Geum.ru

Программа курса "Математический анализ"

Вид материалаПрограмма курса
Подобный материал:
АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


Программа курса "Математический анализ"
для студентов физического факультета АГУ

1 семестр, лектор Семенов С.П.

Лекции - 52 часов

  1. Введение. – 4 ч.

    1. Множества и операции над ними.

    2. Функция.

  1. Действительные (вещественные) числа. – 5 ч.

    1. Аксиоматика множества действительных чисел. Свойства вещественных чисел.

    2. Лемма о верхней грани.

    3. Важнейшие классы действительных чисел.

    4. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел.

  1. Предел последовательности - 5 ч.

    1. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические свойства. Предельный переход в неравенствах.

    2. Критерий Коши. Теорема о монотонной ограниченной последовательности.

    3. Предельные точки последовательности. Верхние и нижние пределы.

  1. Предел функции. Непрерывная функция – 6 ч.

    1. Два определения предела функции. Их эквивалентность. Арифметические операции. Предельный переход в неравенствах.

    2. Критерий Коши существования предела функции. Предел суперпозиции.

    3. Первый и второй замечательные пределы. Предел монотонной функции.

    4. Асимптотическое поведение функций. "О" и "о" - символика.

    5. Определение непрерывной в точке функции. Точки разрыва, их классификация.

    6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.

  1. Дифференцируемая функция - 8 ч.

    1. Производная. Физическая и геометрическая интерпретация. Дифференциал. Связь дифференцируемости и существования производной, дифференцируемость и непрерывность.

    2. Основные правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная простейших элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков.

    3. Свойства дифференцируемых функций. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши.

  1. Исследование функций - 6 ч.

    1. Раскрытие неопределенностей (правила Лопиталя).

    2. Формула Тейлора.

    3. Локальный экстремум. Направление выпуклости, точки перегиба, асимптоты графика функции. Построения эскиза графика функции.

  1. Первообразная - 6 ч.

    1. Неопределенный интеграл. Основная теорема о первообразной. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

    2. Интегрирование рациональных функций и некоторых других классов функций.

  1. Определенный интеграл - 8 ч.

    1. Верхние и нижние интегральные суммы, их свойства.

    2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Классы интегрируемых функций.

    3. Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем. Существование первообразной непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

    4. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Формула интегрирования по частям.

    5. Приложения определенного интеграла.

  1. Несобственный интеграл - 4 ч.

    1. Определение. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признаки сходимости несобственных интегралов.

    2. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признак Абеля-Дирихле. Главное значение несобственного интеграла.

Рекомендуемая литература

  1. Зорич В.А. Математический анализ, часть I, – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 544 с.
  2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч.I. – М.: Наука, 1971.
  3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.I, т II. – М.: Наука, 1969.
  4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. – М.: Наука, 1979.
  5. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч.I. кн. 1. – Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. – 454с.
  6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1990.