Программа государственного квалификационного экзамена по дисциплине «Математическая физика и математическое моделирование» по магистерской программе 010652 «Математическая физика и математическое моделирование»

Вид материала

Программа

Содержание Список литературы

Подобный материал:

• Аннотация магистерской программы, 62.53kb.
• Программа вступительного испытания собеседования для магистерской программы «математическое, 67.11kb.
• Программа дисциплины имитационное моделирование в экономике для направления 080100., 228.47kb.
• Программа дисциплины «Математическое моделирование в менеджменте», 242.16kb.
• Магистерская программа «Математическая физика и математическое моделирование» по направлению, 32.35kb.
• Рабочая программа спец курса «Численные методы и математическое моделирование» Специальность, 53.73kb.
• Вестник Брянского государственного технического университета. 2007. №4(16) математическое, 61.09kb.
• Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «численные методы и математическое, 428.92kb.
• Омус-2012 Ключевые слова: , 13.52kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины ф тпу 1 21/01 федеральное агентство по образованию, 85.92kb.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Факультет нано-, био-, информационных и когнитивных технологий


УТВЕРЖДАЮ

Ректор МФТИ

Член-корр. РАН

Н.Н. Кудрявцев

   200 г.


Программа государственного квалификационного экзамена по дисциплине «Математическая физика и математическое моделирование» по магистерской программе 010652 «Математическая физика и математическое моделирование»


1. Самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве. Собственные значения и собственные векторы. Нормальная форма матрицы самосопряженного, унитарного и ортогонального преобразования.

2. Группы SL(2), SU(2) и SO(3). Углы Эйлера.

3. Формула Стокса – Пуанкаре. Векторные поля и соответствующие им формы. Поток и циркуляция векторного поля. Дивергенция и ротор. Классические формулы Грина, Стокса и Остроградского – Гаусса.

4. Формула Тейлора для дифференцируемых функций одной и нескольких переменных. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Степенные ряды. Круг и радиус сходимости. Формула Коши – Адамара.

5. Геометрический смысл модуля и аргумента комплексной производной. Конформные отображения элементарными и дробно-линейными функциями. Представление аналитической функции рядом Лорана в окрестности ее особой точки. Теорема о вычетах и ее применение к вычислению интегралов.

6. Ряды Фурье. Теорема о сходимости рядов Фурье для кусочно-гладких функций. Преобразование Фурье и формула обращения. Преобразование Фурье δ-функции, ее производных, полиномов.

7. Гильбертовы пространства. Спектр и резольвентное множество ограниченного оператора. Свойства спектра самосопряженного оператора. Спектр унитарного оператора. Теорема Гильберта–Шмидта. Теоремы Фредгольма.

8. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Пространство решений и его разложение в прямую сумму инвариантых подпространств. Фундаментальная система решений. Общее решение. Неоднородные системы уравнений с правой частью в виде квазимногочлена.

9. Линейные дифференциальные однородные системы уравнений с  переменными коэффициентами: теорема о продолжении решений. Фундаментальная система решений, определитель Вронского. Теория Флоке - Ляпунова: общий вид фундаментальной матрицы линейной периодической системы,  приводимость к системе с  постоянными коэффициентами. Блоховские собственные функции одномерного уравнения Шредингера с периодическим потенциалом.

10. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа на экстремум. Принцип максимума Понтрягина (без доказательства) и примеры его применения. Необходимые условия слабого и сильного минимума в классической задаче вариационного исчисления.

11. Задачи Коши для нестационарных уравнений Гамильтона–Якоби и переноса. Достаточные условия существования и единственности гладкого решения. Алгоритм решения.

12. Фундаментальное решение (функция Грина) и решение задачи Коши для неоднородных волнового уравнения и уравнения теплопроводности в пространстве. Формулы Даламбера, Кирхгофа и Пуасcона. Принцип Дюамеля.

13. Общая схема метода разделения переменных в задачах для уравнения Лапласа, волнового уравнения и уравнения теплопроводности.

14. Приближенные (асимптотические) методы решения уравнений математической физики. Квазиклассическое приближение для многомерного нестационарного уравнения Шредингера (метод ВКБ).

15. Центральная предельная теорема. Теорема Бохнера-Хинчина. Методы наименьших квадратов и наибольшего правдоподобия.

16. Понятие об интерполяционных квадратурных формулах. Основные понятия теории разностных схем (сеточные функции, аппроксимация, устойчивость сходимость).


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1979. 2. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1970. 3. Кострикин А.И. Введение в алгебру.  М.: Наука, 1977. 4. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 1970. 5. Зорич В.А. Математический анализ. – М.: Наука, 1981. 6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. – М: Наука, 1987. 7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. третье. – М.: Наука, 1984. 8. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. шестое. – М.: Наука, 1970. 9. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Изд. четвертое. – М.: Наука, 1973. 10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. 11. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.  М.: Наука, 1977. 12. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961. 13. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.  М.: Наука, 1983. 14. Багров В. Г., Белов В. В., Задорожный В.Н., Трифонов А. Ю. Методы математической физики. IV. Уравнения математической физики.  Томск: Изд-во НТЛ, 2002. 15. Белов В. В., Доброхотов С. Ю., Синицын С. О. Конспекты лекций по математическим методам физики. Тетрадь 1. Уравнения в частных производных первого порядка: аналитическая и геометрическая теория. Элементы теории катастроф.  Уч. пособие под редакцией В. В. Белова и С. Ю. Доброхотова.  М.: Издательско-производственный комплекс ФГУ РНЦ «Курчатовский институт», 2004. 16. Белов В. В., Воробьев Е. М. Сборник задач по дополнительным главам математической физики.  М.: Высшая школа, 1978. 17. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.  М.: Наука, 1976. 18. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. – М.: УРСС, 1986. 19. Арутюнов А.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М., Принцип максимума Понтрягина. – М.: 2007. 20. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. – М.: Наука, 1989. 21. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы, 6-е изд. БИНОМ, 2008.

Программа утверждена на заседании Ученого Совета ФНБИК от ______________ 200

Председатель Ученого Совета ФНБИК М.В. Ковальчук