Мысленный эксперимент в структуре геометрического доказательства
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
линией другого геометрического объекта - треугольника.
Производя обозначение вершин трапеции, треугольника, средней линии (рис.4), мы тем самым мысленно формируем ту среду, ту систему связей, в которую помещаем наш предмет мысли (3 этап).
Так как мы наложили условие сохранения прямизны, то, очевидно, что точки C и D боковой стороны CD, скользя по прямым AE и BC проходят одинаковые расстояния (длины). То есть CC1=DD1. Получается - происходит одинаковое растягивание отрезков CP и DP. Очевидно, что при таком скольжении их длины всегда равны (C1P = D1P и BP = EP). Значит отрезок QP - всегда средняя линия получаемого четырехугольника. Который, при скольжении, стремится к совмещению двух своих вершин (точек С и В) и превращению в треугольник АВЕ.
QP - средняя линия треугольника АВЕ, а значит она параллельна стороне АЕ. Из этого вытекает параллельность сторонам AD и BC. Пройденные длины CB и DE - равны. Значит длина АЕ равна сумме длин AD и BC. Получается, что средняя линия QP трапеции ABCD параллельна основаниям BC и AD и равна их полусумме.
3.2 Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
Эта теорема сформулирована и доказана в учебнике Атанасяна Л.С. [3,с. 68-69], в учебнике Погорелова А.В. такой теоремы нет. Видимо, связанно это с тем, что неравенство треугольника у Атанасяна Л.С. доказывается с использованием выше указанной теоремы. У Погорелова А.В. же неравенство треугольника доказывается с использованием понятия проекции наклонной.
Приведем доказательство теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника дословно.
Теорема: В треугольнике:
) против большей стороны лежит больший угол;
) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство. 1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С >угла В. Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС (рис.1). Так как АDугла В.
) Пусть в треугольнике АВС угол С >угла В. Докажем, что АВ>АС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=АС, либо АВАС. Теорема доказана.
Из приведенного доказательства видно, что его идея заключается в проведении дополнительного построения, разбивающего рассматриваемый треугольник на два треугольника, один из которых равнобедренный. Реконструируем идею такого дополнительного построения, доказав эту теорему с использованием понятия о мысленном эксперименте.
Доказательство теоремы с использованием мысленного эксперимента.
Итак, предмет мысли нашего мысленного эксперимента - углы и стороны треугольника. Поместим его мысленно в такие условия (рис.2), в которых его сущность может раскрыться с особой определенностью(1этап).
Такими условиями являются:
равенство всех углов и сторон треугольника (условия равностороннего треугольника);
способность сторон треугольника сжиматься и растягиваться сохраняя при этом прямизну линии;
вершины треугольника могут скользить по линиям, содержащим стороны треугольника;
Такие сконструированные условия позволяют нам раскрыть сущность соотношения сторон и углов треугольника с особой определенностью (1 этап) - зависимость величины противолежащего угла от величины противолежащей стороны и обратно.
В самом деле, проводя последующие мысленные трансформации (2 этап) путем растяжения одной из сторон треугольника (рис.3) мы сможем наблюдать соответственно и увеличение противолежащего угла.
Производя обозначение углов и вершин треугольников (рис.4), получаемых при растяжении сторон равностороннего треугольника, мы тем самым мысленно формируем ту среду, ту систему связей, в которую помещаем наш предмет мысли (3 этап).
Увеличивая сторону АС путем растяжения до стороны АС1, мы тем самым будем наблюдать увеличение угла 1 и соответственное уменьшение угла 2. Но мы также будем наблюдать увеличение и стороны ВС до стороны ВС1. Если сторона ВС увеличилась больше, чем сторона АС (ВС1>АС1), то теорема не верна. Покажем что это не так.
Может быть два случая: ВС1=АС1 и ВС1 ВС1>АС1АС1. В первом случаи треугольник АВС1 был бы равнобедренным, а угол 1 был бы равен углу 3. Но это не так: угол 3 не изменялся и равен 60, а угол 1 увеличился и стал > 60 - значит стороны ВС1 и АС1 не равны (рис.5). Во втором случае сторону АС1 можно увеличить до стороны ВС1 путем растяжения до стороны А1С1 (т.е. А1С1=ВС1) (рис.5). Полученный треугольник А1ВС1 - равнобедренный, а следовательно углы при основании должны быть равны. Но угол 3 уменьшился (т.е. стал < 60), а угол 1 снова увеличился - значит стороны А1С1 и ВС1 не равны.
Если увеличивать не сторону а угол, мы снова будем решать вопрос о том, какая из двух сторон (АС или ВС) увеличилась больше.
Исходя из проведенного мысленного эксперимента, мы можем заключить истинность утверждения о том, что пр?/p>