные методы. Программа, расчетно-графические задания и контрольные работы по численным методам для студентов технических и экономических специальностей. М.: Изд-во ГУЗ. 2002. 44с.

в) методические материалы и Интернет ресурсы:

Методические указания и сборники тестов для контроля усвоения знаний, созданные сотрудниками кафедры высшей математики и физики ГУЗ.

www.fepo.ru – сайт для проведения Федерального интернет-тестирования в сфере профессионального образования,

www.cdml.ru – сайт Центра дистанционных методов обучения ГУЗ

8. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины

Компьютерный класс, оргтехника, теле- и аудиоаппаратура (все – в стандартной комплектации для практических занятий и самостоятельной работы); доступ к сети Интернет (во время самостоятельной подготовки и на практических занятиях).

Blog

Учебно-методический комплекс дисциплины: «Математика» утверждаю

Содержание