Geum.ru

Курс по выбору. Объем учебной нагрузки 36 часов лекции, 36 часов семинары

Вид материалаЛекции

Содержание


Содержание курса
Тема 2: Метод Фурье решения смешанных задач для эволюционных уравнений и краевых задач для уравнения Пуассона.
Подобный материал:
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ


Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики

Факультет физико-математических и естественных наук


Курс по выбору.

Объем учебной нагрузки – 36 часов лекции, 36 часов семинары.


Цель курса: Кратко познакомить студентов с одной из наиболее необозримых и содержательных областей современной математики, тесно связанной с приложениями и другими областями математики. Курс содержит элементы, как классической математической физики, так и ее достижения последних лет.

Содержание курса:

Тема 1: Основные понятия и классификация квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка.
  1. Основные сведения об уравнениях в частных производных. Классификация и приведение к каноническому виду квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка.
  2. Основные уравнения и системы уравнений математической физики: эллиптические, гиперболические, параболические. Постановка классических задач математической физики и задач на сетях и стратифицированных множествах.

Тема 2: Метод Фурье решения смешанных задач для эволюционных уравнений и краевых задач для уравнения Пуассона.
  1. Задача на собственные значения, свойства собственных функций и собственных значений.
  2. Метод Фурье решения задач о колебании ограниченной струны и о распространении тепла в ограниченном стержне.
  3. Метод разделения переменных решения краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике, круге, кольце, внешности круга, секторе.

Тема 3: Задача Коши для эволюционных уравнений.
  1. Задача Коши для волнового уравнения. Формулы Даламбера, Пуассона и Кирхгофа. Принцип Дюамеля.
  2. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение. Интеграл Пуассона.

Тема 4: Пространства Соболева. Обобщенные решения задач Дирихле и Неймана.
  1. Пространства Соболева и их свойства. Формула интегрирования по частям.
  2. След функции и его свойства.
  3. Эквивалентные нормы.
  4. Интеграл Дирихле. Неравенство Пуанкаре-Фридрихса .
  5. Обобщенные и классические решения задач Дирихле и Неймана.

Тема 5: Эллиптические уравнения второго порядка на стратифицированном множестве.
  1. Определение стратифицированного множества. Постановка задачи Дирихле на стратифицированном множестве.
  2. Дивергенция и оператор Лапласа-Бельтрами на стратифицированном множестве.
  3. Формула Грина.
  4. Неравенство Пуанкаре-Фридрихса на стратифицированном множестве.
  5. Слабая разрешимость задачи Дирихле на стратифицированном множестве.


Литература
  1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Изд. МГУ, 1999.
  2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., Наука 1988.
  3. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М., Наука, 1975.
  4. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Физматгиз, 2001.
  5. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. М., МЦМНО, 2003.
  6. Покорный Ю.В. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М., Физматлит, 2004.
  7. Безяев В.И., Скубачевский А.Л. Функциональные пространства в задачах математической физики. М., Изд. МАИ, 1992.
  8. Безяев В.И., Варин А.А., Красулина Т.Ю. Эллиптические краевые задачи. М., Изд. МАИ, 1993.
  9. Безяев В.И., Глаголева Р.Я. Начальные и краевые задачи для эволюционных уравнений. М., Изд. МАИ, 1995.


Программу составил

Безяев Владимир Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент


Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики


Факультет физико-математических и естественных наук.