Учебная программа для второй ступени высшего образования (магистратуры) СпециальностИ 1-31 80 09 Прикладная математика и информатика

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

Учреждение образования

“Гродненский государственный университет имени Янки Купалы”

УТВЕРЖДАЮ

Ректор

Учреждения образования

“Гродненский государственный

университет имени Янки Купалы”

___________________ Е.А.Ровба

«___» _______ 2009 г.

Регистрационный № УД- _____/уч.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МОДЕЛЕЙ

Учебная программа

для второй ступени высшего образования (магистратуры)

СпециальностИ 1-31 80 09 - Прикладная математика и информатика

Гродно 2009

СОСТАВИТЕЛЬ:

Вувуникян Ю.М. заведующий кафедрой теории функций, функционального анализа и прикладной математики, кандидат физ.-мат. наук, доцент

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Тыщенко В.Ю. доцент кафедры теоретической механики и материаловедения Гродненского государственного аграрного университета

кандидат физ.-мат. наук

Булгаков В.И. – кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры ДУиОУ

РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:

Кафедрой теории функций, функционального анализа и прикладной математки (протокол № 13 от 20.05.2009г.);

Методической комиссией по специальности (протокол № 7 от 20.05.2009г.);

Советом факультета математики и информатики (протокол № _10_ от 20.05.2009г.

Научно-методическим советом Учреждения образования “Гродненский государственный университет имени Янки Купалы”

(протокол № __от _______);

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на компьютере, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Целью дисциплины является изучение основ математических методов анализа моделей. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях магистрантами курсов "Математический анализ", "Дифференциальные уравнения", ""Функциональный анализ и интегральные уравнения". Основные положения дисциплины "Математические методы анализа моделей" являются фундаментом математического образования математика-прикладника.

В результате изучения дисциплины магистрант должен обладать следующими компетенциями:

ЗНАТЬ основные понятия математического анализа моделирования, основные методы исследования математических моделей с использованием компьютера.

УМЕТЬ составлять математические модели в различных областях естествознания и техники и исследовать их с помощью компьютера.

ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№ п/п	Название раздела	Кол-во часов
	Понятие модели. Математическое описание систем.	2
	Динамические системы	2
	Математические модели в механике, гидродинамике, электродинамике, экономике	4
	Методы построения математических моделей на основе фундаментальных законов природы	2
	Вариационные принципы построения математических моделей	4
	Методы исследования математических моделей	2
	Причинность. Устойчивость. Проверка адекватности математических моделей	2
	Прямые и обратные задачи	4
	Иерархия моделей. Универсальность моделей
	Квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка	2
	Обобщенное решение. Образование разрывных решений	4
	Нелинейные уравнения параболического типа	4
	Задачи нелинейной теплопроводности и горения	2
	Конечная скорость распространения волн. Режимы с обострением	2
	Задачи нелинейной теплопроводности и горения	2
	Модель «хищник-жертва». Исследование ее решения	4
	Уравнения Кортевега-де Фриза, законы сохранения. Солитонные решения. Схема метода обратной задачи рассеяния	4
	Метод конечных разностей. Основные понятия, точность аппроксимации, устойчивость, сходимость	4
	Разностная схема для уравнения теплопроводности на отрезке. Явная и неявная схема. Исследование их устойчивости. Метод прогонки	2
	Разностная схема для уравнения теплопроводности на отрезке. Явная и неявная схема. Исследование их устойчивости. Метод прогонки	2
	Асимптотические методы. Случай регулярных возмущений. Алгоритм построение асимптотики	4
	Случай сингулярных возмущений. Условие устойчивости корней вырожденной задачи. Алгоритм построение асимптотики	2
	Метод осреднения Крылова - Боголюбова. Алгоритм построения асимптотики	4
	Методы вейвлет-анализа	4

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕНИАЛА

Раздел I.

Основные понятия и принципы моделирования

Понятие модели. Математическое описание систем. Динамические системы. Математические модели в механике, гидродинамике, электродинамике, биологии, экономике. Универсальность математических моделей. Методы построения математических моделей на основе фундаментальных законов природы. Вариационные принципы построения математических моделей. Методы исследования математических моделей. Причинность. Устойчивость. Проверка адекватности математических моделей. Прямые и обратные задачи. Иерархия моделей. Универсальность моделей.

Раздел II.

Математическое моделирование нелинейных процессов.

Квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка. Метод характеристик. Обобщенное решение. Образование разрывных решений. Условия на разрывах (условие Гюгонио).

Нелинейные уравнения параболического типа. Динамика уровня грунтовых вод (уравнение Буссинеска). Задачи нелинейной теплопроводности и горения. Автомодельные решения. Конечная скорость распространения волн. Режимы с обострением.

Модель «хищник-жертва». Исследование ее решения.

Солитонные решения. Уравнения Кортевега-де Фриза, законы сохранения. Схема метода обратной задачи рассеяния.

Раздел III.

Методы исследования математических моделей

Метод конечных разностей. Основные понятия, точность аппроксимации, устойчивость, сходимость.

Разностная схема для уравнения теплопроводности на отрезке. Явная и неявная схема. Исследование их устойчивости. Метод прогонки.

Экономичные разностные схемы. Схема переменных направлений. Ее устойчивость.

Консервативные разностные схемы. Пример неконсервативной схемы. Интегро-интерполяционный метод и метод конечных элементов построения консервативной схемы.

Схемы бегущего счета для решения уравнения переноса. Их устойчивость. Условие Куранта. Монотонные схемы.

Вариационные методы. Сведение краевой задачи в частных производных к вариационной. Метод Ритца. Метод Галеркина. Задачи на собственное значение.

Асимптотические методы. Случай регулярных возмущений. Алгоритм построение асимптотики.

Случай сингулярных возмущений. Условие устойчивости корней вырожденной задачи. Алгоритм построение асимптотики.

Метод Монте-Карло для вычисления интегралов и решения интегральных уравнений.

Метод осреднения Крылова - Боголюбова. Алгоритм построения асимптотики.

Методы вейвлет-анализа.

ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Литература