Geum.ru

«Магические квадраты магия или наука»

Вид материалаРеферат

Содержание


Тема исследования
Цель исследования
3. Виды магических квадратов
4. Как составить магический квадрат
I. Алгоритм составления магического квадрата для последовательных чисел.
1) www.krugosvet.ru . Энциклопедия Кругосвет
Подобный материал:
Министерство образования Республики Башкортостан

Отдел образования муниципального района

Янаульский район

МБОУ СОШ с. Максимово


Исследовательская работа:

«Магические квадраты – магия или наука».


Выполнили:

ученики 4 класса

Кашапов Алмаз

Магданова Роксана

Руководитель:

Кашапова И.Р.

учитель начальных классов

МБОУ СОШ с. Максимово


Содержание

1. Введение

2. История появления магических квадратов

3. Виды магических квадратов

4. Как составить магический квадрат

5. Выводы

6. Использованные материалы


1. Введение


На уроке математики мы часто выполняем задание на заполнение магических квадратов. А однажды учительница предложила нам самим составить подобное задание для второклассников. Но эта работа оказалась не такой простой, как нам показалось на первый взгляд. Нас заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора нам не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это вызвало у нас желание заняться исследовательской работой, чтобы раскрыть секреты и найти способы составления магических квадратов.

Тема исследования: составление магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Цель исследования: раскрыть «секреты» магического квадрата

Задачи исследования:

- познакомиться с историей появления магических квадратов

- изучить способы заполнения магических квадратов

Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

Этапы исследования:

1. Знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. Оформление работы

3. Выступление перед классом


2. История появления магических квадратов

2
7
6

9
5
1

4
3
8


Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица, заполненная числами так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбике и на обеих диагоналях одинакова. Согласно китайскому преданию, самый простой и древнейший известный человечеству магический квадрат был начертан на панцире священной черепахи. Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Существует такая легенда. Давным-давно более 4 000 лет тому назад из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, у которой на панцире были нарисованы таинственные иероглифы (рис. а), и эти знаки называют ло-шу.





Если посчитать количество кружочков в каждой фигуре, и поместить полученные числа в клетки квадрата, получится магический квадрат (рис. б)

В XI в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии. Европейцев с магическими квадратами познакомил в XV в. византийский писатель.


3. Виды магических квадратов

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства, будто они могли даже вылечить человека от страшных болезней. Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

А еще существуют квадраты, в которых два числа, расположенных симметрично относительно центра квадрата, дают одинаковую сумму.

Например, квадрат, составленный китайским математиком в XIII в. (рис. в). Он сумел построить магический квадрат из 36 клеток, в котором только две пары таких чисел не дают сумму 37. ( Мы проверяли)


27
29
2
4
13
36

9
11
20
22
31
18

32
25
7
3
21
23

14
16
34
30
12
5

28
6
15
17
26
19

1
24
33
35
8
10

в

4. Как составить магический квадрат

Изучив множество способов составления магического квадрата, мы решили составить алгоритм работы по наиболее доступным для нас способам

I. Алгоритм составления магического квадрата для последовательных чисел.

1) Записать цифры в том порядке, как показано на рисунке:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

2) Поменять местами цифры, стоящие на противоположных концах диагоналей: 1 и 9, 3 и 7:

9 2 7

4 5 6

3 8 1

3) Сдвинуть на шаг по часовой стрелке каждое из чисел

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Таким образом, мы получим магический квадрат, магическая сумма которого (т.е. сумма чисел в любой строке, в любом столбце и на каждой из диагоналей) равна 15.

Проделав эксперимент по изменению направления движения чисел в обратную сторону, расположили числа так, как показано на рисунке:

2 7 6

9 5 1

4 3 8

Значит, направление значения не имеет, главное сохранить порядок следования чисел.

Мы сделали ещё одно наблюдение в ходе экспериментов. Если все стоящие в углу числа – чётные, то все стоящие на сторонах числа - нечетные. И как результат этого – магическая сумма в квадратах из последовательных чисел всегда нечетное число.

II. Алгоритм составления магического квадрата из произвольных чисел

  1. Выбрать произвольных три числа.
  2. Найти сумму этих трех чисел (МС– магическая сумма).

3. Найти (МС : 3), это число записывается в центре на пересечении диагоналей магического квадрата.

Изучив алгоритмы заполнения магических квадратов, нам захотелось экспериментировать: что произойдет, если мы поменяем местами числа, получится ли магическая сумма? Получится ли такой же квадрат или другой?

После долгих экспериментов мы пришли к открытию двух главных условий: - сумма трех произвольно взятых чисел должна делиться на 3 без остатка;

- если разность наибольшего и наименьшего из трех выбранных чисел больше магической суммы, то следует расположить их на соседних клетках квадрата.

Например, составить квадрат начиная с чисел 3, 9, 12. Первое условие соблюдено: (3+9+12):3=8. Необходимо выполнить и второе условие, т.к.

12-3>8. То есть, задание должно выглядеть так:



3
12
9
или так:
9
3
12
но не так:
3
9
12

























































5. Выводы

1. Магический квадрат - древнекитайского происхождения.

2. Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

3. С помощью подготовленных нами алгоритмов можно составить множество заданий на заполнение магических квадратов (см. приложение).

Мы изучили лишь небольшую часть способов составления магических квадратов, поэтому на этом мы не собираемся останавливаться. Есть еще много разных видов магических квадратов, которые мы хотели бы в дальнейшем изучать. Составление магических квадратов представляет собой отличную гимнастику для ума. Мы обязательно должны научить и других тому, что умеем сами. К тому же, теперь магические квадраты – это элементы нанотехнологии: фирма «Toshiba», разрабатывая качественные телевизионные экраны, пришла к выводу, что цветовые ячейки выгодно располагать по принципу магических квадратов. В этом случае резко повышаются качество и четкость изображений, цветовые переходы.


6. Использованные материалы

1) www.krugosvet.ru . Энциклопедия Кругосвет


2) ru.wikipedia.org›. Википедия

3) Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика, 1989


Приложение


Алгоритм работы №1

1. Выбрать произвольных три числа.

2. Найти сумму этих трех чисел (МС– магическая сумма).

3. Найти (МС : 3), это число записывается в центре на пересечении диагоналей магического квадрата.

Алгоритм работы №2

1. Записать цифры по порядку в квадрате.

2. Поменять местами цифры, стоящие на противоположных концах диагоналей.

3. Сдвинуть на шаг по часовой стрелке каждое из чисел


З
4 9 11
адание 1. Заполните магический квадрат.








Задание 2. Составить магический квадрат, начиная с чисел 8, 9 и 13.


Задание 3. Найдите и запишите остальные числа магического квадрата.


18


22


29





17 7 9











Задание 4*. Расположите числа 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 в магическом квадрате.

Задание 5*. Расположите числа 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 в магическом квадрате.

Задание 6*. Расположите числа 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51 в магическом квадрате.