Моделирование потоков вязких жидкостей с использованием систем клеточных автоматов
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
p>
(12)
Это выражение является дискретным аналогом уравнения Больцмана, что было доказано Стерлингом и Ченом в 1996 году.
Перемещение функции распределения по скоростным каналам за шаг времени представлено на рисунке 4.
Рисунок 4 - Перемещение функции распределения
Для оператора столкновений плотность распределения частиц по ячейкам решетки заменена плотностью распределения по скоростным каналам. Он вычисляется следующим образом:
(13)
Время релаксации связано с вязкостью жидкости по следующей формуле:
(14)
Функция обозначает равновесное распределение и зависит от локальной скорости и плотности среды. Ее можно вычислить по следующей формуле:
(15)
Коэффициенты выбираются исходя из распределения Максвелла таким образом, чтобы получаемые моменты импульса соответствовали моментам импульса по распределению Максвелла-Больцмана (8) вплоть до четвертого порядка. Они равняется следующим величинам:
(16)
2.8 Задание граничных условий для LBM
По словам Чена (1996), поиск граничных условий является задачей ничуть не менее важной и трудоемкой, чем поиск самого алгоритма вычислений. Трудность их определения связана в первую очередь с тем, что даже с точки зрения классической гидродинамики реальные граничные условия еще не были поняты до конца. Модель решетчатого газа Больцмана является известной методикой моделирования жидкости и газа, однако не существует единых правил задания граничных условий. Большинство авторы статей при описании граничных условий указываю только, что при использовании LBM граничные условия задаются очень легко, однако не описывают каким образом. Другие приводят несколько способов заданий граничных условий. По мнению этих авторов, выбор конкретного способа зависит от поставленной задачи и требует определенной интуиции. Поэтому в данной работе будет уделено особое внимание этому вопросу.
Следует сразу разделить граничные условия на два вида. Назовем первую группу граничных условий тормозящими. Во-первых, к этой группе относятся границы потока и стенок, между которыми движется этот поток. Также при введении в поток препятствия, например щели, взаимодействие с ним будет происходить с учетом тех же граничных условий. Вторая группа - это нетормозящие граничные условия. Их рассмотрение связано с тем, что мы рассматриваем не весь поток, а только его часть. Таким образом, на одной границе необходимо прикладывать силу, вызывающую движение потока, а на другой обеспечивать сток.
2.9 Тормозящие граничные условия
Наиболее простым алгоритмом, описывающим столкновение со стенкой, является алгоритм полного отражения. Его идея заключается в том, что сталкиваясь со стенкой, все частицы, задаваемые плотностью распределения, переходят в ту же ячейку, но в канал противоположного от стенки направления. При этом можно производить обратный отскок частицы под углом 180 градусов, либо отражение (рисунок 5). Авторы, использующие такой поход, отмечают отличие результатов моделирования в пограничных слоях от получаемых аналитически для простейших потоков.
Рисунок 5 - Столкновение со стенкой
Существует другой алгоритм - отражение на полпути от стенки. При таком подходе границы потока и стенки располагается между первым и вторым и, соответственно, предпоследним и последним рядами ячеек. При этом в крайних рядах не происходит никаких столкновений и перераспределений, а попавшие туда частицы принудительно возвращаются на следующем шаге назад в поток. При этом подходе при интеграции ячеек с целью получения макрохарактеристик потока граничный слой не учитывается.
2.10 Нетормозящие граничные условия
Для задания граничных условия на входе в поток и выходе из потока также существует две рекомендации. Первые вариант решения - это задание фиксированной локальной скорости на обоих краях моделируемого потока. Это обеспечивает постоянное поступление частиц в систему и их постоянный сток. При этом суммарное число частиц в моделируемой части потока остается постоянной. Такой подход обеспечивает соблюдения закона сохранения массы. Недостатком этого подхода является то, что при движении потока профиль скоростей имеет обычно параболическую форму, а задание одинаковой скорости для всех ячеек на выходе из потока не соответствует данной параболической форме, что приводит к неадекватным результатам моделирования для части потока прилегающей к стоку.
Вторым вариантом задания граничных условий является постоянство градиента горизонтальной составляющей скорости на входе в поток и выходе из него. Недостатком этого метода являются трудности с заданием постоянной силы, обеспечивающей движение потока. При небольших начальных скоростях такие потоки зачастую останавливаются или даже начинают движение в обратную сторону.
На практике подбор граничного условия определяется поставленной задачей.
2.11 Соответствие реальных величин параметрам модели
Закон динамического подобия доказывает связь между потоками в реальном мире, где длина измеряется в метрах, и имитацией этих потоков при помощи клеточных автоматов дискретных моделей или модели решетчатого газа Больцмана на решетке с единичной длиной и единичной скоростью. Эти безразмерные потоки идентичны реальным при равн