Сервер Методического Обеспечения вгуэс

Вид материала

Реферат

Содержание В, если она существует, называется точной верхней границей В, если она существует, называется точной нижней границей

Подобный материал:

• Дипломная работа студента 545 группы, 334.18kb.
• Т. Н. Коржавина Принципы организации службы научного и методического обеспечения колледжа, 47.35kb.
• «sql*net», 239.02kb.
• Генезис развития теории и методики программно-методического обеспечения обучения, 145.89kb.
• Прозрачный прокси сервер на базе squid, ipfw и Freebsd, 8.5kb.
• Доклад «Три кита школьного образования: стандарты, учебники, егэ», 116.02kb.
• Справка по результатам самоаттестации методического объединения учителей русского языка, 447.26kb.
• Большой Сервер Недвижимости 31. 05. 2008: программа, 1328.13kb.
• Т. Г. Римская научный редактор, к и. н., доцент, директор филиала вгуэс в г. Находке, 2476.8kb.
• Владивосток: Изд-во вгуэс, 2005., 1071.2kb.

.

1. §9. Экстремальные элементы в частично упорядоченных множествах и подмножествах

2. Определение 1

а) Пусть  – частично упорядоченное множество. Элемент называется максимальным элементом множества , если не существует , такого, что . Иногда это определение можно встретить в такой формулировке: для любого

.

б) Элемент называется минимальным элементом множества , если не существует элемента , такого, что или для любого .

Максимальные и минимальные элементы в частично упорядоченных множествах могут существовать, а могут и не существовать, их может быть несколько, как показывают нижеприведенные примеры.

1. Пример 1

 – множество вещественных чисел с естественным порядком. В этом множестве нет ни максимального, ни минимального элементов.

1. Пример 2

В множестве есть максимальный элемент и минимальный элемент . В множестве есть максимальный, но нет минимального элемента, а в множестве есть минимальный, но нет максимального элемента.

1. Пример 3

Рассмотрим частично упорядоченное множество , где  – отношение делимости. Для наглядности построим диаграмму этого множества:

Здесь 2, 3, 7 являются минимальными элементами, а 7, 12, 16, 18 – максимальными.

1. Задача 1

Придумать множество, которое имеет бесконечно много максимальных элементов.

1. Задача 2

Придумать множество, которое имеет бесконечно много максимальных и бесконечно много минимальных элементов.

1. Определение 2

Пусть  – частично упорядоченное множество.

а) Элемент называется наибольшим элементом А, если для любого .

б) Элемент называется наименьшим элементом А, если для любого .

Следующая теорема показывает, что понятия максимального и наибольшего элементов существенно отличаются друг от друга (минимальный и наименьший элементы – аналогично).

1. Теорема 3

Если в частично упорядоченном множестве есть наибольший элемент, то он единственный.

• Доказательство

Пусть а и b – наибольшие элементы в , тогда для любого , в частности, . Аналогично . Следовательно, .

Замечание. Аналогичное верно для наименьших элементов.

1. Теорема 4

Если  – линейно упорядоченное множество и a – максимальный элемент, то а является наибольшим, а значит, единственным максимальным элементом.

• Доказательство

Так как а – максимальный элемент, то не существует , такого, что . С другой стороны, так как линейно упорядочено, то выполняется альтернатива , поэтому , где b – произвольный элемент А.

Теорема доказана.

1. Определение 5

Пусть  – частично упорядоченное множество и .

а) Элемент называется верхней границей множества В, если для любого . Обозначение верхней границы: .

б) Наименьшая из всех верхних границ множества В, если она существует, называется точной верхней границей и обозначается: .

в) Элемент называется нижней границей множества В, если для любого . Обозначение нижней границы: .

г) Наибольшая из всех нижних границ множества В, если она существует, называется точной нижней границей и обозначается: .

1. Пример

Рассмотрим и . Числа 2, 1, , 1000 являются верхними границами множества , . Числа являются нижними границами множества , .