Оптимизация процессов деревообработки на моделях линейного и нелинейного программирования
Курсовой проект - Разное
Другие курсовые по предмету Разное
?меньшить габариты редуктора.
После применения дополнительных критериев значение целевой функции может незначительно отличаться от заданного, но стремиться к нему из-за учета сопряжённости передаточных отношений ступеней.
2. Решения задачи линейного программирования графическим методом
Предприятие содержит в подсобном хозяйстве коров, используя для этого два вида корма - сено и концентраты. Определить оптимальный суточный рацион кормления животных по минимуму себестоимости, пользуясь данными таблицы 2.1.
Таблица 2.1 - Исходные данные
Вид кормаСодержание в 1 кг кормаСебестоимость 1 кг корма, копРесурсы на 1 рационПредельные нормы суточной дачиКорм. един.Белок, гКальций, гСено0,5405203545Концентраты1,02004402520Нормы потребления302500400
Пусть х - масса сена в рационе, а у - масса концентратов в рационе. Пользуясь исходными данными, составим следующие неравенства-ограничения
,5х+1,0у?30,
х+200у?2500,
х+4у?400,
0,2х?35, (2.1)
0,4у?25,
х?45,
у?20.
Выбрав в качестве критерия эффективности оптимальность суточного рациона кормления животных по минимуму себестоимости, запишем целевую функцию
W=0,2х+0,4у > min. (2.2)
Перед графическим решением, представленным на рисунке 3, целесообразно обозначить буквами неравенства-ограничения (2.1)
,5х+1,0у?30 - (прямая a),
х+200у?2500 - (прямая b),
х+4у?400 - (прямая c),
0,2х?35 - (прямая d),
0,4у?25 - (прямая e),
х?45 - (прямая f),
у?20 - (прямая g).
На рисунке 2.1 дадим геометрическую интерпретацию полученной модели, построив прямые, соответствующие неравенствам-ограничениям (2.1), и градиент функции. Для этого продифференцируем целевую функцию (2.2) по переменным х и у. Получим выражения
=0,2 и =0,4. (2.3)
Рисунок 2.1 - Геометрическое решение задачи
Мысленно проводя линии уровня перпендикулярно градиенту, приближаясь к нулю, находим, что наименьшего значения целевая функция (2.2) достигает в точке D. Координаты этой точки являются элементами решения задачи. Они определяются совместными решением граничных уравнений, соответствующих прямым c и g, т. е.
х+4у=400, (2.4)
у=20.
Решая систему (2.4), получаем х=64, у=20.
Проведем проверку, подставив полученные значения х и у в неравенства-ограничения (2.1)
,5*64+1,0*20?30,
*64+200*20?2500,
*64+4*20?400,
0,2*64?35,
0,4*20?25,
?45,
?20.
Получаем
?30,
?2500,
?400,
12,8?35,
8?25,
?45,
?20.
Неравенства-ограничения выполняются.
Таким образом, оптимальный суточный рацион кормления животных по минимуму себестоимости составит 64 кг сена и 20 кг концентратов, а сумма затрат на суточный рацион по формуле (2.2) составит
Wmin=0,2*64+0,4*20=20,8 руб.
3.Двойственная задача линейного программирования
Фирма Транзистор выпускает радиоприёмники трёх различных моделей: А, В, С. Каждое изделие приносит доход в размере 80,150 и 250 руб соответственно. Необходимо, чтобы фирма выпускала за неделю не менее 100 приёмников модели А, 150 приёмников В и 75 приёмников С.
На производство деталей, сборку и упаковку 10-ти приёмников требуется определённое время, указанное в таблице 3.1.
Таблица 3.1 - Затраты времени на производство приёмников
ПриёмникиЗатраты ресурсов напроизводствосборкуупаковкуА341В3,551,5С583Ресурсы времени, ч. в неделю15020060
Определить оптимальный план производства. Сформулировать экономически и решить двойственную задачу, выполнить экономический анализ производственной программы. Целесообразно ли принять к производству новый приёмник с расходом ресурсов 4, 3 и 2 ч и приносящий доход 120 руб.
Составим ММ задачи. Для этого обозначим Х1, Х2 и Х3 - объём производства приёмников моделей А, В и С соответственно. Ограничения по ресурсам и по плану производства 10-ти приёмников выражаются системой неравенств
3х1+3,5х2+5х3 ?150,
х1+5х2+8х3?200,
х1+1,5х2+3х3?60, (3.1)
х1?100,
х2?150,
х3?75.
Перепишем ограничения по ресурсам и плану производства с учётом (3.1) для одного приёмника и приведём неравенство к одному знаку (?)
,3х1+0,35х2+0,5х3? 150,
,4х1+0,5х2+0,8х3?200,
,1х1+0,15х2+0,3х3?60, (3.2)
х1?-100,
х2?-150,
х3?-75.
Тривиальные ограничения (требования неотрицательности элементов решения)
х1>0; х2>0; х3>0. (3.3)
Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные ММ на две группы - основные (базисные) и неосновные (свободные). Воспользуемся следующим правилом: в качестве основных переменных на первом шаге следует выбрать (если возможно) такие m переменные, каждая из которых входит только в одно из m уравнений системы ограничений; при этом нет таких уравнений системы, в которые не входит ни одна из этих переменных.
Дополнительные переменные х4, х5, х6, х7, х8, х9 >0 удовлетворяют этому правилу.
ЦФ является суммарный доход от реализации вех приёмников, который составит
W=80 х1+150 х2+250 х3>max. (3.4)
Итак, ММ состоит из системы ограничений, записанных в общем виде, условия не отрицательности и ЦФ.
С помощью дополнительных неотрицательных переменных перейдем к системе уравнений
,3х1+0,35х2+0,5х3 +1х4+0х5+0х6+0х7+0х8+0х9= 150,
,4х1+0,5х2+0,8х3+0х4+1х5+0х6+0х7+0х8+0х9= 200,
,1х1+0,15х2+0,3х3+0х4+0х5+1х6+0х7+0х8+0х9= 60, (3.5)
х1-0х2-0х3 +0х4+0х5+0х6+1х7+0х8+0х9=-100,
х1-1х2-0х3 +0х4+0х5+0х6+0х7+1х8+0х9=-150,
х1-0х2-1х3+0х4+0х5+0х6+0х7+0х8+1х9=-75.
Балансные переменные равны
х4=150-(0,3х1+0,35х2+0,5х3 +0х5+0х6+0х7+0х8+0х9),
х5=200-(0,4х1+0,5х2+0,8х3+0х4+0х6+0х7+0х8+0?/p>