Geum.ru

Правила построения магических квадратов составление магических квадратов

Вид материалаРеферат

Содержание


Квадрат, найденный в кхаджурахо(индия).
Правила построения магических квадратов
Составление магических квадратов.
Квадрат «Ло-Шу»
Банк задач
Подобный материал:


ХIII научно-практическая конференция школьников


РЕФЕРАТ

«Магические квадраты»


Ученицы 8 «А» класса

ПТП лицея

Шолоховой Анны

Руководитель Анохина М.Н.


Псков

2008 год


СОДЕРЖАНИЕ.

История создания моей работы………………………………………………2

Магический квадрат.......................................................................3

Исторически значимые магические квадраты...................4-5

КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).........6

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).........................................7

Квадрат Альбрехта Дюрера ...........................................................8

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.....9

Дьявольский магический квадрат .........................................10-11

ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ .....12

СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ......................13-15

Создание магического квадрата Альбрехта Дюрера. .....17-18

Судоку............................................................................................19-21 Какуро............................................................................................22-23

БАНК ЗАДАЧ..................................................................24-25

Выводы................................................................................26 Литература...........................................................................27


История создания моей работы.


Раньше я даже не задумывалась, что такое можно придумать. Первый раз магические квадраты встретились мне в первом классе в учебнике, они были самые простые.



7

8



0







5

Через несколько лет с родителями я поехала на море познакомилась с девочкой, которая увлекалась судоку. Мне тоже захотелось научиться, и она объяснила, как это делать. Это занятие мне очень понравилось, и оно стало моим так называемым хобби.

После того как мне предложили участвовать в научно-практической конференции, я сразу выбрала тему «Магические квадраты». В этой работу я включила исторический материал, разновидности, правила создания игру-загадку.

Магический квадрат.


М
2

2
агический, или волшебный квадрат-это квадратная таблица, заполненная n числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n .

Магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n=2, хотя случай n=1 тривиален - квадрат состоит из одного числа.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях. Называется магической константой, М. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой.


Порядок n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

М(n)
15
34
65
111
175
260
369
505
671
870
1105
Первые значения магических констант приведены в следующих таблице.


Исторически значимые магические квадраты.


В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На её панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков(рис.1). Если заменить каждую фигуру числом, показывающим сколько в ней кружков, получится таблица.


4
9
2

3
5
7

8
1
6



У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4+3+8=15.тот же результат получится при сложении чисел второго, а так же третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Мало этого, тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15.

Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.


Рис.1




КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).


Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи ХI века в индийском городе Кхаджурахо.


7
12
1
14

2
13
8
11

16
3
10
5

9
6
15
4



Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)


В XIII веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были, потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков.

Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка.



27
29
2
4
13
36

9
11
20
22
31
18

32
25
7
3
21
23

14
16
34
30
12
5

28
6
15
17
26
19

1
24
33
35
8
10



Квадрат Альбрехта Дюрера


Магический квадрат 4х4, изображенный на гравюре А. Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины(1514)


16
3
2
13

5
10
11
8

9
6
7
12

4
15
14
1



Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34 . Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2х2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.


Если в квадратную матрицу n х n заносится нестрого натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый (рис.3) имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (рис.4) (размером 4х4)- квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия.



67
1
43

13
37
61

31
73
7
Рис.3 рис.4


3
61
19
37

43
31
5
41

7
11
73
29

67
17
23
13






Дьявольский магический квадрат


Дьявольский магический квадрат - магический квадрат, в которой также с магической константой совпадает сумма чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.


Такие квадраты называют ещё пандиагональными.

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4х4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и их дополнительную симметрию – торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:

Рис. 5 рис. 6

1
8
13
12



14
11
2
7



4
5
16
9



15
10
3
6




















































1
12
7
14

8
13
2
11

10
3
16
5

15
6
9
4


Рис.7


1
8
11
14

12
13
2
7

6
3
16
9

15
10
5
4



Однако было доказано, что (рис.7) простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата (рис.5;6). То есть третий вариант- это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).


Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов чётности выше 4 имеются совершенные.

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1
15
24
8
17

9
18
2
11
25

12
21
10
19
3

20
4
13
22
6

23
7
16
5
14



ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ


Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.

Найти все магические квадраты порядка n удается только для, n=3,4 поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n>4.Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (х,y) поставить число.

Ещё проще построение выполнить следующим образом, берется матрица n x n.Внутри её строится ступенчатый ромб. В нем ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом чисел. Определяется значение центральной ячейки С.

Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка С-1; нижняя левая ячейка С+1; нижняя правая ячейка С-n; верхняя левая ячейка С+n.

СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.

Каким же образом составляют магические квадраты?

Создание магического квадрата «Ло-Шу».


Задача: Квадрат 3х3, составить из цифр от 1 до 9, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны.

Решение: Решим задачу, не прибегая к перебору одной за другой всех перестановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во-вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центрального, которое войдёт четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 4*15=3х+3*15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5.


Теперь заметим, что число 9 не может стоять в углу таблицы, скажем в левом верхнем углу. Ведь тогда в противоположном углу стояло бы число 1, а на первые строку и столбец оставалась бы одна комбинация - числа 4 и 2. Значит, 9 стоит в середине каких-то крайних строк или столбцов (у нас в середине первой строки). Двумя другими числами этой строки являются 4и2, а третьим числом среднего столбца должно быть 15-9-5=1. В одной строке с 1 должны стоять числа 8 и 6. Тем самым, магический квадрат почти заполнен и легко найти место для оставшихся чисел. В результате получается квадрат «Ло-Шу».

Конечно, для 9 можно выбрать другие три места, а после выбора места для этого числа остаются две возможности для расположения чисел 4 и 2. Всего получается 4*2=8 различных магических квадратов из трёх строк и трёх столбцов (или, как говорят математики, квадратов третьего порядка). Все эти квадраты можно получить на «Ло-Шу» либо поворачивая квадрат на 180,90 или 270. Еще возможен вариант зеркального отображения.

Квадрат

«Ло-Шу»



4
9
2

3
5
7

8
1
6



Создание магического квадрата

Альбрехта Дюрера.


Задача: Создать магический квадрат 4х4, из цифр от 1 до 16, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны.


Решение: Сумма всех чисел от 1 до16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться:136:4=34. Но если просуммировать все числа, во-вторых, в столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центральных, которые войдут дважды. Этими числами будут 10,11,6,7. После чего доставим остальные числа 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 в остальные ячейки


Квадрат Альбрехта Дюрера

Судоку.


В переводе с Японского «су» означает «цифра», а «доку» - «стоящая отдельно».

Не надо гадать или капаться в книгах – только логика и внимательность!

Задача: заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в любой строке, любом столбце и в каждом из 9 блоков 3х3 цифра не повторялась.

Решение: шаг 1

Посмотрим на выделенный ряд. В нем не хватает только двух цифр: 1 и 2.Взглянем на первую пустую клетку справа. Можем мы вписать туда 1? Нет. Потому что в этой колонке 1 уже есть, а повторяться эти цифры в колонке не могут. Значит, в эту клетку мы можем вписать лишь 2. Так и сделаем. Теперь нам осталось только вписать цифру 1 в пустую, последнюю клетку в этом ряду, и ряд заполнен.



 
9
2
3
 
7
 
4
5

8
3
 
1
 
4
6
 
7

6
 
 
8
 
5
 
3
 

7
8
3
6
5
1
4
2
9

 
 
 
4
7
3
1
5
8

5
1
4
 
8
 
7
 
 

 
6
 
5
1
8
 
 
4

4
 
8
 
3
 
 
1
 

3
7
 
 
4
 
5
 
2



Шаг 2

Давайте посмотрим на выделенную колонку: в ней также не хватает всего двух цифр- 2 и 7. Цифру 7 мы не можем вписать в первую сверху пустую клетку этой колонки, потому что в пересекающем колонку ряду уже есть цифра 7. Зато мы можем вписать в неё цифру 2, что и делаем! А для цифры 7 остается только одна пустая

клетка в этой колонке - вторая клетка снизу. Смело в ней пишем цифру 7- колонка заполнена!



 
9
2
3
 
7
 
4
5

8
3
 
1
 
4
6
 
7

6
 
 
8
 
5
 
3
 

7
8
3
6
5
1
4
2
9

 
 
 
4
7
3
1
5
8

5
1
4
2 
8
 
7
 
 

 
6
 
5
1
8
 
 
4

4
 
8
 7
3
 
 
1
 

3
7
 
 9
4
 
5
 
2



Шаг 3

Ну а теперь давайте взглянем на центральный блок клеток: в нем осталась только одна пустая клетка, то есть недостает всего лишь одной цифры. Посмотрим внимательно- это цифра 9, так как все остальные цифры уже стоят на своих местах. Пишем снова в клетку цифру 9... и снова «осматриваемся» - и у нас снова есть один ряд и одна колонка. В которых не хватает по две цифры. Что дальше? Ответ мы найдем сами- шаг 1, шаг 2...



 
9
2
3
 
7
 
4
5

8
3
 
1
 
4
6
 
7

6
 
 
8
 
5
 
3
 

7
8
3
6
5
1
4
2
9

 
 
 
4
7
3
1
5
8

5
1
4
2 
8
 
7
 
 

 
6
 
5
1
8
 
 
4

4
 
8
 7
3
 
 
1
 

3
7
 
 9
4
 
5
 
2



-данные числа.



1 
9
2
3
6 
7
8 
4
5

8
3
5 
1
2 
4
6
9
7

6
 4
7 
8
 9
5
 2
3
1 

7
8
3
6
5
1
4
2
9

 9
2 
6 
4
7
3
1
5
8

5
1
4
2 
8
9 
7
6
3 

 2
6
9 
5
1
8
3
7
4

4
5 
8
 7
3
2 
9 
1
 6

3
7
1
 9
4
6 
5
8
2



Чтобы было еще интереснее, можно создать судоку разных уровней сложности:

*-легкий, **- средний, ***- сложный, ****- очень сложный, ****- суперсложный.

Отличие уровней состоит в том, что количество цифр в блоке увеличивается.

Первый - не хватает 2,3 числа.

Второй – 4, третий – 5,4, четвертый – 6,пятый – 6,7.


Какуро

Черные клетки в какуро называются легендой. Они разделены наклонной чертой и содержит одно или два числа. Число в правом верхнем углу относится к прилегающему горизонтальному блоку клеток (А), а в левом нижнем - к вертикальному (Б).

Задача: вписать в пустые клетки цифры от 1 до 9так, чтобы их сумма в блоке соответствовала сумме в легенде. В блоке не могут стоять две одинаковые цифры! Так, число 4 в легенде может стоять только 3 1, а не из цифр 2 и 2.

Шаг 1

Сначала проверьте маленькие суммы – легко разложить на цифры. Начнем с 3.В этом случае комбинации могут быть либо «1+2», либо «2+1». Третьего естественно не дано.

Шаг 2

Числу 4 могут соответствовать комбинации «1+3» или «3+1» (но не 2+2). Значит, в первом поле может стоять только число 1.Теперь мы можем верно заполнить оба блока:»1+2» и «1+3».

Шаг 3

Посмотрим на 4 в последней легенде. Варианты здесь те же: «3+1» и «1+3». Цифра 3 в горизонтальном блоке уже есть, и единственный возможный вариант решения – цифра 1.

Шаг 4

А теперь мы можем заполнить все остальные клетки. Совет: вписывайте в углы клеток возможные комбинации цифр, а по мере заполнения вычеркивайте цифры, которые не входят.





БАНК ЗАДАЧ

№1

(ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА.

Очный тур конкурса « Юный знаток математики»

8 класс, 2007-2008 учебный год.)

В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставить числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а также на любой диагонали были равны.


4
9
2

3
5
7

8
1
6



№2

число 30

Расставить в клетках четные числа 2,4,6,8,10,1214,16,18так, чтобы в любом направлении получилось в сумме число 30



12
2
16

14
10
6

4
18
8






Выводы

Создавая свою работу, я расширила свои знания о понятии магических квадратов, о правилах их создания, узнала историю, как они создаются, узнала много новых слов, научилась работать с литературой, разгадывать и создавать магические квадраты.

Литература


И.Я. Депман; Н.Я.Виленкин «За страницами учебника математики»

Москва «Просвещение» 1989г.

В.П Трутнев «Считай, решай, отгадывай!» Москва «Просвещение» 1970г.

«Лиза» (кроссворды, судоку, какуро)

№17/2006г.