Механика деформирования и разрушения
Методическое пособие - Физика
Другие методички по предмету Физика
? напряжении на площадке получим главную площадку и нормальное напряжение на ней будет главным:
g2?0= (4)
(4) определяет два взаимно перпендикулярных направления, по которым действуют главные напряжения ?max и ?min. Подставив (3) ?= ?0:
??0= + ( + ?xytg2?0) cos2?, с учетом (4):
cos2?0= =
?1,2= (5)
+ для ?max= ?1
- для ?min= ?2
В главных осях тензор запишется:
?p?=
tg?1,2=
Совместим оси x и y с направлениями ?1 и ?2, т.е. выберем главные оси:
?x= ?1; ?y= ?2; ?xy= 0
Угол ? отсчитывается от направления ?1, тогда выражения (2) и (3) упростятся:
??= + cos2? (6)
??= - sin2? (7)
?= - 450, sin2?= -1
?max= (8)
?max равно полуразности главных напряжений, действующих под углом 45? к главным осям. Подставляя (5) в (8) получим выражение ?max через исходные компоненты:
?max=
На площадке под углом 45? к главным осям:
?45 = =
Круг напряжений Мора.
Обозначим (6) и (7):
= a = R
??= a + Rcos2? (9)
??= - Rsin2? (10)
В координатах ? и ? эти равенства являются уравнениями окружности R в параметрической формуле (?-параметр) и дают круг напряжений Мора, который позволяет графически находить напряжения на любой наклонной площадке с углом ?
Круг Мора можно построить и не по главным напряжениям, т.е. ?x, ?y, ?xy.
Объемное напряженное состояние (ОНС)
Оно определяется полным тензором напряжений с шестью независимыми компонентами, представляющими собой нормальные и касательные напряжения на гранях элементарного кубика, расположенного в системе координат x,y,z. Этот тензор позволяет находить напряжения на любой наклонной площадке с единичным вектором (?x, ?y, ?z)
?x= cos()
?y= cos()
?z= cos()
Вывод формул ведется как и для ПНС. Элементарный кубик пересекается наклонной плоскостью, правая часть отбрасывается и рассматривается равновесие левой. Из условий равновесия получаем кубическое уравнение для определения главных напряжений
?1?2?3
т.е. наша наклонная площадка выбрана главной:
?3 + I1?2 + I2? - I3= 0 (11)
Коэффициенты (11) являются инвариантами, которые не зависят от выбора осей координат, поскольку при любых исходных площадках они должны давать одни и те же значения главных напряжений (?1, ?2, ?3). Величины I1, I2, I3 называют первым, вторым и третьим инвариантом (т.е. при повороте площадки значение не меняется) тензора напряжений:
1= ?x + ?y + ?z
I2= ?x?y + ?y?z + ?z?x - - -
I3= ?x?y?z - ?x - ?y - ?z - 2?xy?yz?zx
Круг Мора для ОНС.
Заштрихованная часть определяет напряженное состояние на наклонных площадках. Здесь более сложные построения, чем для плоского напряженного состояния.
Обобщенный закон Гука.
В линейном состоянии закон Гука имеет самый простой вид ?= E?.
Но и в более общем объемном напряженном состоянии между компонентами тензоров напряжений и деформации существует определенная зависимость. При малых упругих деформациях эта зависимость является линейной и называется обобщенный закон Гука. Он особенно прост в случае изотропного тела, свойства которого не зависят от направления.
?xy= - модуль сдвига, модуль упругости 2 рода
?yz=
?zx=
Т.е. здесь сдвиговая деформация определяется одним соответствующим или тангенциальным напряжением. В случае линейной деформации они зависят от всех трех нормальных напряжений.
?x= - ? - ?
?y= [?y - ?(?x - ?z)]
?z= [?z - ?(?z - ?y)]
Сложив линейные деформации, получим относительное изменение объема:
= ?x + ?y + ?z= (?x + ?y + ?z)
Потенциальная энергия деформирования.
В элементарном объеме определяются суммой работ сил, действующих на поверхности этого объема. Например, сила ?xdy?z совершает работу на перемещение ?xdx по оси x, вызванном всеми действующими силами:
?x?ydz ?xdx
Касательная сила ?yzdydx на перемещение ?yzdz дает работу:
?yxdydx ?yzdx
Все остальные компоненты дают аналогичные выражения. В итоге для энергии деформирования элементарного объема получим:
= dxdydz (?x?x + ?y?y + ?z?z + ?yz?yz + ?zx?zx + ?xy?xy)
Разделив на единицу объема dxdydz, и выразив деформации через напряжение, получим выражение для энергии деформирования единичного объема:
0= [ - 2?(?x?y + ?y?z + ?z?x) + (
Или в главных напряжениях:
0= [(?1?2 + ?2?3 + ?3?1)]
Эта энергия деформирования состоит из двух частей: из энергии изменения объема и из энергии изменения формы.
0= Uи.об. + Uи.ф.и.об.= (?1 + ?2 +
Uи.ф.= ( ?1?2 - ?2?3 - ?3?1)
В другой форме:
Uо.ф.= [( + ]
Для неглавных осей получим:
о.ф.= [( + + (
Теории предельных напряженных состояний.
В зависимости от условий нагружения, материал может находиться в механических состояниях:
упругом (при небольших внешних силах)
пластическом (при больших силах)
разрушения (при очень больших силах и образовании трещин)
Предельное напряженное состояние- это такое состояние, при котором происходит переход из одного сотояния в другое:
для хрупких- упругое переходит в разрушение
для пластичных- упругое переходит в пластичное с большой остаточной деформацией
Предельное напряженное состояние характеризует свойства материала. При расчете конструкции на прочность обычно максималь