Математические методы статистики
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
;
-простая (невзвешенная) дисперсия
- дисперсия взвешенная
?2 = 5 895 974,6 - невзвешенная дисперсия
?2 = 5 549 307,53 млн.руб.2 - взвешенная дисперсия
Таким образом, средний квадрат отклонений индивидуальных значений величины чистого капитала от их средней величины составляет 5 549 307,53 млн. руб.2
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии, т.е. корень квадратный из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Среднее квадратическое отклонение находится по формуле:
Найдем среднее квадратическое отклонение по объему кредитных вложений:
= 2628,16 млн.руб. - невзвешенное значение
= 2355,7 (млн. руб.) - взвешенное значение
Относительные показатели вариации в общем виде показывают отношение абсолютных показателей вариации к их средней величине.
К относительным показателям вариации относятся:
коэффициент осцилляции;
относительное линейное отклонение;
коэффициент вариации.
Коэффициент осцилляции находится по формуле:
Коэффициент осцилляции для выборки по величине чистых активов равен:
VR = 9770 / 1528 * 100% = 639,4 %
Относительное линейное отклонение рассчитывается по формуле:
Относительное линейное отклонение для выборки величине чистых активов равно:
VD = 1688,6 / 1528 * 100% = 110,5%
VD = 1301,4/ 1528 * 100% = 85,2%
Коэффициент вариации характеризует однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации меньше либо равен 33%, иначе признается неоднородной. Коэффициент вариации определяется по формуле:
Тогда, коэффициент вариации для выборки по величине чистых активов равен:
V? = 2628,16 / 1528 * 100% = 172%
V? = 2355,7 / 1528 * 100% = 154,17%
Коэффициент вариации для выборки по величине чистых активов больше, чем 33%, следовательно, совокупность неоднородна, а это означает, что среднее значение признака не является центром распределения.
1.4 Определение количественных характеристик распределения (показателей асимметрии и эксцесса)
При анализе данных важно представить не только размер вариации, но и то, как распределены единицы совокупности по всему диапазону значений признака.
Показатели асимметрии и эксцесса используются для количественной оценки симметричности.
Для расчета показателя асимметрии используют формулу:
,
гдеM3 - центральный момент третьего порядка;
? - среднее квадратическое отклонение.
В свою очередь центральный момент третьего порядка рассчитывается по формуле:
М3 = 34 798 998 424,8 - невзвешенный момент третьего порядка
М3 = 36 419 174 665,3 - взвешенный момент третьего порядка
АS = 34 798 998 424,4 / 2628,163 = 2,43
АS = 328 797 195 203 / 2355,73 = 2,79
Для того, чтобы определить, является ли асимметрия существенной или не существенной, рассчитывается отклонение показателя асимметрии к среднеквадратическому отклонению. Для этого используют соотношение:
,
гдеAs - показатель асимметрии;
- средняя квадратическая ошибка отклонения асимметрии, которая рассчитывается по формуле:
,
гдеn - число единиц в совокупности.
0,412
= 2,43 / 0,412 = 5,898
= 2,79 / 0,412 = 6,772
Если данное соотношение меньше 3, то асимметрия признается несущественной, иначе - существенной.
Как видим, данное соотношение значительно больше 3, поэтому в данном случае асимметрия признается существенной.
В симметричных распределениях или распределениях с несущественной асимметрией рассчитывается показатель эксцесса. Поскольку в данном случае имеет место существенная асимметрия, но данный показатель может не рассчитываться.
1.5 Нахождение эмпирической функции, построение ее графика
Построим график эмпирического распределения банков в зависимости величины чистого капитала. Для этого по оси абсцисс необходимо откладывать середину интервала значения признака, а по оси ординат, соответствующие ей частоты.
Рис.2
1.6 Определение теоретических частот по закону нормального распределения. Построение графиков
Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем по специальным таблицам находится плотность распределения нормируемой случайной величины. Для этого используются следующие формулы:
,
гдеt - нормируемое отклонение.
Теоретические частоты находятся по формуле:
,
гдеf - эмпирические частоты;
k - величина интервала.
? - невзвешенное значение среднеквадратичного отклонения
Определим теоретические частоты для выборки банков по объему кредитных вложений.
Таблица 4. Расчет теоретических частот
№ п/пВеличина чистых активов, млн.руб.Число банков, fiСередина интервала, xit?(t)Теоретические частоты, f'1 141 - 1769,325955,15-0,23590,386782 1769 - 3397,612583,150,43460,3605073 3397,6 - 5025,914211,751,10530,2179044 5025,9 - 6654,205840,051,77590,07900256654,2 -8282,517468,352,44650,0198006 8282,5 - 991129096,653,11700,003300Итого-30---21
По найденным теоретическим частотам построим график теоретического распределения банков по величине чистого капитала.
Рис.3
При совмещении графиков теоретического и эмпирического распределения получится следующее:
Рис.4
1.7 Проверка гипотезы о подчинении изучаемых признаков нормальному зако?/p>