Geum.ru

Вопросы вступительных экзамен по специальности в магистратуру

Вид материалаИсследование
Подобный материал:

,,ВОПРОСЫ

вступительных экзамен по специальности в магистратуру


6M070500 – Математическое и компьютерное моделирование


Математический анализ
  1. Полнота: супремум и инфимум числового множества. Принцип вложенных отрезков. Иррациональность числа .
  2. Теорема о существовании предела монотонной последовательности. Число e .
  3. Эквивалентность определений предела функции в точке на языке e-d и на языке последовательностей. Два замечательных предела.
  4. Непрерывность функции одной переменной в точке, точки разрыва и их классификация. Свойства функции, непрерывной на отрезке.
  5. Теоремы Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции, заданной на сегменте.
  6. Равномерность непрерывности. Теорема Кантора.
  7. Понятие производной и дифференцируемости функции одной переменной, дифференцирование сложной функции.
  8. Исследование функции с помощью производных (монотонность, экстремумы, выпуклость и точки перегиба, асимптоты).
  9. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.
  10. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Локальная формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.
  11. Критерий интегрируемости функции по Риману. Классы интегрируемых функций.
  12. Теорема о существовании первообразной у каждой непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
  13. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей.
  14. Несобственные интегралы I и II рода.
  15. Линейная функция . Дифференцирование функции многих переменных в точке как локальная линеаризация. Дифференциал.
  16. Достаточные условия дифференцируемости в точке функции многих переменных.
  17. Определение, существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции.
  18. Необходимое условие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа.
  19. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости ряда.
  20. Признаки сходимости знакоположительных рядов Коши, Даламбера.
  21. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда.
  22. Степенные ряды; разложение функций в степенной ряд.
  23. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов.
  24. Достаточные условия непрерывности, интегрируемости и

дифференцируемости суммы функционального ряда.
  1. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье.


Алгебра
  1. Понятия группы, кольца и поля. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корня из комплесного числа.
  2. Матрицы, действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Алгебра матриц.
  3. Определители п-го порядка. Элементарные свойства определителей. Теорема о разложении определителя по строке или столбцу.
  4. Критерий обратимости и формула обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоединения единичной матрицы и его обоснование.
  5. Кольцо многочленов от одной переменной. Теорема о делении с остатком. Делимость и ее свойства. Теорема Безу и схема Хорнера.
  6. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены и их свойства.
  7. Неприводимые многочлены над данным полем. Неприводимые многочлены над полями действительных и комплексных чисел. Теорема о разложений многочлена в произведение неприводимых многочленов.
  8. СЛАУ. Исследование СЛАУ. Теорема Кронекера - Капелли. Формулы Крамера.
  9. Линейные пространства. Определение и примеры. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, их свойства. Базис и размерность пространства.
  10. Понятие линейного оператора n-мерного векторного пространства. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.


Аналитическая геометрия
  1. Декартовые, полярные, цилиндрические, сферические системы координат.
  2. Преобразования координат на плоскости и в пространстве.
  3. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, их геометрические свойства.
  4. Классификация кривых второго порядка.
  5. Векторы. Операции над векторами. Векторное, смешанное произведение векторов. Свойства и приложения.
  6. Различные виды задания уравнений прямой в плоскости. Взаимное расположение двух прямых в плоскости.
  7. Различные виды задания уравнений прямой в простанстве. Взаимное расположение двух прямых в простанстве.
  8. Различные виды задания уравнений плоскости в простанстве. Взаимное расположение плоскостей.
  9. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскости. Расстояние от прямой до плоскости.
  10. Исследование поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям с помощью вращения, растяжений и сечений.


Дифференциальные уравнения
  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка и методы их решения.
  2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
  3. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка от параметров и от начальных данных.
  4. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Общие свойства. Однородное ОДУ. Фундаментальная система решений. Вронскиан. Формула Лиувилля. Общее решение однородного ОДУ.
  5. Неоднородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее решение. Метод Лагранжа вариации постоянных.
  6. Однородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений.
  7. Однородная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица. Вронскиан. Формула Лиувилля. Структура общего решения однородной системы ОДУ.
  8. Постановка краевых задач для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Специальные функции краевых задач и их явные представления. Функция Грина и ее явные представления. Интегральное представление решения краевой задачи. Теорема существования и единственности решения краевой задачи.
  9. Автономные системы. Свойства решений. Особые точки линейной автономной системы двух уравнений. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Устойчивость однородной системы линейных дифференциальных уравнений с переменной матрицей.
  10. Устойчивость по первому приближению системы нелинейных дифференциальных уравнений. Второй метод Ляпунова.


Уравнения математической физики
  1. Основные уравнения математической физики, постановка для них задачи Коши и краевых задач.
  2. Корректность постановки задачи Коши. Пример Адамара.
  3. Классификация уравнений с частными производными второго порядка и приведение их к каноническому виду. Понятие характеристики.
  4. Уравнение Лапласа. Фундаментальное решение. Теоремы единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
  5. Функция Грина для уравнения Лапласа и ее свойства. Функция Грина для круга.
  6. Свойства гармонических функций.
  7. Решение начально-краевой задачи для уравнения колебаний струны методом Фурье.
  8. Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.
  9. Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны. Вывод формулы Даламбера и ее физическая интерпретация.
  10. Принцип максимума для уравнения параболического типа.


Введение в вычислительную математику
  1. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности. Арифметические действия над приближенными числами.
  2. Численные методы решений нелинейных уравнений (методы простой итерации, касательных, хорд).
  3. Численные методы решений системы нелинейных уравнений (методы простой итерации, касательных, хорд).
  4. Интерполирование функции. Многочлены Лагранжа, Ньютона.
  5. Численное интегрирование.
  6. Численное дифференцирование.
  7. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
  8. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка конечно-разностным методом.
  9. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом прогонки.
  10. Численные методы нахождения собственных значений и собственных векторов.



Зав.кафедрой фундаментальной и

прикладной математики К.Н. Оспанов