Geum.ru

Г. С. Смирнова проф. С. С. Демидов, ст н. с. С. С. Петрова 1/2 года, 4 курс, отделение математики 1 лекция

Вид материалаЛекция
Подобный материал:

ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ


доц. А.В. Дорофеева, доц. Г.С. Смирнова

проф. С.С. Демидов, ст.н.с. С.С. Петрова

1/2 года, 4 курс, отделение математики

1 лекция.
  • Предмет истории и методологии математики и методы, в ней применяемые. Историко-математическая литература  учебная и научная. Общий взгляд на развитие математики с древности до середины XX в. Периодизация А.Н. Колмогорова.
  • Истоки математических знаний. Первоначальные представления о числе и фигурах. Системы счисления.


2 лекция. Математика в догреческих цивилизациях.
  • Древний Египет. Источники. Арифметические и геометрические знания.
  • Древний Вавилон. Источники. Арифметика и числовая “алгебра”. Алгоритмический характер вавилонской математики. Геометрические знания. Теорема Пифагора.


3 лекция. Математика Древней Греции.
  • Панорама развития математики в Древней Греции и в эпоху эллинизма. Источники. Главные действующие лица.
  • Рождение математики как теоретической науки. Пифагорейцы. Открытие несоизмеримости. Геометрическая алгебра.


4 лекция. Математика Древней Греции.
  • Геометрическая алгебра (продолжение: Знаменитые задачи древности  удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга).

Экскурс: число, история понятия трансцендентного числа от древности до решения седьмой проблемы Гильберта.


5 лекция. Математика Древней Греции.
  • Аксиоматическое построение математики в “Началах” Евклида. Содержание “Начал”. Теория отношений Евдокса. Сравнение ее с теорией сечений Дедекинда. Теория правильных многогранников. “Начала” и диалог Платона “Тимей”.

Экскурс: развитие аксиоматического метода от Евклида до Гильберта.


6 лекция. Математика Древней Греции.
  • Апории Зенона  парадоксы бесконечности и движения.
  • Инфинитезимальные методы античности. Метод неделимых. Метод исчерпывания Евдокса. Биография Архимеда. Метод интегральных сумм Архимеда. Дифференциальные методы Архимеда.


7 лекция. Математика Древней Греции.
  • “Конические сечения” Аполлония. Вывод симптома параболы у Менехма и у Аполлония.

Экскурс: внешние и внутренние факторы, определяющие развитие математики, роль практики и внутренней логики в ее развитии; конические сечения в истории небесной механики (И. Кеплер, И. Ньютон).


8 лекция. Математика Древней Греции.
  • Математика первых веков Новой эры. Герон и Птолемей. Диофант Александрийский и его “Арифметика”. Введение буквенной символики для неизвестного и его степеней. Первая запись алгебраических уравнений. Методы Диофанта.

Экскурс: Великая теорема Ферма  от Диофанта до Уайлса.

Замечание: Проблема интерпретации старинного математического текста.


9 лекция. Закат античной науки и математика в Средние века.
  • Панорама. Источники. Главные действующие лица. Особенности процесса развития математики на Средневековом Востоке, в Китае и Индии.
  • Математика арабского Востока. Ал-Хорезми и его трактат об индийском счете. Выделение алгебры в самостоятельную науку. Рождение тригонометрии.


10 лекция. Математика в Европе в Средние века и эпоху Возрождения.
  • Панорама.
  • Проблема решения алгебраических уравнений: расширение понятия числа, совершенствование символики, решение уравнений 3-й и 4-й степеней. “Алгебра” Рафаэля Бомбелли и введение комплексных чисел.
  • Франсуа Виет и создание буквенного исчисления. Начало общей теории алгебраических уравнений.


11 лекция. Математика и научно-техническая революция XVI-XVII вв.
  • Г. Галилей  И. Кеплер  И. Ньютон.
  • Новые формы организации науки  научные общества, академии, журналы.
  • Развитие вычислительных средств  открытие логарифмов.
  • Рождение аналитической геометрии. Биография Декарта.


12 лекция. Рождение математического анализа.
  • Биография И. Ньютона. Метод флюксий.
  • Биография Г.В. Лейбница. Исчисление Лейбница. Аппарат бесконечных рядов.


13 лекция. Развитие математического анализа в XVIII в.
  • Панорама. Ведущие действующие лица.
  • Биография Л. Эйлера. Математическая трилогия Эйлера. Классификация функций по Эйлеру.
  • Развитие понятия функции и спор о колебании струны и развития понятия решения (классического и обобщенного) уравнения с частными производными в XVIII  начале XX вв.


14 лекция. Алгебра XVIII века.
  • Доказательства основной теоремы алгебры у Даламбера и Эйлера. Критика Гаусса.
  • Проблема решения уравнений в радикалах. “Размышление об алгебраическом решении уравнений” Ж.Л. Лагранжа. Рассмотрение группы подстановок корней.
  • Доказательство неразрешимости уравнений 5-й степени в радикалах у П. Руф­фини и Н.Г. Абеля.


15 лекция. Математика XIX века.
  • Панорама. Организация математической жизни. Ведущие математические школы. Математические журналы и общества. Организация реферативных изданий и международных конгрессов.
  • Реформа математического анализа. Построение теории действительного числа. Рождение теории множеств. Открытие парадоксов.


16 лекция. Математика XIX века.
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения  задача интегрирования уравнений в квадратурах (результаты Лиувилля, общая теория С. Ли), реформа Коши  решение задачи Коши, его существование и единственность, аналитическая теория дифференциальных уравнений, рождение качественной теории. Биография А. Пуанкаре. Теория устойчивости Ляпунова.
  • Уравнения с частными производными  от общей геометрической теории к теории краевых задач.

Замечание: о моде в математике  об изменении отношения к геометрической теории к теории краевых задач.


17 лекция. Математика XIX века.
  • Теория функций комплексного переменного. Наследие XVIII в. Интерпретация комплексного числа. Теория О. Коши. Геометрическое направление Б. Римана. Теория аналитических функций К. Вейерштрасса.


18 лекция. Математика XIX века.
  • Предыстория создания неевклидовой геометрии. Биография Н.И. Лобачевского. Основные положения геометрии Лобачевского. Первые интерпретации.

Замечание: Об одновременных открытиях.


19 лекция. Математика XIX века.
  • Преобразование геометрии. Римановы геометрии.

Экскурс: риманова геометрия и рождение теории относительности.

Замечание: “непостижимая эффективность” математики в физических науках.
  • Классификация геометрических теорий  “Эрлангенская программа” Ф. Клейна.



20 лекция. Математика XIX-XX вв.
  • Эволюция алгебры. Принципы решения алгебраических уравнений у Гаусса, Абеля и Галуа. Биография К.Ф. Гаусса. Его “Арифметические исследования” и решение уравнений деления круга.
  • Вклад Абеля. Создание теории Галуа. Введение понятий группы и поля. Определение абстрактной группы у Кэли. Победное шествие теории групп. Ее применение в математическом анализе, геометрии, физике. Классификация Е.С. Федоровым кристаллов с помощью теории групп.
  • Формирование алгебры как науки об алгебраических структурах. Семинар Артина и Э. Нетер. “Современная алгебра” Ван дер Вардена.


21 лекция. Математика в России и в СССР.
  • Краткая справка о математических знаниях на Руси в допетровскую эпоху.
  • Основание Петербургской Академии наук и Московского университета. Реформы Александра I. М.В. Остроградский.
  • Реформы Александра II. Биография П.Л. Чебышева. Петербургская математическая школа П.Л. Чебышева.
  • Основание Московского математического общества. Московская философско-мате­ма­тическая школа.
  • Деятельность С.В. Ковалевской.


22 лекция. Математика в России и СССР.
  • Организация математической жизни в стране накануне Первой мировой войны. Математические центры и издания. Конфронтация Петербурга и Москвы. Рождение Московской школы теории функций.

Экскурс: влияние философской мысли на зарождение и развитие математических идей.
  • Становление математического сообщества после Октябрьской революции. Рождение Советской математической школы. “Дело академика Н.Н. Лузина”. Математические съезды и конференции. Организации и издания. Математическая жизнь к середине века. Ведущие математические центры. Биография А.Н. Колмогорова.


23 лекция. Математика XX века.
  • Международный математический конгресс в Париже (1900) и “Математические проблемы” Гильберта. Биография Д. Гильберта.
  • Основные этапы жизни математического сообщества (до первой мировой войны, между первой и второй мировыми войнами, после второй мировой войны). Математические конгрессы, международные организации. Издательская деятельность, премии. Ведущие математические школы и институты.
  • Кризис в основаниях математики в начале века, реакция на него: логизм, формализм, интуиционизм. Результаты К. Геделя и кризис программы обоснования математики Д. Гильберта. Возникновение группы Бурбаки, ее деятельность и идеология. Реакция на нее сообщества и современное положение. Экспансия информатики.

Литература


Учебник: Рыбников К.А. История математики. М., изд-во МГУ, 1994 или 1974.

Учебные пособия:

1. Башмакова И.Г., Смирнова Г.С. Возникновение и развитие алгебры.// Сб. “Очерки по истории математики”. М., изд-во МГУ, 1997.

2. Гнеденко Б.В. Развитие теории вероятностей.// Сб. “Очерки по истории математики”. М., изд-во МГУ, 1997.

3. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. ОГИЗ. М.-Л., 1946.

4. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М., Мир, 1987.

5. Демидов С.С., Петрова С.С. Развитие математического анализа.// Сб. “Очерки по истории математики”. М., изд-во МГУ, 1997.

6. Дорофеева А.В., Тихомиров В.М. История экстремальных задач и предыстория функционального анализа.// Сб. “Очерки по истории математики”. М., изд-во МГУ, 1997.

7. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 1-3. М., Наука, 1970-72.

8. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М., Наука, 1989.

9. Кузичева З.А. Становление и развитие математической логики.// Сб. “Очерки по истории математики”. М., изд-во МГУ, 1997.

10. Математика в Московском университете. Под редакцией К.А. Рыбникова. М., изд-во МГУ, 1992.

11. Рыбников К.А. Введению в методологию математики (тезисы лекций). М., изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 1995.

12. Рыбников К.А. Комбинаторный анализ (очерки истории). М., изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 1996.

13. Рыбников К.А. Математическое образование и наука в США. М., изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 1997.

14. Рыбников К.А. Математические модели конфликтных ситуаций. М., изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 1998.

15. Рыбников К.А. Математические модели конфликтов. М., изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 2000, 2001.

16. Рыбников К.А. Математические интерпретации. М., изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 2002.

17. Рыбников К.А. Математические инварианты. М., изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 2003.

18. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М., Наука, 1990.