Обработка результатов наблюдений при прямых измерениях
Курсовой проект - Разное
Другие курсовые по предмету Разное
;
. Алгоритм обработки многократных испытаний
3. Основные законы распределения
Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений, прежде всего, предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматриваемой погрешности. Встречающиеся в метрологии распределения достаточно разнообразны.
Множество законов распределения случайных величин, используемых в метрологии, целесообразно классифицировать следующим образом:
? трапецеидальные (плосковершинные) распределения. К ним относятся: равномерное, собственно трапецеидальное и треугольное (Симпсона);
? уплощенные (приблизительно плосковершинные) распределения;
? экспоненциальные распределения;
? семейство распределений Стьюдента;
? двухмодальные распределения.
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Равномерное распределение описывается уравнением (рис 2):
, x Xц +a;(x) =
/2a, Xц - a x Xц +a.(8)
Рисунок 2
Равномерное распределение имеет погрешности: квантования в цифровых приборов, округления при расчетах, отчета показаний стрелочного прибора, от трения в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах и подпятниках, а также в самоуравновешивающихся мостах и потенциометрах со следящим электромеханическим приводом, погрешность определения момента времени для каждого из концов временного интервала в электронных цифровых хронометрах и частотомерах и т.д. Суммируясь между собой эти погрешности, образуют трапецеидальные распределения с различными отношениями сторон.
Свойства равномерного распределения:
Характеристическая функция Mx(t)= ebt-eat/(b-a)*t;(9)
Среднее ? = (b+a)/2;(10)
Дисперсия ?2= (b-a)2/12;(11)
Третий центральный момент ?3=0
Четвертый центральный момент ?4= (b-a)4/80;(12)
Коэффициент вариации ?= (b-a)/ v3(a+b);(13)
Коэффициент ассиметрии ?3=0;
Коэффициент эксцесса ?4= 1,8
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Оно получило наибольшее распространение
, (14)
где - параметр рассеивания распределение, равный среднеквадратическому отклонению (СКО); - центр распределения, равный математическому ожиданию (МО). Вид нормального распределения показан на рисунке 3.
Рисунок 3 - Нормальное распределение
Широкое использование нормального распределения на практике объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.
При введении новой переменной получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции которого соответственно равны:
(15)
Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
(16)
называют функцией Лапласа. Для неё справедливы следующие равенства
. (17)
Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция связана с функцией Лапласа формулой
. (18)
Поскольку интеграл в (16) не выражается через элементарные функции, то значения функции Лапласа для различных значений t сведены в таблицу.
4. Требование к оценкам измеряемой величины
При использовании дискретных случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании выборок - ряда значений Хi, принимаемых случайной величиной х в n независимых опытах. Используемая выборка должна быть репрезентативной, то есть должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности.
Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Задача нахождения точечных оценок - частный случай статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки. В отличие от самих параметров их точечные оценки являются случайными величинами, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а закон распределения - от законов распределения самих случайных величин.
Точечные оценки могут быть состоятельными, несмещенными и эффективными. Состоятельной - называется оценка q*n параметра q, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.
q* n (n) q(19)
Это означает, что
n P(q* n- q<e )= 1,(20)
при любом сколь угодно малом e >0.
Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок q* n, которая имеет наименьшую дисперсию.
ЁD (q* n) = min(21)
Если оценка смещенная, то минимизировать следует математическое ожидание квадратичного отклонения.
M (q* n- q&