Программа Государственного экзамена по подготовке магистра по направлению «Теоретическая и математическая физика» (510417). Часть Теоретическая физика

Вид материала

Содержание

Математический анализ.
Линейная алгебра.
Теория функций комплексного переменного.
Интегральные уравнения.
Вариационное исчисление.
Дифференциальные уравнения.
Методы математической физики
Основы математического моделирования

Подобный материал:

Утверждено решением Ученого Совета физического факультета МГУ 30.03.2006 г.

Декан физического факультета МГУ профессор В.И.Трухин

Программа Государственного экзамена по подготовке магистра по направлению «Теоретическая и математическая физика» (510417).

Часть 1. Теоретическая физика.

I

Движение материальной точки и системы материальных частиц в механике

Ньютона. Интегралы движения и законы сохранения. Движение в

центральном поле. Упругое

рассеяние частиц. Формула Резерфорда.

Движение при наличии связей. Уравнения Лагранжа. Вариационный принцип

Гамильтона. Теорема Нетер. Линейные колебания механических

систем. Функция Лагранжа

твердого тела. Тензор инерции.

Канонические уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Канонические

преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби.

Литература.

1. И.И.Ольховский. Курс теоретической механики для физиков. М., Изд-во

МГУ, 1978.

2. Б.В.Петкевич. Теоретическая механика. М., Наука, 1989.

3. В.Р.Халилов, Г.А.Чижов. Динамика классических систем. М., Изд-во МГУ, 1993.

4. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц. Механика. М., Hayка, 1988.

5. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц. Гидродинамика. М., Наука, 1988.

II

Tepмодинамические (ТД) потенциалы и их свойства. Условия ТД-равновесия

и устойчивости. Фазовые переходы.

Смешанное состояние. Матрица плотности. Канонические распределения

Гиббса. Идеальный и неидеальный газ. Вириальное разложение. Системы с

кулоновским взаимодействием. Дебаевское экранирование. Идеальные газы

Ферми и Бозе и их свойства. Равновесное излучение. Формула

Планка. Теплоемкость твердых тел по Дебаю.

Кинетические уравнения Больцмана. Н-теорема. Уравнение Власова.

Литература.

1. И.А.Квасников. Термодинамика и статистическая физика. Теория

равновесных систем. М., Изд-во МГУ, 1991

2. И. А. Квасников. Теория неравновесных систем. М., Из-во МГУ, 1987

3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Статистическая физика., 1976

III

Уравнения Максвелла в вакууме. Запаздываюшие потенциалы.

Излучение электромагнитных волн в электрическом дипольном приближении,

интенсивность и угловое распределение, поляризация. Радиационное

трение. Рассеяние электромагнитных волн на зарядах. Преобразования Лоренца.

Эффект Допплера. Аберрация. Функция Лагранжа для электромагнитного поля

при заданных зарядах и токах. Уравнение движения релятивистской

заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле.

Уравнения Максвелла в среде, материальные уравнения и граничные

условия. Закон сохранения

энергии в электродинамике покоящихся тел.

Дисперсия диэлектрической проницаемости, физический смысл комплексной

диэлектрической проницаемости. Формула Крамерса-Кронига. Излучение

Вавилова-Черенкова.

Литература.

1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теория поля. М., Наука, 1973.

2. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М., Наука,

1982.

3. Дж.Джексон. Классическая электродинамика. М., Мир, 1965.

4. А.А.Власов. Макроскопическая электродинамика. М., Гостехиздат, 1955.

5. В.И.Денисов. Введение в электродинамику сплошных сред. М, Изд-во МГУ, 1989.

IV

Уравнение Шредингера. Соотношение неопределенностей. Принцип линейной

суперпозиции. Операторы и наблюдаемые. Чистые и смешанные состояния,

матрица плотности, определение физических величин в чистом и смешанном

состояниях. Средние значения физических

величин. Изменение средних величин со временем. Гармонический

осциллятор. Квазиклассическое приближение. Туннельный

эффект. Центрально-симметричное

поле. Момент импульса. Атом водорода в теории Шредингера. Стационарная

теория возмущений. Теория возмущений при наличии

вырождения. Эффект Штарка. Спин. Уравнение Паули. Тождественные частицы. Атом

гелия. Вариационный метод. Теория рассеяния -- борновское

приближение. Уравнение Клейна-Гордона. Уравнение

Дирака. Нестационарная теория возмущений -- теория квантовых

переходов. Уравнение Дирака в центральном поле. Уравнение Дирака в

слаборелятивистском приближении. Тонкая структура энергетического

спектра водородоподобного атома. Эффект Зеемана. Теория излучения --

вынужденное и спонтанное излучение, поглощение.

Литература.

1. А.С.Давыдов. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1973.

2. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Квантовая механика. М,. Физматгиз, 1974.

3. Д. И. Блохинцев. Основы квантовой механики. М., Наука, 1983.

4. А.А.Соколов, Ю.М.Лоскутов, И.М.Тернов. Квантовая механика. М.,

Просвещение, 1965.

5. А.А. Соколов, И.М. Тернов, В.Ч. Жуковский. Квантовая механика. М.,

Наука, 1979.

6. А.Мессиа. Квантовая механика. т.1,2. Hayкa, 1978.

Часть 2. Математическая физика.

Математический анализ.

Производные и дифференциалы функций одной и нескольких переменных. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях. Формула Тейлора.
Числовые и функциональные ряды. Признаки сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Ряд и интеграл Фурье.
Основные понятия теории скалярных и векторных полей. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса.

Литература:

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I и II. Изд-во «Наука».

Линейная алгебра.

Алгебра матриц.
Конечномерные линейные пространства.
Линейные операторы.
Евклидово пространство. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
Билинейные и квадратичные формы.
Группы.
Тензоры.

Литература:

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Изд-во «Наука».

Теория функций комплексного переменного.

Интеграл по кривой на комплексной плоскости. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
Понятие аналитической функции и ее основные свойства. Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема Тейлора.
Ряды Лорана. Понятие вычета. Теорема о вычетах. Особые точки.
Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов. Лемма Жордана.
Конформные отображения.

Литература:

Тихонов А.Н., Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука. 2003 г.

Интегральные уравнения.

Собственные значения и собственные векторы симметричного вполне непрерывного оператора.
Однородное уравнение Фредгольма второго рода. Теорема Гильберта-Шмидта.
Краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача Штурма-Лиувилля). Теорема Стеклова.
Неоднородные уравнения Фредгольма второго рода. Принцип сжимающих отображений. Теоремы Фредгольма.
Уравнения Вольтерра. Метод последовательных приближений.

Литература:

Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.: Физматлит. 2002.

Вариационное исчисление.

Необходимое условие экстремума функционала.
Вариационная задача с закрепленными границами. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Достаточные условия экстремума функционала.
Изопериметрическая задача и задача Лагранжа (постановка задач, необходимое условие экстремума).
Задача с подвижной границей, условие трансверсальности.

Литература:

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС, 2000.

Дифференциальные уравнения.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Существование и единственность решения. Зависимость его от начальных условий и параметров.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение однородного уравнения. Методы построения частного решения неоднородного уравнения. Функция Коши. Уравнения с постоянными коэффициентами.
Системы линейных дифференциальных уравнений. Общее решение однородной системы. Решение неоднородной системы линейных уравнений. Матрица Коши. Системы уравнений с постоянными коэффициентами.
Краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Функция Грина и ее свойства.
Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Задача Коши.

Литература:

Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2002.

Методы математической физики

1. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных.

2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка.

3. Общая схема метода разделения переменных.

4. Специальные функции математической физики.

5. Теоремы единственности и существования решения краевых задач для оператора Лапласа. Формулы Грина. Функция Грина для оператора Лапласа. Уравнение Гельмгольца в ограниченной и неограниченной областях.

6. Принцип максимума для уравнения параболического типа. Теорема единственности решения внутренних краевых задач для уравнения теплопроводности. Теорема существования решения уравнения теплопроводности на отрезке. Уравнение теплопроводности на бесконечной и полубесконечной прямой.

7. Теоремы единственности и существования решения краевых задач для уравнения колебаний в ограниченной области. Уравнение колебаний на бесконечной и полубесконечной прямой. Распространение волн в пространстве.

Литература:

А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1999.

А.Г.Свешников, А.Н.Боголюбов, В.В.Кравцов. Лекции по математической физике. М.: Изд-во Московского ун-та. Изд-во Наука, 2004

Основы математического моделирования

1. Основные этапы метода математического моделирования. Прямые и обратные задачи математического моделирования.

2. Некоторые классические модели математической физики; задача Гурса, общая задача Коши, задача Стефана. Задачи математической теории дифракции.

3. Математические модели процессов нелинейной теплопроводности и горения. Автомодельные решения. Математические модели теории нелинейных волн.

4. Вариационные методы решения краевых задач. Метод Ритца. Метод Галеркина. Метод конечных разностей. Явные и неявные схемы. Экономичные разностные схемы. Метод конечных элементов. Асимптотические методы. Метод малого параметра. Регулярные и сингулярные возмущения. Метод усреднения Крылов- Боголюбова.

Литература:

А.А.Самарский, А.П.Михайлов. Математическое моделирование. М.: Наука. Физматлит. 1997.

А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1999.

А.Г.Свешников, А.Н.Боголюбов, В.В.Кравцов. Лекции по математической физике. М.: Изд-во Московского ун-та. Изд-во Наука, 2004.

А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

Blog