Geum.ru

Федеральное агентство по образованию

Вид материалаДокументы

Содержание


ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАК РААБЕ Р.Л. Братковская, Л.Г. Карыев
Тогда при
Подобный материал:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАК РААБЕ

Р.Л. Братковская, Л.Г. Карыев


В тех случаях, когда при­знаки Даламбера, Коши не дают ответа, приходится прибегать к более сложным при­знакам, основанным на сравнении испытуемого ряда уже с другими стандартными рядами, «медленнее» сходящимися или «медленнее» расходящимися, чем прогрессия.

Рассмотрим признак Раабе (J. L. Raabe); он осуществляет сравнение данного ряда (А) с гармоническими рядами

- сходящимися:



и расходящимся:





- именно применив теорему: Если хотя бы начиная с некоторого места (скажем для n>N) выполняется неравенство , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда . При этом приходится рассматри­вать варианту Раабе:




Признак Раабе.

Если, при достаточно больших п, выполняется не­равенство Rп ≥ r

где r - постоянное число, большее единицы, то ряд сходится; если же, начиная с некоторого места, Rп ≤ 1 , то ряд расходится.

Итак, пусть, при достаточно больших п, имеем:

 или  .


Возьмем теперь любое число S между 1 и r: r > S >1. Так как по из­вестному предельному соотношению:



то для достаточно больших п будет






Это неравенство можно переписать следующим образом:



Справа мы имеем отношение двух последовательных членов ряда (НS); применив теорему, убеждаемся в сходимости ряда (А). Если же, начиная с некоторого места,



то отсюда сразу находим, что



применив к рядам (A) и (Н) теорему сравнения, заключаем о расходимости ряда (А).

Признак Pаабе тоже применяется преимущественно в пре­дельной форме:

Допустим, что варианта Rп имеет предел (конечный или нет):



Тогда при R>1 ряд сходится, а при R<1 ряд расходится.

Сравнивая признаки Даламбера и Раабе, видим, что по­следний значительно сильнее первого.

Но все же и здесь при R = 1 мы не имеем ответа на вопрос о поведении ряда; в подобных случаях (которые очень редки) приходится прибегать к еще более тонким и сложным признакам. Обратимся к примерам.

  1. 

Признак Даламбера к этому ряду неприложим, т.к.



(и притом Dn<1). Составим варианту Раабе:




Т. к. = , то ряд сходится.


  1. 


Т.к.  то здесь признак Даламбера неприложим. Имеем, далее 

Таким образом, при х<1 ряд расходится, а при х>1 ряд сходится; при х=1 получается расходящийся гармонический ряд (без первого члена).


Литература.
  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: «Наука», 1970.



Copyright © 2023. All rights Reserved.