Geum.ru

Автор: Мершиев Александр Владимирович

Вид материалаЛитература

Содержание


I. история появления магических квадратов
Ii. магические квадраты 3*3
Способы составления магических квадратов
Латинские квадраты
V. применение магических и латинских квадратов
Прилетаю восьмого
Vi. магический квадрат пифагора
Список литературы и источники интернет
Задачи для самостоятельного решения
Подобный материал:
  1   2   3   4   5


Региональная научно – практическая конференция

«Шаг в будущее, Юниор»


МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ


Автор: Мершиев Александр Владимирович

Россия, г. Ангарск

МОУ «СОШ № 15» 6 класс

Руководитель: Прокопьева Ольга Валерьевна


учитель математики I категории

МОУ “СОШ № 15”


г. Ангарск, 2005


АННОТАЦИЯ


В работе представлены различные способы составления магических квадратов, изучив которые, можно заполнять квадраты любых размеров. Так же рассказано об истории появления магических квадратов и показано их практическое применение. Рассмотрен вопрос о квадрате Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности.

Можно использовать на факультативных занятиях в 5 –7 классах, при подготовке к математическим олимпиадам и в качестве индивидуальных дополнительных заданий.


СОДЕРЖАНИЕ


Введение…………………………………………………………………………….4

История появления магических квадратов……………………………………….5

Магические квадраты 3*3………………………………………………………….7

Способы составления магических квадратов…………………………………….7
  1. Магические квадраты нечентого порядка ………………………………….8

1.1. Метод достроения ……………………………………………………….8

1.2. Метод А. Лубера…………………………………………………………9

2. Магические квадраты четного порядка …………………………………….9

2.1. Четно-четные квадраты………………………………………………….9

2.2. Четно-нечетные квадраты……………………………………………….10

Латинские квадраты……………………………………………………………….13

Применение магических и латинских квадратов………………………………..13

Магический квадрат Пифагора: насколько он магический?................................15

Заключение…………………………………………………………………………16

Литература и источники Интернет……………………………………………….17

Тезисы………………………………………………………………………………18

Задачи для самостоятельного решения…………………………………………..19


В дни моей юности

я в свободное время развлекался тем,

что составлял… магические квадраты.

Бенджамин Франклин.


ВВЕДЕНИЕ


Цель моей работы – выяснить различные способы составления магических квадратов и изучить области их применения.


Для этого поставил следующие задачи:
  • познакомиться с историей появления магических квадратов;
  • выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;
  • провести исследование и подтвердить или опровергнуть утверждение Пифагора о том, что судьба человека зависит от числа его рождения;
  • выявить области применения магических квадратов.


Актуальность: В сборниках нестандартных задач по математике часто встречаются задачи на составление магических квадратов. Кроме того, такие задания нередко включают в математические олимпиады, поэтому ребятам, увлекающимся математикой полезно знать способы решения задач такого типа.


Гипотеза: Я думаю, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.


При работе над докладом я пользовался следующими методами:
  • поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
  • практический метод составления магических квадратов на основе полученных знаний;
  • исследовательский метод при работе с магическим квадратом Пифагора.
  • анализ полученных в ходе исследования данных.



I. ИСТОРИЯ ПОЯВЛЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ


При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделен на девять квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу 15. Такие квадраты стали называть магическими.

Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1. Подсчитав количество кружков каждой из фигур, получим магический квадрат 3*3.



4
9
2

3
5
7

8
1
6



Рис. 1


В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В средние века магические квадраты приобрели необычайную популярность. В XI в. о них узнали в Индии, а затем в Японии. Им была посвящена обширная литература. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия» (рис.2).



16
3
2
13

5
10
11
8

9
6
7
12

4
15
14
1



Рис.2


Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

Еще более замечательным является магический квадрат 4-го порядка, найденный в индийской надписи XI в. до н.э. (рис.3).


7
12
1
14

2
13
8
11

16
3
10
5

9
6
15
4
Этот квадрат сохраняет свойство быть магическим и после того, как его строки одна за другой перемещаются сверху вниз или столбцы аналогично перемещаются слева направо. Иными словами, если сделать ковер из этих квадратов, то, вырезав любую его часть из 4 строк и 4 столбцов, получаем снова магический квадрат.

Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43*43, . рис.3 содержащий числа от 1 до 1849, причем обладающие . помимо указанных свойств магических квадратов, еще многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

В IX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.


II. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 3*3


Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

Магических квадратов 2*2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк (рис. 4а) или столбцов (рис. 4б) либо путем поворота исходного квадрата на 900 (рис. 4в) или на 1800 (рис 4г).


4
9
2

3
5
7

8
1
6




2
7
6

9
5
1

4
3
8

6
1
8

7
5
3

2
9
4

8
1
6

3
5
7

4
9
2

2
9
4

7
5
3

6
1
8



а б в г

Рис. 4


С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Например, существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 000 000 магических квадратов порядка 5.


III. СПОСОБЫ СОСТАВЛЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ


Общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы. Некоторые из них я представляю ниже.

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата:
  • нечетный;
  • четный, порядок которого равен степени числа 2;
  • четный, порядок которого равен удвоенному нечетному;
  • четный, порядок которого равен учетверенному нечетному;


1. Магические квадраты нечетного порядка

1. Метод достроения









*





















*
*
*















0
0
0
0
0









*
0
0
0
0
0
*



*
*
0
0
0
0
0
*
*




*
0
0
0
0
0
*









0
0
0
0
0















*
*
*





















*











1).  Сначала исходный (пустой) квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на рисунке, где ячейки для элементов квадрата обозначены символом 0, а достроенные ячейки - символом *.















1





















6
*
2















11
0
7
0
3









16
0
12
0
8
0
4



21
*
17
0
13
0
9
*
51




22
0
18
0
14
0
10









23
0
19
0
15















24
*
20





















25














2). Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам сверху-вниз-направо целыми числами от 1 до 25 в натуральном порядке. Результат заполнения показан на следующем рисунке:


3). Каждое число, расположенное в фигуре шага 2 вне исходного (закрашенного) квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного (закрашенного) квадрата на число клеток, равное порядку квадрата – в данном случае на 5 клеток. Таблица переносов имеет следующий вид:


1 - вниз под 13
2 - вниз под 14
6 - вниз под 18

21 - вправо за 13
22 - вправо за 14
16 - вправо за 8

5 - влево перед 13
4 - влево перед 12
10 - влево перед 18

25 - вверх над 13
24 - вверх над12
20 - вверх над 8