Geum.ru

Фгоу впо «академия гражданской защиты мчс россии» перечень вопросов аттестационного испытания по дисциплине

Вид материалаДокументы

Содержание


Тема 2. матрицы, определители и системы линейных алгебраических уравнений
Тема 3. элементы аналитической геометрии
Тема 4. введение в анализ
Тема 5. дифференциальное исчисление
Тема 6. определённый интеграл и его приложения
Тема 7. линейное программирование
Тема 8. основные теоремы теории вероятностей
Тема 9. случайные величины и законы их
Тема 10. обработка экспериментальных данных
Министерство российской федерации
Фгоу впо «академия гражданской защиты»
I. целевая установка и организационно-методические
Иметь представление
Ii. распределение учебного времени по семестрам
Номера и наименования
Из них по видам учебных занятий
Самостоятельная работа обучаемых
Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Раздел 2. Функции и их пределы
Итого за семестр
...
Полное содержание
Подобный материал:
ФГОУ ВПО «АКАДЕМИЯ ГРАЖДАНСКОЙ ЗАЩИТЫ МЧС РОССИИ»


ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ

аттестационного испытания по дисциплине


«МАТЕМАТИКА»


Специальность: «Государственное и муниципальное управление»


ХИМКИ - 2010


ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

  1. Предмет математики. Роль и место математики в современном мире. Работа студентов по изучению математики.
  2. Вещественные числа. Числовые множества.
  3. Понятие вектора. Операции над векторами.
  4. Коллинеарные и компланарные векторы. Базис в R2 и R3. Координаты вектора. Действия над векторами в координатной форме.
  5. Орт вектора, направляющие косинусы.
  6. Проекция вектора на ось.
  7. Скалярное произведение, его свойства. Вычисление в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов.
  8. Ориентация векторов в пространстве. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Вычисление в координатной форме. Условие коллинеарности и компланарности векторов.
  9. Линейное пространство.
  10. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.
  11. Базис и размерность линейного пространства.
  12. Евклидово пространство.


ТЕМА 2. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

  1. Определители 2-го и 3-го порядков, их свойства
  2. Определители n-ого порядка. Миноры и алгебраические дополнения.
  3. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу).
  4. Матрицы, действия с ними.
  5. Обратная матрица. Матричные уравнения.
  6. Ранг матрицы, его вычисление.
  7. Системы 2-х и 3-х линейных уравнений. Правило Крамера.
  8. Системы n уравнений с m неизвестными. Матричная запись системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли (без док.)
  9. Метод Гаусса.
  10. Линейные преобразования, матрица линейного преобразования.
  11. Комплексные числа. Многочлены в комплексной области.
  12. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.
  13. Модель международной торговли. Балансовые модели.


ТЕМА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

  1. Предмет аналитической геометрии.
  2. Метод координат. Прямолинейные декартовые и полярные координаты.
  3. Уравнения линий на плоскости. Различные уравнения прямой на плоскости.
  4. Условия параллельности и перпендикулярности, угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
  5. Уравнение плоскости.
  6. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, угол между ними.
  7. Уравнения прямой в пространстве, взаимный переход между ними.
  8. Взаимное расположение двух прямых, угол между ними.
  9. Взаимное расположение плоскости и прямой, угол между ними.
  10. Расстояния от точки до плоскости, до прямой.
  11. Типовые задачи.
  12. Точечные пространства.
  13. Координаты в конечномерном точечном пространстве.
  14. Прямая в n-мерном пространстве.
  15. Плоскость в n-мерном пространстве.
  16. Расстояние от точки до гиперплоскости.
  17. Выпуклые множества.
  18. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.
  19. Общее уравнение кривой второго порядка.
  20. Уравнение поверхности в пространстве.
  21. Сфера, цилиндрические и конические поверхности, их геометрические свойства и уравнения.
  22. Поверхности вращения.
  23. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды. Изучение геометрических свойств методом сечений.


ТЕМА 4. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

  1. Множества, основные понятия.
  2. Функция, способы задания.
  3. Обратная и сложная функция.
  4. Классификация элементарных функций
  5. Графики основных элементарных функций.
  6. Числовая последовательность, определение предела.
  7. Бесконечно большие последовательности.
  8. Единственность предела.
  9. Ограниченность сходящейся последовательности.
  10. Теорема о монотонной ограниченной последовательности. Число е.
  11. Предел функции в точке и на бесконечности.
  12. Бесконечно малые функции, их свойства.
  13. Связь функции, имеющей предел, с бесконечно малой функцией.
  14. Арифметические операции над пределами.
  15. Предел рациональной функции в точке и на бесконечности.
  16. Предел функции, вычисление по определению
  17. Свойства функций, имеющих предел.
  18. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций.
  19. Непрерывность элементарных функций.
  20. Первый и второй замечательные пределы, следствия из них.
  21. Сравнение функций. Символы "о" и "О".
  22. Односторонние пределы, их связь с пределом функции. Точки разрыва, их классификация. Лемма Больцано-Вейерштрасса
  23. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
  24. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши.



ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

  1. Производная. Дифференцируемость функции в точке, дифференциал. Условие дифференцируемости функции.
  2. Геометрический смысл производной.
  3. Правила дифференцирования.
  4. Производная обратной и сложной функции.
  5. Логарифмическое дифференцирование.
  6. Производные основных элементарных функций.
  7. Производные параметрической и неявной функции.
  8. Дифференциал и приближённые вычисления.
  9. Основные теоремы дифференциального исчисления.
  10. Правило Лопиталя.
  11. Производные и дифференциалы высших порядков.
  12. Формула Тейлора.
  13. Применение формулы Тейлора для вычисления пределов и значений функций.
  14. Возрастающая и убывающая функция. Необходимый и достаточный признаки монотонности функции.
  15. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
  16. Схема исследования функции на монотонность и на наличие экстремумов.
  17. Направление выпуклости графика функции. Достаточные условия выпуклости графика функции.
  18. Точки перегиба. Достаточное условие существование точек перегиба. Необходимое условие существования точек перегиба.
  19. Схема исследования функции на выпуклость графика и на наличие точек перегиба.
  20. Точки разрыва графика функции, их классификация. Асимптоты графика функции.
  21. Определение функции двух и многих переменных, её область определения и область значений.
  22. Предел функции в точке, повторные пределы.
  23. Условия непрерывности функции в точке.
  24. Частные производные и их геометрический смысл.
  25. Полный дифференциал.
  26. Дифференцирования сложной функции.
  27. Производная по направлению и градиент.
  28. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
  29. Определение экстремума. Необходимое и достаточное условия экстремума.
  30. Условный экстремум. Необходимое и достаточное условия условного экстремума.


ТЕМА 6. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

  1. Задачи, приводящие к определённому интегралу.
  2. Определённый интеграл, определение и существование.
  3. Свойства определённого интеграла.
  4. Определённый интеграл с переменным верхним пределом.
  5. Первообразная. Теорема о множестве первообразных.
  6. Формула Ньютона-Лейбница.
  7. Неопределённый интеграл и его свойства.
  8. Таблица основных интегралов.
  9. Простейшие приёмы интегрирования.
  10. Основные методы интегрирования (замена переменной и по частям).
  11. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби.
  12. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Метод неопределённых коэффициентов.
  13. Интегрирование рациональных дробей.
  14. Интегрирование иррациональных выражений.
  15. Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
  16. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Основные свойства и признаки сходимости.
  17. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Основные свойства и признаки сходимости.
  18. Приложения определённого интеграла.



ТЕМА 7. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

  1. Постановка общей задачи линейного программирования (ЗЛП) и формы записи ЗЛП.
  2. Графический метод решения ЗЛП.
  3. Дополнительные переменные.
  4. Анализ чувствительности.
  5. Решение ЗЛП симплекс-методом.
  6. Взаимно двойственные задачи ЛП.
  7. Основные теоремы двойственности.
  8. Применение двойственности к решению ЗЛП.
  9. Транспортная задача, общая постановка, цели и задачи.
  10. Методы составления начального (опорного) плана.
  11. Метод потенциалов.


ТЕМА 8. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

  1. Различные определение вероятности событий.
  2. Теорема сложения вероятностей
  3. Условная вероятность
  4. Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий
  5. Теорема умножения вероятностей двух независимых событий
  6. Формула полной вероятности
  7. Формула Байеса
  8. Формулы Бернулли и Пуассона.


ТЕМА 9. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ


20. Понятие случайной величины. Функция распределения и её свойства. Числовые характеристики случайной величины.

21. Законы распределения дискретной случайных величин (биномиальное распределение, распределение Пуассона) и их числовые характеристики.

22. Законы распределения непрерывной случайных величин (равномерное распределение, экспоненциальное (показательное) распределение, нормальное распределение) и их числовые характеристики.


ТЕМА 10. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ


23. Основные понятия математической статистики: предмет и задачи, генеральная совокупность, выборка, полигон, гистограмма.

24. Числовые характеристики статистических данных ограниченного объёма.

25. Основные распределения в математической статистике.

26. Точечные оценки параметров распределения.

27. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.

28. Проверка гипотезы о виде закона распределения случайной величины.

29. Сравнение выборочных параметров распределения с параметрами генеральной совокупности.

30. Понятие корреляционной зависимости.

31. Показатели тесноты связи между количественными показателями.

32. Уравнение регрессии: парная и множественная корреляция.

33. Оценка значимости коэффициентов регрессии.


МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ

И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ

_______________________________________________________________


ФГОУ ВПО «АКАДЕМИЯ ГРАЖДАНСКОЙ ЗАЩИТЫ»


У Ч Е Б Н А Я П Р О Г Р А М М А


ПО ДИСЦИПЛИНЕ


" МАТЕМАТИКА"


ХИМКИ – 2009 г.


I. ЦЕЛЕВАЯ УСТАНОВКА И ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ

УКАЗАНИЯ


Дисциплина входит в цикл фундаментальной естественно - научной под­готовки специалистов и ее роль состоит в предварительной подготовке будущих инженерных и научных кадров.

Основная цель дисциплины - формирование у студентов представлений о высшей математике в целом, и о методах исследований, как в самой математике, так и применении к другим разделам науки и техники.

Общие задачи дисциплины:

приобретение знаний об основных понятиях, законах и методах раз­личных разделов математики;

формирование навыков математического исследования аналитического и прикладного характеров, методов математической формализации различ­ных процессов и явлений в природе и решении поставленных математичес­ких моделей соответствующими методами, созданными в различных разделах математики;

обучение математическому анализу полученных решений, по которым можно дать необходимые рекомендации или произвести численный расчет конструкторских разработок.

Главная задача обучения студентов состоит в том, чтобы на основе учебных лекционных, семинарских и практических занятий обучить студентов проводить математический анализ различных процессов и явлений при­роды, систем техники; решать задачи расчета и прогнозирование пара­метров в различных системах науки и техники.

В результате изучения дисциплины студенты должны

Иметь представление:

о математике как особом способе познания мира, общности ее

понятий и представлений;

о математических методах принятия решений;

о математическом моделировании;

Знать:

математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики;

математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;

вероятностные модели для конкретных процессов и проводить необходимые расчеты в рамках построенной модели;

Уметь:

употреблять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

составлять вероятностные модели для конкретных процессов и проводить необходимые расчёты в рамках построенной модели;

использовать основные приемы обработки экспериментальных данных;

аналитически и численно решать алгебраические уравнения;

вычислять интегралы, решать дифференциальные уравнения;

использовать методы дифференциального и интегрального исчислений для решения задач практики;

исследования различных функциональных зависимостей в практических задачах;

применения различных численных и аналитических математических методов.

Содержание дисциплины базируется на знаниях математических дисциплин, изучаемых в средних учебных заведениях.

Дисциплина «Высшая математика» рассчитана на изучение в течение четырех семестров. Программа определяет основное содержание тем и разделов курса математики, подлежащих изучению. Последовательность изложения и распределения тем и разделов по семестрам разработана исходя из задач своевременного математического обеспечения дисциплин учебного плана и сохранения логической стройности и завершенности самих тем и разделов. Степень углубленного изучения отдельных тем, содержание лекций и практических занятий определены с учетом будущей специальности выпускников и потребностей в математическом аппарате других дисциплин.

Студенты применяют знания, полученные при изучении дисциплины «Высшая математика», на кафедрах «Пожарной безопасности», при изучении дисциплин «Пожаровзрывозащита» и «Безопасность жизнедеятельности», «Эксплуатация вооружения и техники», а так же на кафедрах «Физики», «Общенаучных дисциплин», «Устойчивости экономики и жизнеобеспечения» для проведения исследований устойчивости работы объектов народного хозяйства.

На лекциях по математике излагается содержание курса, проводится детальный анализ основных понятий и методов. Чтение лекций сопровождается рассмотрением примеров, иллюстрирующих основные положения изучаемой теории. Лектор обязан четко и доступно излагать содержание курса математики, вполне допустимо вместо строгих доказательств предлагать студентам так называемые правдоподобные рассуждения, если они превосходят строгие доказательства своей наглядностью и формируют правильные интуитивные представления.

На практических занятиях по высшей математике студенты овладевают основными методами и приемами решения математических задач, а также получают разъяснения теоретических положений курса. Практические занятия в системе математического образования имеют особенно важное значение как для изучения студентами общеинженерных и военно-специальных дисциплин, так и для последующей их профессиональной деятельности. При проведении практических занятий следует уделять особое внимание развитию у студентов навыков техники вычислений. Часть практических занятий носит характер тренировок по отработке навыков применения того или иного метода. Эти занятия, как правило, проводятся с использованием электронно-вычислительных средств.

Важным фактором усвоения курса математики и овладения ее методами является самостоятельная работа студентов. Она состоит из непрерывной работы по самостоятельному изучению дисциплины, выполнения текущих (на протяжении недели) практических и теоретических заданий.

При необходимости отдельные вопросы программы предлагаются преподавателем на самостоятельную проработку, если они достаточно полно и понятно изложены в имеющихся у студентов учебных пособиях.

Программа дисциплины «Высшая математика» предусматривает выполнение студентами двух курсовых работ во 2-ом и 4-ом семестре, которые имеют следующие цели:
  • закрепление и расширение теоретических знаний студентов по основным разделам курса;
  • развитие и закрепление навыков решения основных типов прикладных задач, ориентированных на специализацию;
  • закрепление навыков использования современной вычислительной техники при решении прикладных задач.

Задания на курсовую работу должны быть индивидуальными. Формулировка задач должна носить прикладной характер. В целом такая работа является важнейшим средством усиления прикладной направленности дисциплины, существенно повышает интерес студентов к математике, активизирует их самостоятельную работу, создает творческую атмосферу в учебных группах. В процессе выполнения курсовой работы студент убеждается в том, что математика является необходимым и действенным средством решения многочисленных военно-профессиональных задач.

Выполнение курсовой работы заканчивается оформлением отчета и защитой, по итогам которой выставляется зачет с оценкой.

Результативность самостоятельной работы студентов обеспечивается эффективной системой текущего и итогового контроля.

Текущий контроль включает опрос студентов по содержанию лекций на практических занятиях, проверку выполнения текущих заданий, проведение и проверку аудиторных и домашних контрольных работ.

Итоговый контроль знаний студентов осуществляется в конце первого и третьего семестров на зачете с оценкой, а в конце второго и четвертого семестров – на экзамене. Студенты, не выполнившие требования текущего контроля, не допускаются к итоговому контролю.


II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНОГО ВРЕМЕНИ ПО СЕМЕСТРАМ,

ТЕМАМ И ВИДАМ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ


Номера

и наименования

разделов и тем
Всего часов учеб-ных заня-тий
В том числе учеб-ных занятий с препо-дава-телем
Из них по видам учебных занятий

лек-ции
се-ми-на-ры
практи-ческие занятия
конт-роль-ные работы
Курсовые работы
Самостоятельная работа обучаемых

1
2
3
4
5
6
7
8
9

1 СЕМЕСТР

Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
96
56
22
-
28
6
-
40

Тема 1. Элементы линейной алгебры
26
16
6
-
8
2
-
10

Тема 2. Элементы векторной алгебры. Векторные пространства и линейные отображения
24
14
6
-
6
2
-
10

Тема 3. Аналитическая геометрия. Многомерная евклидова геометрия
46
26
10
-
14
2
-
20

Раздел 2. Функции и их пределы
24
14
6



8



-
10

Тема 4. Пределы
24
14
6
-
8
-
-
10

Итого за семестр
120
70
28
-
36
6
-
50

2 СЕМЕСТР

Раздел 3. Дифференци-альное исчисление
46
26
10
2
8
2
4
20

Тема 5. Производная функции
32
18
6
2
6
2
2
14

Тема 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

14
8
4
-
2
-
2
6

Раздел 4. Исследование функций
20
12
6
2
4
-
-
8

Тема 7. Исследование функций с помощью производных. Элементы теории функций и функ-ционального анализа.

20
12
6
2
4
-
-
8

Тема 8. Численные методы

10
6
4
-
2
-
-
4

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Раздел 5. Комплексные числа и элементы теории функций комплексной переменной
10
6
4
-
2
-
-
4

Тема 9. Комплексные числа и многочлены
10
6
4



2






4

Раздел 6. Ряды
50
28
12
-
12
2
2
22

Тема 10. Числовые ряды
22
12
4
-
6
-
2
10

Тема 11. Степенные ряды
18
10
4
-
4
2



8

Итого

за 2-ой семестр
126
72
32
4
26
4
6
54

3 СЕМЕСТР

Раздел 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
72
36
14
-
18
4
-
36

Тема 12. Первообразная и неопределенный интеграл
44
22
8
-
12
2
-
22

Тема 13. Определенный интеграл
28
14
6
-
6
2
-
14

Раздел 8. Функции многих переменных
28
14
6
-
6
2
-
14

Тема 14. Функции многих переменных

28
14
6
-
6
2
-
14

Раздел 9. Кратные и криволинейные интегралы, теория поля
8
4
2
-
2
-
-
4

Тема 15. Кратные интегралы, теория поля
8
4
2
-
2
-
-
4

Раздел 10. Дифференци-альные уравнения
48
24
10
-
12
2
-
24

Тема 16. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
24
12
6
-
6
-
-
12

Тема 17. Дифференциаль-ные уравнения высших порядков. Численное интегрирование уравнений
24
12
4
-
6
2
-
12

Итого за семестр
156
78
32
-
38
8
-
78




1
2
3
4
5
6
7
8
9

4 СЕМЕСТР

Раздел 11. Дискретная математика
20
10
6
2
2
-
-
10

Тема 18. Элементы теории множеств, общий алгебры и математической логики.

8
4
4
-
-
-
-
4

Тема 19. Комбинаторика. Теория алгоритмов, языки и грамматика, автоматы

12
6
2
2
2
-
-
6

Раздел 12. Теория вероятностей и случайные процессы
72
36
14
-
14
4
4
36

Тема 20. Случайные события и вероятность
8
4
2
-
2
-
-
4

Тема 21. Основные теоремы теории вероятностей.
20
10
4
-
4
-
2
10

Тема 22. Последовательные независимые испытания
12
6
2
-
2
2
-
6

Тема 23. Одномерные рас-пределения вероятностей. Теория случайных процессов
32
16
6
-
6
2
2
16

Раздел 13. Основы мате-матической статистики
16
8
4
-
2
-
2
8

Тема 24. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения. Статисти-ческая проверка гипотез
16
8
4
-
2
-
2
8

Итого

за 4-ый семестр
108
54
24
2
18
4
6
54

Всего

по дисциплине
510
274
116
6
118
22
12
236


III. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ И ТЕМ


Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия


Тема 1. Элементы линейной алгебры


Цель, задачи и предмет изучения. Роль математики и её место в системе подготовки командно-инженерных кадров. Последовательность контроля занятий, сдачи зачетов и требований к экзамену; рекомендации по изучению дисциплины и самостоятельной работе над учебным материалом.

Структура математики и её языка. Классический, новый и современный периоды развития математики; связь математики с другими науками и техникой. Объекты исследования в математике и методы исследований в естественных науках и технике. Понятие математического моделирования различных процессов и явлений. Математические теории. Научный метод. Законы. Поиски новых математических теорий.

Определители второго и третьего порядка. Миноры. Алгебраические дополнения. Метод Крамера.

Матрицы и действия с ними. Элементарные преобразования и метод Гаусса приведения матрицы к диагональной форме.

Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора как направленного отрезка. Нуль-вектор, единый вектор (орт.). Коллинеарные и компланарные векторы. Ортогональная проекция векторов на направление. Теорема о проекциях (доказать самостоятельно).


Тема 2. Элементы векторной алгебры. Векторные пространства и линейные отображения


Векторы и действия с ними. Линейные операции над векторами. Базисы. Проекция вектора на ось. Декартов базис. Декартовы координаты вектора и точки. Линейные операции над векторами в координатной форме. Полярная система координат и формулы перехода к декартовой системе. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Векторные пространства и линейные отображения


Тема 3. Аналитическая геометрия. Многомерная евклидова геометрия


Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей. Кривые второго порядка на плоскости. Многомерная евклидова геометрия.


Раздел 2. Функции и их пределы


Тема 4. Пределы


Числовые последовательности и их пределы. Монотонные последовательности. Предел функции в точке. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность.


Раздел 3. Дифференциальное исчисление


Тема 5. Производная функции


Производная функции. Её определение и вычисление. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование.

Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента.


Тема 6. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение формулы Тейлора для вычисления пределов и приближённые вычисления. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Многочлены. Корни многочлена. Теорема Безу. Разложение многочлена.


Раздел 4. Исследование функций


Тема 7. Исследование функций с помощью производных Элементы теории функций и функционального анализа. Численные методы.


Исследование функций с помощью производных. Монотонность функции. Точки экстремума. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Односторонние пределы и классификация точек разрыва. Вертикальные асимптоты. Элементы теории функций и функционального анализа. Численное решение уравнений. Интерполяция и аппроксимация функций.


Тема 8. Численные методы.


Интерполяция и аппроксимация функций. Численное решение уравнений. Численные методы нахождения экстремумов функций.


Раздел 5. Комплексные числа и элементы теории функций комплексной переменной


Тема 9. Комплексные числа и многочлены.


Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действия с комплексными числами. Формула Муавра. Извлечение корней. Многочлены в комплексной области. Элементы теории функций комплексного переменного.


Раздел 6. Ряды


Тема 10. Числовые ряды


Числовые ряды. Сходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства сходящихся и расходящихся рядов (Почленное сложение рядов, умножение ряда на число, отбрасывание и перестановка конечного числа членов ряда). Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. абсолютная и условная сходимость. Структура рядов сходящихся условно. Их свойства. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка суммы и остатка ряда.


Тема 11. Степенные ряды


Степенные ряды. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Равномерная сходимость, непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора и Маклорена. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Маклорена. Применение степенных рядов для приближенного вычисления значений функций и определенных интервалов.


Раздел 7. Интегральное исчисление функций одной переменной


Тема 12. Первообразная и неопределенный интеграл


Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Замена переменных в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование иррациональных трансцендентных функций.


Тема 13. Определенный интеграл


Определенный интеграл: определение и свойства. Теорема о среднем. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям. Геометрические и физические приложения определенных интегралов.


Раздел 8. Функции многих переменных


Тема 14. Функции многих переменных


Функции многих переменных: определение. Область определения функции многих переменных. Связность. Окрестности точки. Предел функции в точке, повторные пределы. Условие непрерывности функции в точке. Частные производные. Полный дифференциал. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент. Квадратичные формы. Знакоопределённость квадратичной формы. Экстремум функции многих переменных. Условный экстремум. Основные понятия дифференциальной геометрии кривых поверхностей. Элементы топологии.


Раздел 9. Кратные и криволинейные интегралы, теория поля


Тема 15. Кратные интегралы, теория поля


Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Повторные интегралы. Сведение двойного интеграла к повторному. Двойной интеграл в полярной системе координат. Задачи, приводящие к понятию тройного интеграла. Свойства тройного интеграла и его вычисление. Элементы теории поля, основные формулы и теоремы.


Раздел 10. Дифференциальные уравнения


Тема 16. Дифференциальные уравнения 1-го порядка


Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение первого порядка, его решение (частное и общее). Интегральные кривые. Начальная задача (задача Коши) и её геометрическая интерпретация. Интегрирование некоторых типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, с однородной правой частью, линейных и уравнений типа Бернулли. Изоклины и их применение к геометрическому решению дифференциальных уравнений 1-го порядка.


Тема 17. Дифференциальные уравнения высших порядков. Численное интегрирование дифференциальных уравнений


Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, частные и общие решения. Однородные и линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Численное интегрирование дифференциальных уравнений. Конечные разности и разностные уравнения.


Раздел 11. Дискретная математика


Тема 18. Элементы теории множеств, общей алгебры и математической логики. Алгебраические структуры. Булевы алгебры


Множества, операции над множествами и их свойства. Мощность множеств. Алгебра Кантора. Алгебра высказываний. Функции алгебры логики. Логические исчисления. Основные алгебраические структуры.


Тема 19. Комбинаторика. Теория алгоритмов, языки и грамматика, автоматы


Размещения, перестановки, сочетания и их свойства. Теория алгоритмов, языки и грамматика, автоматы.


Раздел 12. Теория вероятностей и случайные процессы


Тема 20. Случайные события и вероятность


Случайные события. Схемы событий. Вероятность случайного события. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность. Статистическое определение вероятности. Представление вероятностных моделей.


Тема 21. Основные теоремы теории вероятностей.


Алгебра вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса.


Тема 22. Последовательные независимые испытания.


Теорема Бернулли и её обобщения. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Лапласа.


Тема 23. Одномерные распределения вероятностей. Теория случайных процессов.


Одномерные случайные величины. Дискретные и непрерывные величины. Одномерные распределения вероятностей случайных величин. Функция и плотность распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных величин. Функции от случайных величин, замена переменных, сходимость по вероятности. Специальные распределения вероятностей. Предельные теоремы. Специальные методы решения вероятностных задач. Элементы теории случайных процессов. Типы случайных процессов, корреляционные функции и спектральные плотности.


Раздел 13. Основы математической статистики


Тема 24. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения. Статистическая проверка гипотез.


Статистические методы, статистическое описание. Определение и вычисление статистик случайной выборки. Точечные и интервальные оценки параметров. Типовые распределения. Проверка статистических гипотез. Многомерные распределения. Статистика и измерения случайного процесса. Примеры задач.