Обработка результатов наблюдений при прямых измерениях
Курсовой проект - Разное
Другие курсовые по предмету Разное
?твующую данному интервалу по формуле 26:
= mi /n
Сумма частот всех интервалов должна быть равна единице.
Число интервалов можно подсчитать по формуле Старджесса:
= 1+3,32lgn (43)
= 1+3,32lg64 = 6,99832369
Принимаем число интервалов равное 7.
Длина интервала h вычисляется по формуле
= (xmax-xmin)/l (44)
h = (8-2)/7 = 0,857142857.
Принимаем длину интервалов равную 1.
Определим границы интервалов, частоту попадания в интервалы, середины интервалов и их статистические оценки:
Х0= Хmin=2;
Х1= Х0+ h=2+1=3;
Х2=Х1+h=3+1=4;
Х3= Х2+h=4+1=5;=X3+h=5+1=6;
Х5= Х4+h=6+1=7;
Х6= Х5 + h=7+1=8;
Находим середины интервалов:= (2+3)/2=2,5;= (3+4)/2=3,5;= (4+5)/2=4, 5;= (5+6)/2=5,5;= (6+7)/2=6,5;= (7+8)/2=7,5;= (8+9)/2=8,5.
Оформим полученные данные в таблицу 2.
Таблица 2
№ п/пИнтервалЧастота в интервале miPi=mi/nСреднее значение интервала ziziPiЦентрир. значение zi-mx(zi-mx)2((zi-mx)2)Pi12320,031252,50,078125-2,734387,4768066410,23365020823490,1406253,50,492188-1,734383,0080566410,423007965345170,2656254,51,195313-0,734380,5393066410,143253326456210,3281255,51,8046880,2656250,0705566410,02315139856790,1406256,50,9140631,2656251,6018066410,22525405967830,0468757,50,3515632,2656255,1330566410,2406120378930,0468758,50,3984383,26562510,664306640,499889374?6415,2343751,788818359
Математическое ожидание: mx = ? ziPi, (45)
= 5,234375;
Дисперсия: Dx = ?(zi -mх)2Pi, (46)
= 1,788818359;
Среднее квадратическое отклонение: ?x = vDx, (47)
?x = 1,337467143;
Высчитаем оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения по формуле:
(48)
s = 0,167183393.
Определение принадлежности результатов измерений нормальному
Распределению
Приближенный метод проверки нормальности распределения
В качестве приближенного метода проверки нормальности распределения применяют метод, связанный с оценками центральных моментов третьего ?3 и четвертого ?4 порядков.
Для удобства сравнения подсчитывают безразмерные характеристики:
показатель асимметрии по формуле
А = (1/n?3)?(xi-x)3, (49)
А = (1/64* 1,3374671433)[2(2- 4,734375)3+9(3- 4,734375)3+17(4- 4,734375)3+21(5- 4,734375)3+9(6- 4,734375)3+3(7- 4,734375)3+3*(8- 4,734375)3]= 0,424256458;
эксцесс о формуле
Е = (1/n?4)?(xi-x)4, (50)
= (1/64* 1,3374671434)[2(2- 4,734375)4+9(3- 4,734375)4+17(4- 4,734375)4+21(5- 4,734375)4+9(6- 4,734375)4+3(7- 4,734375)4+3*(8- 4,734375)4]= 0,243936074.
Обе эти характеристики должны быть малы, если распределение нормально. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками:
для асимметрии по формуле
?А = v6(n-1)/[(n+1)(n+3)], (51)
?A = v6(64-1)/[(64+1)(64+3)] = 0,035434639;
для эксцесса по формуле
?Е = v24n(n-2)(n-3)/[(n-1)2(n+3)(n+5)], (52)
?E = v24*64(64-2)(64-3)/[(64-1)2(64+3)(64+5)] = 0,064625234.
Если хотя бы одна из указанных характеристик по абсолютной величине значительно (в 2-3 раза) превосходит свою среднюю квадратическую ошибку, то нормальность закона распределения следует подвергнуть сомнению и провести более тщательный анализ результатов наблюдений.
А/ ?A = 0,424256458/0,035434639 = 11,97293008;
E/ ?Е = 0,243936074/0,064625234 = 3,774625785.
Показатель эксцесса по абсолютной величине превосходит свою среднюю квадратическую ошибку в 3,8 раз, а показатель асимметрии - в 11,98 раз, поэтому следует провести более тщательный анализ результатов наблюдений.
Проверка нормальности распределения по критерию Пирсона (?2)
Для проверки согласия между предполагаемым нормальным и эмпирическим распределением по критерию Пирсона (?2) рекомендуется следующий порядок:
А) Результаты наблюдений группируются в интервальный вариационный ряд;
Б) Определяется длина и количество интервалов;
В) Подсчитывается количества mi наблюдений, находящихся в каждом из интервалов. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то его соединяют с соседним интервалом;
Г) Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к величине z = (x-mx)/?x и вычисляют концы интервалов (zi,zi+1) по формулам
zi = (xi-mx)/?x+1 = (xi+1-mx)/?x.
Причем наименьшее значение z, т.е. z1, полагают равным -?, а наибольшее, т.е. z7, полагают равным +?.
Д) Для каждого интервала вычисляется теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-интервал по формуле
= F(zi+1)-F(zi),
где F - функция нормального распределения, равная
F(z) = Ф[(zв-mx)/?x] - Ф[(zн-mx)/ ?x].
Здесь Ф - нормированная функция Лапласа (по таблице из [1] );в и zн - соответственно верхняя и нижняя границы i-го интервала.
Е) Определяется мера расхождения по формуле
На интервалы мы разделили ранее, результаты записаны в таблице 2.
Математическое ожидание:
mx= ? (zi -mх)*Pi; (53)
= 5,234375;
Дисперсия:
Dx=?(zi -mх)2Pi; (54)
= 1,788818359;
Среднеквадратическое отклонение:
? = v ? (zi -mx )2 Pi ; (55)
? = 1,337467143;
Для вычисления ?2 составим расчетную таблицу 3, объединив в ней интервалы, содержащие менее 5 попаданий.
Таблица 3 - Статистическая проверка гипотезы нормальности распределения результатов измерений
п/пИнтервал (zi,zi+1)Частота в интервале mizверхzнижФ(zверх)Ф(zнижн)PinPimi-nPi(mi-nPi)2/ nPi12411-0,92292-2,41828-0,3212-0,49220,159,61,40,20416666724517-0,17524-0,92292-0,714-0,32120,2616,640,360,007788462356210,572444-0,175240,2157-0,07140,425,6-4,60,826562546791,3201260,5724440,40660,21570,16,42,61,0562557962,815491,3201260,49760,40660,095,760,240,01?6412,104767628
Из таблицы 3 находим ?2 = 2,104767628;
Если полученное значение меньше табличного значения, взятого для числа степеней свободы k = l - s - 1 (где l- число объединенных интервалов, s- число наложенных связей), то различие между распределениями могут оказаться случайными (незначительными). В этом случае признается справедливой гипотеза о согласии эмпирического распределения с теоретическим.
При k = 4-2= 2, находим = 4,6, при Р = 0,9.
Так как ?2 = 2,104767628 <4,6, то критерий Пирсона не противоречит принятой гипотезе о нормальном ра