Моделирование потоков вязких жидкостей с использованием систем клеточных автоматов
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
зразмерного определяющего параметра, названного впоследствии в его честь числом Рейнольдса.
Представив скорость в виде суммы средней и пульсационной составляющих, а давление в виде , Рейнольдс получил уравнения для средних величин, носящие его имя:
.(3)
Здесь подразумевается суммирование по индексу j. По сравнению с уравнением Навье-Стокса (2) это уравнение включает дополнительные напряжения - так называемые напряжения Рейнольдса. Попытки найти их вид из первых принципов физики оказались безуспешными, поэтому уравнение (3) стало базой для развития эмпирических теорий [1].
2.2 Обзор дискретных моделей решетчатых газов (LGCA)
Тот факт, что различные микроскопические взаимодействия могут приводить к вышеупомянутым формам макроскопических уравнений, привел к развитию дискретного подхода. Помимо реальных газов и реальных жидкостей можно представить искусственные микромиры из частиц, живущих на решетке и взаимодействующих таким образом, что выполняются законы сохранения массы и импульса. Микродинамика таких искусственных миров должна быть достаточно проста, чтобы ее можно было эффективно моделировать на компьютере [2].
2.3 Модель HPP
Первой методикой, базирующейся на применении решеточного газа, была модель, предложенная Харди, Пацисом и Помо в 1973 году (модель HPP).
Представим квадратную решетку с четырьмя ячейками в каждом узле, где такая ячейка связана по линиям со всеми ближайшими соседними узлами. Эти ячейки могут быть пусты или заняты максимум одной частицей с единичной массой m=1. Таким образом, каждая ячейка имеет только два возможных состояния (рисунок 1). Скорость, а поэтому и импульс, может быть представлена в каждой частице как вектор, связывающий узел с соседним по линии, на которой расположена частица. Эти вектора называются скоростями решетки. Микроскопическое взаимодействие строго локализовано и включает только частицы в одном конкретном узле. Частицы обмениваются импульсом, сохраняя сумму массы и импульса в каждом узле. После такого столкновения каждая частица перемещается по связанной с ней линии к соседнему узлу.
Вся микродинамика описывается такими столкновениями и перемещениями. Макродинамические значения массы и плотности импульса рассчитываются путем усреднения (вычисляются средние значения на больших областях пространства от сотен до тысяч узлов). Однако для описанной выше модели макроскопические параметры не подчиняются уравнениям Навье-Стокса [2].
Рисунок 1 - Столкновения в модели HPP
2.4 Модель FHP
Прошло более десяти лет до того момента, как Фриш, Хасслаэр и Помо (1986) нашли третье существенное условие помимо сохранения массы и импульса: решетка должна обладать определенной симметрией. В двумерном пространстве, например, четырехсвязная симметрия (квадратная решетка) не достаточна, в отличие от гексагональной симметрии. Так появилась модель FHP [2].
Классическая модель FHP обладает следующими свойствами:
частицы перемещаются по однородной гексагональной решетке, в которой каждая частица связана с шестью соседними;
векторы, соединяющие центры соседних ячеек называются скоростными векторами, и могут быть описаны следующим образом:
(4)
-каждая ячейка содержит шесть скоростных каналов, каждому из которых соответствует скоростной вектор;
в каждом скоростном канале каждой ячейки не может находиться более одной частицы;
все частицы обладают единичной массой;
изменение состояние решетки во времени происходит путем чередования фаз столкновений и перемещений;
в столкновении участвуют только частицы, находящиеся в одной ячейке.
Во время фазы перемещений все частицы передвигаются по скоростным каналам в соответствующие соседние ячейки. В фазу столкновений частицы в ячейках перераспределяются по скоростным каналам в соответствии с правилами, представленными на рисунке 2. Если распределение частиц по каналам ячейки отличается от показанного на рисунке, состояние ячейки не изменяется.
Существуют расширения модели FHP, известные как FHP-II и FHP-III. В FHP-II вводится дополнительный скоростной канал, соответствующий частицам, находящимся в покое и несколько новых правил. В модели FHP-III количество различных столкновений доведено до максимума [2].
В целом модели FHP соответствуют равнениям Навье-Стокса, однако они обладают рядом недостатков, о которых будет сказано ниже.
Рисунок 2 - Cтолкновения в модели FHP
2.5 Сравнительный анализ классического и дискретного подходов
Традиционное моделирование потоков жидкости (и других физических процессов) в целом начинается с нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Затем эти дифференциальные уравнения дискретизируют конечными разностями. Полученное алгебраическое уравнение или система обыкновенных дифференциальных уравнений решается стандартными численными методами. Такой подход кажется понятным и привычным, однако он обладает некоторыми трудностями. Во-первых, при численном решении дифференциальных уравнений в частных производных при разложении в ряд Тэйлора возникают ошибки усечения при переходе к конечным разностям. В то же время возникает вопрос о сохранении определенных величин при переходе к дискретизированным формам уравнений. Последнее является наиболее важным при интегрировании по большим промежуткам времени в таких прикладных о?/p>