Механика деформирования и разрушения
Методическое пособие - Физика
Другие методички по предмету Физика
о гранях будут характеризовать напряженное состояние в точке при стягивании кубика в точку.
Полное напряжение на каждой грани кубика можно разложить на 3 составляющие или компоненты: ? и 2?. Для индексикации этих компонент используют правило:
. Нормальные напряжения ? индексируются осью, вдоль которой они направлены
. В касательных напряжениях ставятся два индекса: первый обозначает ось перпендикулярные площадке, второй- ось, вдоль которой направлено напряжение.
. Нормальные напряжения ?>0- для растяжения, ?<0- для сжатия.
. Касательные напряжения положительны, если перпендикуляр к площадке совпадает с направлением оси, а направление ? совпадает с соответствующей осью и наоборот.
. Для касательных напряжений соблюдается закон парности. На двух взаимно перпендикулярных площадках ? перпендикулярные к общему ребру равны и направлены либо обе к ребру, либо от ребра
. При написании формул для компонент тензора используется правило наращивания индексов с заменой: x>y>z>x
Совокупность напряжений на гранях кубика можно записать в виде таблицы или матрицы:
Эти 9 напряжений и образуют тензор напряжений. По закону парности ?xy= ?yx; ?yz= ?zy. Вследствие закона парности получается 6 независимых компонент напряжений (а не 9!). Горизонтальные строчки в тензоре показывают напряжение вдоль одной оси для всех площадок. Вертикальные колонки показывают все компоненты на одной площадке.
Итак, тензор напряжений можно записать в виде матрицы:
Компоненты тензора в общем виде записываются pij, где i и j принимают по очереди значения x, y, z. При i=j pij= ?i, при i?j pij= ?ij. Знание тензора напряжения, т.е. напряжения на гранях элементарного кубика, позволит находить напряжения на любой площадке с единичным вектором . Полное напряжение на этой площадке = ?p? .
Компоненты единичного вектора:
nx= cos(;)
ny= cos(;)z= cos(;)
В общем виде = ?p? нам даст pnk= pik ni, k= x, y, z.
pnx= ?xnx + ?yxny + ?zxnz
pny= ?xynx + ?yny + ?zynz
pnz= ?xznx + ?yzny + ?znz
Тензор напряжения показывает напряжения на гранях элементарного кубика. Он нужен, чтобы найти напряжения на любой площадке. Поэтому напряженное состояние в точке является тензором второго ранга с шестью независимыми компонентами.
Компоненты тензора напряжения зависят от ориентации осей (ориентации кубика). При изменении осей (повороте кубика) эти компоненты изменяются, но при любой ориентации они дают один и тот же результат при нахождении напряжения на какой-то площадке.
Элементарный кубик можно повернуть так, т.е. найти такое его положение, что на всех его гранях касательные напряжения будут равны нулю. На этих гранях будут действительно только нормальные напряжения ?. Такие площадки называются главными, а ? на них будут главными напряжениями. В порядке возрастания они обозначаются ?3,?2,?1. Таким образом, в каждой точке напряженного тела существует такая система осей x,y,z, в которой касательные напряжения:
?xy= ?yz= ?zx= 0
Такие оси называются главными. В таких осях в системах напряжения на кубике существенно упрощаются.
Вместо 9 напряжений остается максимум 3. С помощью главных осей и напряжений удобно показывать три вида напряженного состояния:
Тензор- направленная величина из 9 компонент, характеризующая напряженное состояние в точке, где компоненты- напряжения на гранях кубика. Позволяет находить напряжение на любой площадке, проходящей через эту точку:
= ?p?
= ¦ ¦
Плоское напряженное состояние (ПНС)
Здесь одно главное напряжение равно нулю, а два- отличны от нуля. ПНС реализуется в тонких пластинах, которые нагружаются напряжениями, приложенными на границе плоской пластины и равномерно распределены по ее толщине. Напряжение на обеих поверхностях пластины равны нулю.
Найдем напряжения на наклонной площадке при ПНС. Разрежем кубик наклонным сечением и отбросим правую часть:
Выберем новые оси x` и y`. Чтобы найти ?? и ?? рассмотрим условия равновесия ?, проектируя все силы на оси x` и y`. Проекция на ось x` при единичной толщине пластины:
??dl - ?xdycos? - ?ydxsin? - ?yxdxcos? - ?xydysin?= 0
Проекция на ось y`:
??dl + ?xdysin? - ?ydxcos? + ?xydxsin? - ?yxdycos?= 0
Учтем, что dy= dlcos?; dx= dlsin?, следовательно для оси x:
??dl - ?xcos2?dl - ?ysin2?dl - ?yxsin2?dl - ?xysin2?
cos2? - sin2?= cos2?
cos2?= (1 + cos2?)
sin2?= (1 - cos2?)
??= ?xcos2? + ?ysin2? + ?xysin2? (1)
??= - sin2? + ?xycos2? (2)
Выражение (1) перепишем по-другому:
??= + cos2? - ?xysin2? (3)
На перпендикулярной наклонной площадке ?+900:
??+90= - cos2? - ?xysin2?
По закону парности ??+90= ??:
?? + ??+90= ?x + ?y= const
Сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках не зависит от угла ?, т.е. постоянно в данной точке или является инвариантом, независящем от выбора осей координат.
Главные напряжения в ПНС. Если поворачивать площадку, т.е. изменять угол ?, то при каком-то значении ?0- ?? достигнет максимума, а ??+90?- минимума. Найдем этот максимум:
= - 2sin2? + ?xy2cos2?, используя (2) получим:
= 2??
= 0 при ??= 0
При нулевом касательно?/p>