Моделирование потоков вязких жидкостей с использованием систем клеточных автоматов
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
±ластях как, например, моделирование океана или парное моделирование океана и атмосферы. Небольшая утечка может за определенное время опустошить океан. Вторая проблема такого типа численных методов - неустойчивость численного решения.
При дискретном подходе отправной точкой служат дискретные микроскопические модели, которые по своей конструкции соответствуют законам сохранения. Большая часть таких моделей являются безусловно стабильными по своему построению [2].
Существенным недостатком этих моделей является их ресурсоемкость. Так как происходит симуляция поведения каждой частицы, нетрудно представить, какой объем вычислительных ресурсов требуется для моделирования потока жидкости, например, в трубопроводе, не говоря уже о моделировании океанических течений.
Также простота правил перемещения и столкновения частиц, необходимая для возможности моделирования более-менее больших объемов жидкости, вызывает определенные шумы. И для получения соответствия законам Навье-Стокса требуется проводить значительные усреднения.
Следующим шагов в компьютерном моделировании гидродинамических процессов стало применение законов статистической физики. Вместо частиц этот подход имеет дело с функциями пространственного распределения, которые взаимодействуют на локальном уровне и которые распространяются после столкновения к соседним узлам. Таким образом, необходимость в усреднении отпала.
2.6 Уравнение Больцмана и распределение Максвелла
Статистическая физика- это раздел теоретической физики, посвященный изучению систем с большим (а часто- бесконечным или несчетным) числом степеней свободы. Предсказания статистической физики и термодинамики носят вероятностный характер. Обычно при исследовании таких систем нас не интересует почти случайное поведение каждой конкретной частицы. Статистическая физика описывает, как из движений частиц системы складывается усреднённая эволюция системы в целом [3].
Рассмотрим вероятностное распределение частиц в микроскопическом объеме , определенное таким образом, что обозначает количество частиц в момент времени t, находящихся в параллелепипеде, ограниченном точками r и r+dr, скорости которых лежат в интервале между c и dc. Предположим, что на все частицы действует сила F. Тогда, если частицы вещества не сталкиваются между собой, то изменение распределения f со временем должно происходить на основании уравнения:
,(5)
где m - масса частицы, а dt - малый интервал времени.
Однако в жидкостях и газах частицы сталкиваются между собой. Для учета изменения распределения частиц, создаваемого этими столкновениями, в правую часть уравнения (5) добавляют член . Поделив обе части уравнения на и устремив к нулю, получим уравнение Больцмана:
(6)
Оператор столкновений должен быть определен так, чтобы выполнялись законы сохранения массы, импульса и энергии. На практике широко используется оператор BGK (Bhatnagar - Gross - Croock)
(7)
где - время релаксации, которое имеет физический смысл времени столкновения между молекулами или времени перераспределения энергии между внутренними колебаниями степеней свободы молекулы [4], - плотность равновесного распределения частиц на данном отрезке, соответствующая уравнению Максвелла-Больцмана (8).
(8)
где kB - константа Больцмана, T - температура [2].
2.7 Модель решетчатого газа Больцмана (LBM)
Продолжением и развитием дискретного подхода стала модель решетчатого газа Больцмана. Однако в основу этой модели положены совершенно иные представления о решетке и ячейках, поэтому LBM считается самостоятельным численным методом моделирования гидродинамики.
Предыдущие модели решетчатого газа (LGCA) содержат много упрощений. Один из наиболее значимых недостатков состоит в том, что частицы, движущиеся по схеме столкновений, имеют большую длину свободного пробега. Даже когда длина свободного пробега сводится к одной клетке, это не дает возможности моделировать жидкость.
Чтобы преодолеть эту трудность понятие конкретной частицы заменили плотностью распределения частиц, а вместо итерационных правил столкновения описываются оператором столкновений.
В LBM предусмотрено наличие девяти направлений (скоростных каналов). Это сама клетка и восемь ее соседей. Такая решетка получила название D2Q9 (2 измерения, 9 соседей). На первый взгляд создается впечатление, что такая решетка не обладает симметрией и должна приводить к тем же трудностям, что и модель HPP. Однако, как уже было сказано, по решетке рассматривается не непосредственное движение частицы, а их распределение. В этом случае симметрия достигается путем введения определенных коэффициентов в плотность распределения.
Рисунок 3 - Скоростные каналы LBM
Вектора имеют единичную длину и задают направления скоростных каналов:
(9)
Локальная плотность потока для ячейки вычисляется как сумма значений плотности распределения по всем скоростным каналам:
.(10)
Сумма произведений плотности распределения потока на векторы скоростных каналов составляет плотность импульса. Разделив плотность импульса на плотность частиц, мы получим вектор локальной скорости для ячейки потока:
.(11)
Итерацию клеточного автомата, функционирующего по методу решетчатого газа Больцмана, можно записать следующим образом: